江蘇省蘇北三市(連云港、徐州、宿遷)2020屆高三數(shù)學第三次模擬考試試題(含解析)

1、江蘇省蘇北三市（連云港、徐州、宿遷）2020屆高三數(shù)學第三次模擬考試試題（含解析）it L11.參考公式：樣本數(shù)據(jù)的方差棱錐的體積V二；Sh，其中s是棱錐的底面積，b是高. I一、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.1 .已知集合kI . I .2, B, J ,2 ,7）,則集合A U B中元素的個數(shù)為.【答案】【解析】由于A U B = 4-1.0 J，所以集合兒U u中元素的個數(shù)為5.【點睛】根據(jù)集合的交、并、補定義：A A B = xlx t A_ELx七B），A U B = Ulx E rKk EC=工（WA,求出aU b|,可得集合a

2、 U H中元素的個數(shù).2 .設且，b Jb , 二自+ hi（1為虛數(shù)單位），則b|的值為 一-【答案】1【解析】由于 1 + i -+ bi）=& + b+ Ulm li ，有a + b = 1 , b_a = 1 ,得.-.1 -:.3 .在平面直角坐標系 工例.中，雙曲線二上 二的離心率是 .【答案】2【解析】4 .現(xiàn)有三張識字卡片，分別寫有“中”、“國”、“夢”這三個字.將這三張卡片隨機排序，則能組成“中國夢”的概率是 .【答案】【解析】把這三張卡片排序有“中” “國” “夢”，“中” “夢” “國”，“國” “中” “夢”；“國” “夢” “中” “夢” “中” “國”；“夢” “國

3、” “中”；共計6種，能組成“中國夢”的只有1種，概率為.【點睛】本題為古典概型，三個字排列可采用列舉法，把所有情況按順序一、一列舉出來,寫出基本事件種數(shù)，再找出符合要求的基本事件種數(shù)，再利用概率公式pC）二日，求出概n率值.5 .如圖是一個算法的流程圖，則輸出的的值為 .【解析】試題分析：由 / “ 4 I A得k 1再由題意知k - 5.K OK + Q 1.1 人 l 飛r u考點：算法流程圖的識讀和理解.6 .已知一組數(shù)據(jù)，則該組數(shù)據(jù)的方差是 .【答案】當曲.2）【解析】-2122Z21221G上二；- - (-6) + (fi-fi) + (9-6)/(8-6 ) *WsJO-u7

4、.已知實數(shù)，滿足則的取值范圍是 .x + y 2.【答案】,勺（或*；）【解析】本題為線性規(guī)劃，畫出一元二次不等式組所表示的可行域，目標函數(shù)為斜率型目 標函數(shù)，表示可行域內任一點|（工.）與坐標原點|（0, 0）|連線的斜率，得出最優(yōu)解為（3.213】）|，則的取值范圍是（4【點睛】線性規(guī)劃問題為高考熱點問題，線性規(guī)劃考查方法有兩種，一為直接考查，目標 函數(shù)有截距型、斜率型、距離型（兩點間距離和點到直線距離）等，二為線性規(guī)劃的逆向思維型，給出最優(yōu)解或最優(yōu)解的個數(shù)反求參數(shù)的范圍或參數(shù)的值8 .右函數(shù)=2in（2 + 0）（。（G4幸的圖象過點（0.寸3），則函數(shù)（乂）在| 0,乃|上的單調減區(qū)間

5、是.【答案】工%（或產9）【解析】函數(shù)f（x）二2sin（2x + 0 ）（0 0 方的圖象過點（0,揚1,則2小由=&，S1H0 ; w，仆亡 0V 7，辦=7， 一 f（N）= 2sin（2x + -）.工Ji7 Jt 右二p九，丸 3r,.U x 無，一 0 2x 2k，1 2x + 0.一。二10 .如圖，在正三棱柱 曲%瓦。1中,已知岫=AA1 = 3,點在棱CE上,則三棱錐|P-AB/ 的體積為.【答案】符【解析】由已知$=理.小，X十二唾，網(wǎng)=3Ji KJ1，4MtJ由于a平面AABB；,所以I1 #L 岫 聯(lián)vir3二 Vc-W|- n廠ABC二 SABC,品即二5，彳 3 二

