淺析系統(tǒng)函數(shù)對(duì)離散LTI系統(tǒng)特的分析

1、淺析系統(tǒng)函數(shù)對(duì)離散LTI系統(tǒng)特性的分析空一行傅緒超，物理與電子信息學(xué)院空一行摘 要：在離散系統(tǒng)中，變換域的主要分析方法就是 z變化分析法。利用z變換可以分析信號(hào)與系統(tǒng)的各種特性， 包括系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性，利用系統(tǒng)的零 極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性，最小相位系統(tǒng)以及全通系統(tǒng)。但是用人工計(jì)算的 方法實(shí)現(xiàn)高階離散LTI系統(tǒng)的特性分析是十分困難的，計(jì)算量非常大，難以實(shí)現(xiàn)。本文主要利用MATLAB分析信號(hào)與系統(tǒng)的幾種特性及其如何實(shí)現(xiàn)仿真等。關(guān)鍵詞：系統(tǒng)函數(shù)；Z變化；MATLAB；空一行Analyses system function characteristics of discrete-time LT

2、Isystems analysis空一行Fu Xuchao, Physics and Electronic Information College空一行Abstract: In a discrete system, the main analysis method of transform domain is Z change analysis. Z transformation can be used to analyze various characteristics of signals and systems, including causality and stability of

3、the system, using the frequency characteristic of the system analysis of the zero pole distribution system, the minimum phase system and all-pass system. But the use of manual calculation method to achieve high order discrete characteristic analysis of LTI system is very difficult, very large amount

4、 of calculation and difficult to achieve. In this paper, using MATLAB simulation software analysis several characteristics and how to realize the simulation of signal and system, etc.Key words: System functions ； Z transformation ； MATLAB;。引言信號(hào)與系統(tǒng)的分析在通信與信息系統(tǒng)、信號(hào)處理、自動(dòng)控制和檢測技術(shù)等領(lǐng)域都有著十分重要的作用。信號(hào)與系統(tǒng)的分析一般先抽象

5、為數(shù)學(xué)模型， 然后討 論系統(tǒng)本身的初始狀態(tài)和穩(wěn)定程度.隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)通信系統(tǒng)的要求越但是系統(tǒng)函數(shù)卻不會(huì)受到來越高， 越來越精密，通信信號(hào)的形式也越來越復(fù)雜。這些以因素變化的影響，它反應(yīng)的是系統(tǒng)特定的特性。本文介紹了系統(tǒng)函數(shù)對(duì)信號(hào)和系統(tǒng)的分析應(yīng)用，系統(tǒng)函數(shù)通常用于單輸入，單輸出的模擬電路的分析，其通過系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)固有的特性，這就是系統(tǒng)函數(shù)的基本思想。當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)不清楚，或者根本無法弄清楚它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的輸入、輸出量進(jìn)行動(dòng)態(tài)觀測以建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。本文主要利用Z變換和 MATLAB 仿真軟件分析信號(hào)與系統(tǒng)的各種特性，包括系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性， 利

6、用系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性，最小相位系統(tǒng)以及全通系統(tǒng)的特點(diǎn)等。為了分析系統(tǒng)函數(shù)對(duì)離散LTI 系統(tǒng)的特性分析，由于高階離散LTI 分析人工的計(jì)算量太大，必須借助計(jì)算機(jī)軟件MATLAB 來實(shí)現(xiàn)仿真和分析。而且離散時(shí)間信號(hào)的高精度、可靠性好、便于集成等優(yōu)點(diǎn)在很多領(lǐng)域得以運(yùn)用，通過系統(tǒng)函數(shù)和計(jì)算機(jī)軟件仿真分析系統(tǒng)特性成了掌握離散LTI 信號(hào)系統(tǒng)的重要基本的內(nèi)容。本文主要討論和求解系統(tǒng)函數(shù)對(duì)離散LTI 信號(hào)響應(yīng)的幾種方法以及用MATLAB軟件的實(shí)現(xiàn)。MATLAB是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、 可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)

