關(guān)于連續(xù)自然數(shù)的k次方和

1、.關(guān)于連續(xù)自然數(shù)的k次方和 學(xué)夫子偶爾之間想到，也許這個(gè)方法比較有用，對(duì)于解決連續(xù)自然數(shù)的k次方和問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題我想是每一個(gè)學(xué)過(guò)中學(xué)課程的朋友都想過(guò)的，我在?阿爾哈曾公式?一文里提到過(guò)一種方法。今天來(lái)介紹另外一種，應(yīng)該算是比較簡(jiǎn)單的一種。那就是用待定系數(shù)法。我們首先必需要明白的是下面一個(gè)道理：一：假設(shè)記fn=1k+2k+3k+nk。那么fk一定是一個(gè)次數(shù)為k+1的多項(xiàng)式，也就是fn可以寫(xiě)成下面的形式fn=A0+A1n+A2n2+A3n3+ak+1nk+1知道了這個(gè)的話，我們就可以通過(guò)待定系數(shù)法求出fn的各項(xiàng)系數(shù)就行了，從而求出fn確實(shí)定表達(dá)式。除了這個(gè)外，我們可以預(yù)先理解一些這個(gè)多項(xiàng)式的性質(zhì)。

2、1：第一個(gè)性質(zhì)就是，A0=0。為了證明這個(gè)，我們可以記fn=0k+1k+2k+3k+nk。也就是n的范圍擴(kuò)大到自然數(shù)，而不僅僅是正整數(shù)。顯然這不影響fn的表達(dá)式，從而fn仍然為A0+A1n+A2n2+A3n3+ak+1nk+1。假設(shè)取n=0，那么fn=0，從而知道A0=0。2：fn的系數(shù)之和A1+A2+A3+AK+1=1這個(gè)證明和1一樣，你取n=1就行了，這個(gè)性質(zhì)可以拿來(lái)檢驗(yàn)結(jié)果。因此，fk=A1n+A2n2+A3n3+ak+1nk+1。我們可以通過(guò)性質(zhì)1得到一個(gè)數(shù)論里的結(jié)果fn=1k+2k+3k+nk一定能被n整除，其中n取自然數(shù)。二：應(yīng)用舉例我們就來(lái)看看上面的性質(zhì)的詳細(xì)應(yīng)用吧！例1：計(jì)算f

3、1=1+2+3+n設(shè)fn=An+Bn2.f1=1,f2=3，所以有A+B=12A+4B=3解得A=1/2，B=1/2,從而fn=1/2n+1/2n2例2：計(jì)算fn=13+23+33+n3同樣，我們?cè)O(shè)fn=An+Bn2+Cn3+Dn4,f1=1,f2=9,f3=36,f4=100,所以：A+B+C+D=12A+4B+8C+16D=93A+9B+27C+81D=364A+16B+64C+256D=100解得:A=0，B=1/4，C=1/2，D=1/4單靠“死記還不行,還得“活用,姑且稱之為“先死后活吧。讓學(xué)生把一周看到或聽(tīng)到的新穎事記下來(lái),摒棄那些假話套話空話,寫(xiě)出自己的真情實(shí)感,篇幅可長(zhǎng)可短,并

4、要求運(yùn)用積累的成語(yǔ)、名言警句等,定期檢查點(diǎn)評(píng),選擇優(yōu)秀篇目在班里朗讀或展出。這樣,即穩(wěn)固了所學(xué)的材料,又鍛煉了學(xué)生的寫(xiě)作才能,同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生的觀察才能、思維才能等等,到達(dá)“一石多鳥(niǎo)的效果。我國(guó)古代的讀書(shū)人,從上學(xué)之日起,就日誦不輟,一般在幾年內(nèi)就能識(shí)記幾千個(gè)漢字,熟記幾百篇文章,寫(xiě)出的詩(shī)文也是字斟句酌,瑯瑯上口,成為滿腹經(jīng)綸的文人。為什么在現(xiàn)代化教學(xué)的今天,我們念了十幾年書(shū)的高中畢業(yè)生甚至大學(xué)生,竟提起作文就頭疼,寫(xiě)不出像樣的文章呢?呂叔湘先生早在1978年就鋒利地提出:“中小學(xué)語(yǔ)文教學(xué)效果差,中學(xué)語(yǔ)文畢業(yè)生語(yǔ)文程度低,十幾年上課總時(shí)數(shù)是9160課時(shí),語(yǔ)文是2749課時(shí),恰好是30%,十年的

5、時(shí)間,二千七百多課時(shí),用來(lái)學(xué)本國(guó)語(yǔ)文,卻是大多數(shù)不過(guò)關(guān),豈非咄咄怪事!尋根究底,其主要原因就是腹中無(wú)物。特別是寫(xiě)議論文,初中程度以上的學(xué)生都知道議論文的“三要素是論點(diǎn)、論據(jù)、論證,也通曉議論文的根本構(gòu)造:提出問(wèn)題分析問(wèn)題解決問(wèn)題,但真正動(dòng)起筆來(lái)就犯難了。知道“是這樣,就是講不出“為什么。根本原因還是無(wú)“米下“鍋。于是便翻開(kāi)作文集錦之類的書(shū)大段抄起來(lái),抄人家的名言警句,抄人家的事例,不參考作文書(shū)就很難寫(xiě)出像樣的文章。所以,詞匯貧乏、內(nèi)容空洞、千篇一律便成了中學(xué)生作文的通病。要解決這個(gè)問(wèn)題,不能單在布局謀篇等寫(xiě)作技方面下功夫,必須認(rèn)識(shí)到“死記硬背的重要性,讓學(xué)生積累足夠的“米。從而得到fn的表達(dá)式

6、。通過(guò)上面的兩個(gè)例子可以看出，越到后面，計(jì)算量越大。不過(guò)假如學(xué)過(guò)線性代數(shù)的話，可以通過(guò)行列式的理論來(lái)解這個(gè)方程組，那樣會(huì)顯得很簡(jiǎn)單。不管如何，這終究是個(gè)不錯(cuò)的方法。要練說(shuō)，得練聽(tīng)。聽(tīng)是說(shuō)的前提，聽(tīng)得準(zhǔn)確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級(jí)程度的語(yǔ)言。我在教學(xué)中，注意聽(tīng)說(shuō)結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽(tīng)的才能，課堂上，我特別重視老師的語(yǔ)言，我對(duì)幼兒說(shuō)話，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚(yáng)有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專心聽(tīng)別人發(fā)言時(shí)，就隨時(shí)表?yè)P(yáng)那些靜聽(tīng)的幼兒，或是讓他重復(fù)別人說(shuō)過(guò)的內(nèi)容，抓住教育時(shí)機(jī)，要求他們專心聽(tīng)，用心記。平時(shí)我還通過(guò)各種興趣活動(dòng)，培養(yǎng)幼兒邊聽(tīng)邊記，邊聽(tīng)邊想，邊聽(tīng)邊說(shuō)的才能，如聽(tīng)詞對(duì)詞，聽(tīng)詞句說(shuō)意思，聽(tīng)句子辯正誤，