6、7【點睛】求三棱錐的體積要注意利用體積轉化，以方便計算.體積轉化方法有平行轉化法、比例轉化法、對稱轉化法.用上述方法交換頂點的位置，此外還經(jīng)常利用底面的關系交換底面，利用圖形特點靈活轉化，達到看圖清楚，計算簡單的目的11 .如圖，已知正方形ABtu的邊長為，|BC平行于軸，頂點，和分別在函數(shù) 門=3】。風4， 心二21口丸、和匕=lug（a 1）的圖象上，則實數(shù)的值為 .【答案】【解析】由于頂點，和分別在函數(shù) 1=ilog&x ,、豆-戶和” -10售產（普 1）的圖象 .I上，設A（x ,31口瓦1K） ,R 210自產），門x #1。% 乂，由于EC平行于軸,則？】。*戶=logx ，有

7、x = x IBC I = x r 二 K“r = 2，斛得 為 二人又 I 出二3kax-Zlu1v = 1%k = ?,則 1a2 二式.二也.【點睛】由于正方形三個頂點在對數(shù)函數(shù)圖像上，且Bd平行于軸，則AH _1_、軸，因此可以巧設出卜、B、三點的坐標，利用U 3 C兩點縱坐標相等，橫坐標之差的絕對值為邊長 2, 以及.，H兩點橫坐標相等，縱坐標之差的絕對值為邊長2,解答出本題.12 .已知對于任意的k E （-co）U（5, + co）,都有-2儲一2丘+打a 0,則實數(shù)的 取值范圍是.【答案】h.5（或I 0對工L植恒成立;當3 = 1時，IL I.) =。不合題意；當日=二時，f

8、(2)二0符合題意；1 7C 5 ,5 a 或呂 1CS 白 2a-1-nrSA-綜上所述：實數(shù)的取值范圍是【點睛】有關一元二次方程的根的分布問題，要結合一元二次方程和二次函數(shù)的圖象去 作，要求函數(shù)值在某區(qū)間為正，需要分別對判別式大于零、等于零和小于零進行分類研 究，注意控制判別式、對稱軸及特殊點的函數(shù)值的大小，列不等式組解題13 .在平面直角坐標系 兄5中,圓cXk + (y-rn2二3若圓存在以為中點的弦 Mi,且那二2仃d則實數(shù)的取值范圍是.【答案】-揚揚(或-亞 n 9。 ,即/COB A 45” ,連接CbI， / CB 1 01b 由于(-2.111)，|CD| 二天 + 4=皿，

9、 |CH| 而. 皿 _lrisinZCOB 二兩二 7=3&L = W ，解得一 gj，即/COE施45“，則只需式n/COH臺式口德”，列出不等式解出的范圍.14 .已知.轉三個內角，的對應邊分別為，且二:，c = 2.當飛正取得最大值時，的值為【答案】b * V3【解析】設|a，4BC的外接圓半徑為，則2K二茄H而出耳M 4H ; 卜門柏 2卜口吊* 二 2 / TsinBrosA : TsinRcfsA , R = T - V-一 耨而/ JT 、 AH =工 又因為平面%鳧,L平面且BCD，平面1AD I平面由BCD = Q，AB仁平面AKD 所以優(yōu) 平面PAD 又AF匚平面PM），

10、所以AH -L Al又由（1）知rb |匹，所以af _L EF-【點睛】證明垂直問題時，從線線垂直入手，進而達到線面垂直，最終證明面面垂直，而面 面垂直的性質定理顯得更加重要，使用面面垂直的性質定理時，一定要抓住交線，面面垂直 性質定理的使用非常重要，要引起重視 .17 .如圖，在平面直角坐標系 .的中，已知橢圓 * =的左、右頂點分別為，過右焦點 43的直線與橢圓交于，兩點（點在軸上方）.（1）若qF二2FP求直線的方程；（2）設直線明的斜率分別為|k，k才是否存在常數(shù)|八|，使得 = XkJ?若存在，求出入 的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1） （2）【解析】試題分析：設直線的方程

11、，聯(lián)立方程組，利用向量關系找出兩交點的縱坐標關系,解方程求出直線方程；利用第一步的根與系數(shù)關系，借助已知的斜率關系求出A的值.試題解析：（1）因為J-歹 所以二 戶二1二1，所以的坐標為設1皿）|，直線的方程為工=111y +1,代入橢圓方程，得+.,一 9二解得前:胃，故直線的方程為限幽-布=。所以呻打=（yL +于”,J故存在常數(shù)a二：,使得.二、【點睛】求直線方程首先要設出方程，根據(jù)題目所提供的坐標關系，求出直線方程中的待定 系數(shù)，得出直線方程；第二步存在性問題解題思路是首先假設hl存在，利用所求的h +匕，2，,結合已知條件% = 得出坐標關系，再把 外十4，打n,代入求出|4|符合題