7、可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。1系統(tǒng)函數(shù)和離散系統(tǒng)1.1 系統(tǒng)函數(shù)的定義離散信號(hào)與系統(tǒng)中，變換域的分析方法有Z變化法和傅里葉變化法。利用Z變換可以分析信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域特性，而和傅里葉變化法可以分析系統(tǒng)的頻域特性。我們知道，用單位脈沖響應(yīng)h(n)可以表示線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，這時(shí)y(n)=x(n)*h(n)兩邊取Z變換:H(z)=Y(z)/X(z

8、),定義為系統(tǒng)函數(shù)。它是單位脈沖響應(yīng) 的Z變換。單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)z=ejw就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。所以可以用單位脈 沖響應(yīng)的Z變換來描述線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。因h(n)與H(z)是Z的變換對(duì)，H(z)稱為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù).系統(tǒng)函數(shù)H(z) 還可以用差分方程來定義，離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一般為1：y(n) a1y n -1aN y(n - N) =box(n) bix(n -1) . bM x(n - M )對(duì)上式兩邊進(jìn)行Z變換，在零狀態(tài)情況下，有1：Y(z) 1 a1zJ . - aNz" =X(z)(b0 b1z， . bMiz' )(1-1)Y(z)bobz， . bMz-MX

9、(z)比較上面兩式可得2H(z)=Y(z)1JNX(z) 1 azaNzM【(1-空)=K、11 (1 - Pjz ) j 1(1-2)上式說明離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)等于零狀態(tài)響應(yīng)的輸出信號(hào)的系統(tǒng)函數(shù)Y(z)與激勵(lì)信號(hào)的系統(tǒng)函數(shù)函數(shù) X(z)之比值.其分子與分母都是z的多項(xiàng)式，故可以分解成因式.式中K為常數(shù)，4是H(z)的零點(diǎn)，而Pj是H(z)的極點(diǎn)。他們?nèi)?決于差分方程的系數(shù)。與拉氏變換類似，H(z)的極點(diǎn)決定了 h(n)的性質(zhì)，而零點(diǎn)只影響h(n)的幅值和相位。1.2 系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)定義：極點(diǎn)(Pole)是傳輸函數(shù)分母為 0時(shí)z的取值；零點(diǎn)(Zero)是傳輸函數(shù)分子為0時(shí)z的取值。傳

10、輸函數(shù)H(z)的一般表示為分子多項(xiàng)式除以分母多(1-3)項(xiàng)式的有理函數(shù)3H(z)二辿二 bob1z：bM<X(z)aoaz， . aNz-N負(fù)指數(shù)使得求零極點(diǎn)很困難，因此把H(z)表示成分子分母的指數(shù)都為正，從 數(shù)學(xué)角度看，這樣并沒有改變傳輸函數(shù)。但這并不意味著計(jì)算零極點(diǎn)一定要表示(1-4)成正指數(shù)，只是這樣使得求根過程更加直接。分子分母因式分解，得M口 (1-zz)H(z)二 K刀"(1-Pjz") j 1此處K為系統(tǒng)的增益，z是系統(tǒng)的零點(diǎn)，Pj是系統(tǒng)的極點(diǎn)。因此，H(z)函數(shù) 可在Z域中用零極點(diǎn)圖的形式來描述。這個(gè)事實(shí)在設(shè)計(jì)簡單的濾波器時(shí)很重要， 只要正確地配置零

11、極點(diǎn)就可達(dá)到目的。零極點(diǎn)中，極點(diǎn)對(duì)數(shù)字濾波器的特性影響最大，零點(diǎn)可以用來調(diào)整極點(diǎn)所引起的濾波器特性，調(diào)整的大小取決于它與極點(diǎn) 的相對(duì)位置。分別對(duì)負(fù)指數(shù)的有理函數(shù)H(z)的分子分母多項(xiàng)式使用MATLAB的 roots函數(shù)，就可求得其零極點(diǎn)。(前面討論roots的逆向函數(shù)poly,用它可通過 其根求得多項(xiàng)式的系數(shù)。)也可利用DSP Toolsbox中的zplane(b,a)函數(shù)，由給 定的分子行向量b和分母行向量a繪制出系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，同前面一樣，用符 號(hào)" o表'示零點(diǎn)X”表示極點(diǎn)，圖中還給出用作參考的單位圓。1.3 離散系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)是將一個(gè)序列變換成另一序列的系統(tǒng)，它有多

12、種類型，其中線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)是最基本、最重要的系統(tǒng)。如果離散系統(tǒng)中乘法器的系 數(shù)不隨時(shí)間變化，這種系統(tǒng)便稱為時(shí)不變離散系統(tǒng)。線性時(shí)不變系統(tǒng)：既滿足疊加原理又具有時(shí)不變特性，它可以用單位脈沖響應(yīng)來表示。單位脈沖響應(yīng)是輸入端為單位脈沖序列時(shí)的系統(tǒng)輸出，一般表示為h(n),即4h(n尸T 6(n)(1-5)任一輸入序列x(n)的相應(yīng)y(n)=Tx(n)=T 6(n-k)；由于系統(tǒng)是線性的，所以上式可以寫成y(n尸T、(n-k)又由于系統(tǒng)是時(shí)不變的，即有 T 6(n-k)=h(n_k) ,從而得(1-6)(1-7)y(n尸h(n-k)=x(n) * h(n)，圖1.1離散LTI系統(tǒng)的線性2系統(tǒng)函

13、數(shù)對(duì)離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和因果性的分析2.1穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)其功能的前提。因此，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性判斷就顯 得十分必要，根據(jù)連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的h(t刑h(n )來判定LTI系統(tǒng)是 否穩(wěn)定的條件分別為5:O00°h(t)|dt笛和£內(nèi)卜】|笛1)-=)0它和連續(xù)離散時(shí)間傅里葉變換的狄禮赫利條件 1是等價(jià)的，故對(duì)連續(xù)時(shí)間和 離散時(shí)間LTI系統(tǒng)，根據(jù)其頻率響應(yīng)H儂利H(C )來判定穩(wěn)定系統(tǒng)的條件是具有 有界的幅頻響應(yīng)，即3：|H(® )|<=o,-°o <o Eg或 | H(C )|<°° ,-°

14、° <Q <°°(2-2)按此條件，若頻率響應(yīng)中成分包含了沖激成分，例如，積分器和累加器的 頻率響應(yīng)，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。另外，微分器的頻率響應(yīng)H儂)=jG也不滿足上式，故它也不穩(wěn)定；而離散時(shí)間差分器的幅頻響應(yīng)為| H (C )|= 2sin(C /2)，它滿足上式，所以是穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)。根據(jù)拉普拉斯變換與傅里葉變換和Z變換之間的關(guān)系，在復(fù)頻域上，LTI系統(tǒng)是否穩(wěn)定的依據(jù)分別為：若一個(gè)連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)和H(z)的收斂域分別包含S平面的虛軸好(包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn))和Z平面的單位圓，則該LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則就是不穩(wěn)定。2.2 因果性

15、在時(shí)域中，因果的連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)滿足： h(t)=0,t <0和 hn=0,n <0(2-3)根據(jù)拉普拉斯變換和Z變換的性質(zhì)，連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間因果 LTI系統(tǒng)函 數(shù)收斂域分別是：S平面上某條平行于虛軸的直線右側(cè)的半個(gè)有限S平面(可能不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn))，和 Z平面上某個(gè)圓周外部的圓外區(qū)域，包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，即 表示為2：Rh =(Re§ 2),可能包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和Rh =(r。<| z悍9),r0之0。對(duì)于因果時(shí)間函數(shù)和因果序列，它們傅里葉變換的實(shí)部和虛部分別滿足各自 的希爾伯特變換關(guān)系。故在頻域切和。上，因果性沒有簡單和直觀的反映，但鑒 于傅

16、里葉變換和雙邊拉普拉斯變換或 Z變換之間的關(guān)系，總可以有 LTI系統(tǒng)的 頻率響應(yīng)轉(zhuǎn)換到復(fù)頻域中，按照系統(tǒng)函數(shù)收斂域特性，判別 LTI系統(tǒng)是否因果。綜合穩(wěn)定性和因果性兩方面的判據(jù)，連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間LTI系統(tǒng)既是因果 又是穩(wěn)定的系統(tǒng)條件為：系統(tǒng)的所有極點(diǎn)必須位于虛軸左邊半個(gè)有限 S平面上和 Z平面的單位圓內(nèi)部。換句話說，在虛軸及其右側(cè)半個(gè)S平面上(包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)) 和Z平面單位圓及其外部直至無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處，沒有系統(tǒng)函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn)。2.3 通過系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)分析系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性由前面的分析，可得若系統(tǒng)因果穩(wěn)定，則 H(z炳極點(diǎn)都在單位圓的內(nèi)部。 換言之，一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) H(z)必須在從單位圓

17、到空的整個(gè)z域內(nèi) 收斂，即3：1 |z|<°0(2-4)也就是說系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。設(shè)系統(tǒng)由下面的差分方程描述：y n 尸 y n _1y n -2x n -1 y(n)-1.1)求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z劑零極點(diǎn)；2)限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，寫出H(z胎收斂域，并求出其單位脈沖響應(yīng) h(n)解：丫6)=丫(口-1)+丫(口-2"乂8-1)將上式進(jìn)行z變換，得到Y(jié) z)=Y zz,Y zz X z zJ由H(z上一zn求得零點(diǎn)4=01 - z - z z - z - 1極點(diǎn)：令 z2 -z-1=0,求出極點(diǎn) z1 = 1"5,z2 =1 r 522由于限

18、定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域4,即lz卜"卜：立2|F z = H zznnzz 乙 z - z2n 0, c內(nèi)只有極點(diǎn)z1 ,只需求乙點(diǎn)的留數(shù),h n = Re s F z ,z1n<0, c內(nèi)只有兩個(gè)極點(diǎn)，乙和z=0,因?yàn)閦=0是一個(gè)n階極點(diǎn)，改成求國外極點(diǎn)留數(shù)，園外極點(diǎn)只有一個(gè)z2,那么:f 廠、nh(n )=-ResF(z )z2 =一二 -<5 1 2 )最后得到h- 15NnTnu - n -1由此可知此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的以下為利用MATLAB計(jì)算H(z柏勺零極點(diǎn)，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。已知離散123因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為:用MATLAB繪制其z_

19、 2z_ z_H I.z =1-231 -0.5z,-0.005z 0.3z-3零極點(diǎn)圖。解：已知H(z),若要獲得系統(tǒng)的零極點(diǎn)，可直接應(yīng)用zplane函數(shù)，下面給出MATLAB 程序：b=0 1 2 1;a=1 -0.5 -0.005 0.3;figure(1)zplane(b,a);%畫零極點(diǎn)分布和單位圓hold on h=impz(b,a); %求單位序列響應(yīng)h(n) figure(2) stem(h);%畫單位序列響應(yīng)圖186 o O4 2 0 2 4 6 - - -8 S-1,TTaH UEa«poa E_圖2.1系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖由圖2.1可以看出，系統(tǒng)的極點(diǎn)全部分布在單

20、位圓內(nèi)，故而該系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的。3利用系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)圖分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.1理論分析線性時(shí)不變離散系統(tǒng)用差分方程表示，考慮N階差分方程5:ak y n - i 八 bx n - i(3-1)k =0r =0不考慮瞬態(tài)響應(yīng)(初始狀態(tài))，兩邊取 z變換，：NMZ akZ“Y(z)=£ b.zX(z),于是 H(z)= k =0r =0YzX z“bzr =0-Nk =0上式也可以因式分解的形式來表示MI 1 1 - czH z =A口 (1 -dkz ) kT(3-2)式中G、di是H(z而z平面上的零點(diǎn)和極點(diǎn)除了 A為比例常數(shù)，整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可由它的全部零極點(diǎn)來唯一確定用零極點(diǎn)來表示系

21、統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)是，它提供了一種有效的求系統(tǒng)頻率響應(yīng)的集合方法。一個(gè)N階的系統(tǒng)函數(shù)可用它的零極點(diǎn)表示為6:MM1、I 1 (1 -crz )11 (z-Cr)H (z )= A平- A) 卡(3-3)”(1 -dkz4)i【(z-dk)k =1k W若H(z庖含的ROC包含單位圓，則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為4:MII (ej ，-Cr)HQbAOM (3-4)i【(ej ,-dk) k=1在z平面上，eje°-Ci可用一根由零點(diǎn)Cr指向單位圓上e煙點(diǎn)的向量Cr來表示，而e®-dkq用極點(diǎn)dk指向單位圓上ej®的向量dk表示。M11 ej -CrH ej-= Ae，(M -)11

22、ej -dk k 1M ii cr_ Ae-(M -N) T_ AeN TII dk k 1二 Ae.(M aM T口 |cr |ej：Tr 1N,"T j kll |dk|e k I(3-5)令H ej ' =|H ej |ej ：'MIT Icr |ej?r(3-6)H ej'-i- Ae (M_N)-rN17j '.-kI 1 1dk |ek 1e心-dk =d； =|d；|ejR極點(diǎn)指向單位圓的矢量;ej6_cr=c；胃國立零點(diǎn)指向單位圓的矢量;當(dāng)切從0T 2n(小逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周)時(shí)，H(ej*的幅值和相位也隨之變化一個(gè)周期，從可得結(jié)論7:

23、m口 |cr |H(ej°)HA| N(3-7)口 |dk |k 1上式(3-7)稱為系統(tǒng)的幅頻特性，是周期函數(shù)、偶函數(shù)。MN中)=£ % £ Bk (M N)b(3-8)r -0k -0式(3-8)稱為系統(tǒng)的相頻特性，是周期函數(shù)，奇函數(shù)。上式表明，頻響的模函數(shù)由從各零極點(diǎn)指向e儂點(diǎn)的向量幅度來確定，而頻響的相位函數(shù)則是由這些向量的幅角來確定的，當(dāng)頻率 仍由0t 2n時(shí)，這些向量的終點(diǎn)沿單位圓逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一圈，由此可估算出整個(gè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。故而利用系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)圖，用矢量作圖法可以分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。3.2零極點(diǎn)分布布對(duì)振幅特性和相位特性的影響1）零極點(diǎn)對(duì)振幅

24、特性的影響根據(jù)上述式（3-7）可知，當(dāng)單位圓上的 d a點(diǎn)在極點(diǎn)dk附近時(shí)，分母向量最短，出現(xiàn)極小值，頻響在這附近可能出現(xiàn)峰值，且極點(diǎn)dk 越靠近單位圓，極小值越小，頻響出現(xiàn)的峰值越尖銳。當(dāng)dk 處在單位圓上時(shí)，極小值為零，相應(yīng)的頻響將出現(xiàn)0°,這相當(dāng)于在該頻率處出現(xiàn)無耗（Qr°）諧振，當(dāng)極點(diǎn)超出單位圓時(shí)系統(tǒng)就處于不穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)于現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)，這是不希望的。對(duì)于零點(diǎn)位置，頻響將正好相反.eja點(diǎn)越接近某零點(diǎn)Cr ,頻響越低，因此在零點(diǎn)附近，頻響出現(xiàn)谷點(diǎn)，零點(diǎn)越接近單位圓，谷點(diǎn)越接近零；零點(diǎn)處于單位圓上時(shí)，谷點(diǎn)為零，即在零點(diǎn)所在頻率上出現(xiàn)傳輸零點(diǎn)，零點(diǎn)可以位于單位圓以外，不受穩(wěn)定

25、性約束。2）零極點(diǎn)對(duì)相位特性的影響根據(jù)上述式（ 3-8） ， 其相位特性的幾何意義為：單位圓上任一B 點(diǎn)處系統(tǒng)的幅角等于零點(diǎn)到該點(diǎn)的矢量幅角和減去極點(diǎn)到該點(diǎn)的矢量幅角和，再減去原點(diǎn)到該點(diǎn)的矢量福角的（M-N）倍。當(dāng)從=吸換到=2加寸，分析零極點(diǎn)分布對(duì)式（3-8）中相位變化的影響。若零極點(diǎn)在單位園內(nèi)，則單個(gè)零極點(diǎn)導(dǎo)致的矢量相位變化量為2彳若零極點(diǎn)在單位國外，則單個(gè)零極點(diǎn)導(dǎo)致的矢量相位變化量為00假設(shè)零點(diǎn)總個(gè)數(shù)M=mi+mo,其中mi表示為在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)，m0表示在單位圓外的零點(diǎn)；極點(diǎn)總個(gè)數(shù)N=pi+po,中Pi表示為在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)，P0表示在單位圓外的極點(diǎn)。則相位的總的變換量為：口巾=2Mm

26、i R）2n（M -N）;若系統(tǒng)穩(wěn)定，貝 Z = R ；止匕時(shí)4=2nmj 2nM =2nm0;可見，對(duì)于因果穩(wěn)定系統(tǒng)，若零極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，此時(shí) 4=0,對(duì)于這樣 的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。4系統(tǒng)函數(shù)對(duì)最小相位系統(tǒng)的分析4.1 最小相位系統(tǒng)的定義根據(jù)式（3-8）可知，相位的幾何意義為：單位圓上任一 B點(diǎn)處系統(tǒng)的幅角等于零點(diǎn)到該點(diǎn)的矢量幅角和減去極點(diǎn)到該點(diǎn)的矢量幅角和，再減去原點(diǎn)到該點(diǎn)的矢量福角的（M-N）倍。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，若當(dāng)數(shù)字頻率從30至IJ32冗 變化時(shí)，若相位的變化量為0,則該系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。4.2 最小相位系統(tǒng)的性質(zhì)最小相位系統(tǒng)的具有以下的幾條性質(zhì) 網(wǎng)：1）實(shí)的因果穩(wěn)定最小相位

27、系統(tǒng)的逆系統(tǒng)也是一個(gè)實(shí)的最小相位系統(tǒng)。2）連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻響應(yīng)與相頻響應(yīng)之間，分別滿足連續(xù)希爾伯特變換和連續(xù)周期希爾伯特變換。3）任何非最小相移函數(shù)都可以表示為一個(gè)同階最小相移函數(shù)和一個(gè)全通函數(shù)的 乘積.換言之，任何非最小相移系統(tǒng)等效為一個(gè)同階最小相移系統(tǒng)和一個(gè)全通 系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。4）與同階的非最小相移系統(tǒng)相比，最小相移系統(tǒng)具有相移系統(tǒng)最小的系統(tǒng)延時(shí)。順便指出，盡管上述最小相移函數(shù)是針對(duì)實(shí)的因果穩(wěn)定有理系統(tǒng)函數(shù)討論的，但對(duì)于連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間也是成立的。如果一個(gè)連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間因果穩(wěn)定信號(hào)的有理像函數(shù)滿足最小相移條件，也可以稱為最小相移函數(shù)，其反變換則稱為最小相移信號(hào)和

28、序列。與連續(xù)時(shí)間最小相移系統(tǒng)相比，離散時(shí)間最小相移系統(tǒng)還有一個(gè)重要的不同點(diǎn)，即不僅在實(shí)因果穩(wěn)定IIR系統(tǒng)中由最小相移系統(tǒng)，在實(shí)因果穩(wěn)定FIR系統(tǒng)中，也存在著最小相移系統(tǒng)，稱為最小相移FIR系統(tǒng)。這種最小相移函數(shù)可以寫為910:MHmin（Z） = H0n （14Z）,|Zi 卜1（4-1）i 1它的零點(diǎn)都在單位圓里面，z=0為M階極點(diǎn)，也在單位圓的內(nèi)部，而在單位圓上及其外部無任何零點(diǎn)和極點(diǎn).它顯然是最小相移函數(shù)。5 系統(tǒng)對(duì)全通系統(tǒng)的分析5.1 全通系統(tǒng)的定義全通系統(tǒng)定義為具有頻率響應(yīng)幅值等于1 的系統(tǒng),即 :|H（ejw）|=1（ 5-1）這表明一個(gè)全通系統(tǒng)輸入信號(hào)的離散時(shí)間Fourier 變

29、換的幅值通過離散時(shí)間全通系統(tǒng)后其變換的幅值是一樣的,改變的僅是相位而已。5.2 全通系統(tǒng)的特點(diǎn)一個(gè)全通系統(tǒng)有如下特點(diǎn)：1）在模擬系統(tǒng)中，全通函數(shù)的極點(diǎn)位于S 做平面，零點(diǎn)位于右平面，且零點(diǎn)與極點(diǎn)對(duì)于軸互為鏡像，如圖 5.1 所示 。2）在離散系統(tǒng)中，全通濾波器的極點(diǎn)和零點(diǎn)的分布有以下特點(diǎn)：S 平面與Z 平面的映射關(guān)系：S 平面所有的極點(diǎn)都在左邊，零點(diǎn)都在右邊；Z 平面所有的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，零點(diǎn)都在單位圓外，如圖 5.2所示 .Pi ZiO"P2kHap(Z)= ZN z -N k =0akZN'、akZk=0-N一 二Z-kD(z4)D(z)(5-2)Z2圖5.1模擬全通系

30、統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖D(z')和D(z)系數(shù)皆為實(shí)數(shù)二 零極點(diǎn)共腕成對(duì)出現(xiàn)。Hap(Z)= Z"器?=零極點(diǎn)成倒數(shù)出現(xiàn)。D(z)一個(gè)N階全通濾波器的分子、分母都有 N階，系數(shù)順序相反。則它的系統(tǒng)函數(shù)可以很快的寫出如下所示:NNx -_N -kk二 akZaziH (Z)= k0 = z 小 k-= z- D(z )apr / j * D(z)(5-3)、akzx akz' 'k 0k=0_N_N：!1_N 2z . az' a2z,aN二ZNZN1Zn_222J LaNz. aNz- a_N 2z a?zaz 1判別全通系統(tǒng)的方法:(a)從H(z) = N

31、(z)/D(z)、N(z)和D(z)都有N階,系數(shù)順序是相同的。(b)從零極點(diǎn)看：零點(diǎn)與極點(diǎn)的?；榈箶?shù)，幅角相等。6結(jié)束語在現(xiàn)在的通信系統(tǒng)里，處處伴隨著信號(hào)的轉(zhuǎn)化和處理。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展， 離散LTI系統(tǒng)的理論研究已經(jīng)取得很多成果，邁上了一個(gè)新的臺(tái)階。經(jīng)過對(duì) LTI 離散系統(tǒng)理論知識(shí)的概述，通過運(yùn)用MATLAB仿真軟件，構(gòu)建了典型的一些LTI 離散系統(tǒng)。用MATLAB輔助分析離散時(shí)間系統(tǒng)，具有編程簡單、計(jì)算準(zhǔn)確、繪 圖方便、結(jié)果直觀等特點(diǎn)，只要掌握了系統(tǒng)分析的概念原理和方法，繁雜的分析 計(jì)算及圖形顯示均可用 MATLAB實(shí)現(xiàn)。利用MATLAB的計(jì)算功能，不僅使大量 的手工計(jì)算得以簡化，也使得系統(tǒng)分析更為簡便和高效，利用MATLAB的繪圖功 能,有利于分析結(jié)果的直觀理解，也有利于深入掌握所學(xué)的內(nèi)容。參考文獻(xiàn)：1于德介，成瓊，程軍圣.基于復(fù)解析小波變化德瞬時(shí)頻率分析方法J.振動(dòng)與沖擊，2004,23(1):108-111.2胡廣書.數(shù)字信號(hào)處理一理論、算法與實(shí)現(xiàn)M.清華大學(xué)出版社，1996.3L.科恩.時(shí)一頻分析：理論與應(yīng)用M.西安交通大學(xué)出版社，1998.4Wonchul NHo.When is instantaneous frequency the average frequency at