12、意，則a 存在，否則不存在.18 .某景區(qū)修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖所示.圓的圓心與矩形ABCD對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切 (為上切點)，與左右兩邊相交(，為其中兩個交點)，圖中陰影 部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域.已知圓的半徑為1m,且2 :.設士工況，二日，透光區(qū)域的面積為.(1)求關于6的函數(shù)關系式，并求出定義域；(2)根據(jù)設計要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好.當該比值最大時，求邊ae的長度.&【答案】(1) (2)【解析】試題分析：根據(jù)題意表示出所需的線段長度，再分別求三角形和扇形面積，從而表 示出總面積，再根據(jù)題意要求求出函數(shù)的定義域；根據(jù)題意表示

13、出“透光比”函數(shù)4，借助求導，研究函數(shù)單調性求出最大值.試題解析：(1)過點作qh R)于點，則ZOHJ = /EOF = 0，所以0=OFsin 0 = 0md , 1Jl = 010 = ES D 所以、: 4S o 用 + 4s 扁年 01下二 2sin 0 cos 0 + 1 *1 =+ N9 ,因為9,所以導山辦予:，所以定義域為彳). fli”4.口 士(2)矩形窗面的面積為 S婭+ = AU M3 = 2 武川9:如in。.則透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值為二巖+&.1。分、正. c X QUS 曰&714京僅自)=二 +力工歲ti ii1 仃由白 - -廣.三白.2hln &因為

14、所以;sin29 M :,所以finZJ -白 c Q，故(科) = l(m).答：(1)關于S的函數(shù)關系式為S二一口2+ 2”定義域為工,力； 4 2(2)透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時，AB的長度為1回【點睛】應用問題在高考試題中很常見，也是學生學習的弱點，建立函數(shù)模型是關鍵，本題 根據(jù)題目所給的條件列出面積關于自變量|。|的函數(shù)關系，注意函數(shù)的定義域；求函數(shù)最值問題方法很多，求導是一種通法 .19 .已知兩個無窮數(shù)列 仙J和億門的前項和分別為二1 二1，對任意的N.，都有科一 :q -47(1)求數(shù)列.卜的通項公式；(2)若(4為等差數(shù)列，對任意的口工卜；都有力 Tn.證明：% tj

15、;(3)若bj為等比數(shù)列(1，與二%, % =啊，求滿足-2 = ak L恒成立，得出L1和公差的要求，比較 .的大小可采用比較法； 蟲%是 以為首項，為公比的等比數(shù)列，求出 ，和Q,根據(jù)題意求出的值.試題解析：(1)由g-2SS2 %,得旗之- S/ = S- S】+ 4 , 即2% 1 二 % * 2 * 所以%、w - % - L = % -aJ- 由占=1, %=工，可知七2:3.所以數(shù)列乜是以為首項，為公差的等差數(shù)列.故j4的通項公式為an = 2n - 1.(2)證法一：設數(shù)列“J的公差為，則幾=nb,今個一匕1,由(1)知,因為 sn 丁 n，所以 T1 nh +即 fz - d

16、)n +(I - 口恒成立,所以2 -4 。，即 0,，2防 丁,得明 %，得證.證法二：設“G的公差為，假設存在自然數(shù) 小二上,使得.“ bp所以d & .所以n(n - 1)1 )n + (t|因為- | n,所以存在小 N ,當門 %時，Tri - Sn ：* 口恒成立.這與“對任意的u X ,都有Sn T矛盾！所以 明，得證.(3)由(1)知，5此=；.因為、 LJ為等比數(shù)列，且七二1|, bz=3,所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以13北7 I+ 2n 3+ 2a3+ 2n因為1E /，所以琦/-% .2 U，所以?j而 = 2L - 1,所以；1 ；二】，即3“ - 口 +二

17、0(*)當卜=J,時，(* )式成立；當力 / N時，設 f(n) =3 -* n - 1，則f(n+ 1) - f (n) = 3 - (H + n - 13,1 - n +口 - 1) = 2( 3rl 】-口)。，所以一故滿足條件的的值為和.【點睛】等差數(shù)列和等比數(shù)列是高考的重點，要掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式與前項和公式，另外注意利用uI = 0 I -這個公式，從到：S ,從方至L轉化. n 1 n * 1 n.ti tl n n20 .已知函數(shù) 門N）=：+ xlnx（m 口），K）二11宜一2,（i）當前=時，求函數(shù)（#的單調增區(qū)間；（2）設函數(shù):，x 0-若函數(shù)丫:h（h（

18、x）的最小值是乎，求的值；（3）若函數(shù)其N）,球入）的定義域都是,口,對于函數(shù)|門由的圖象上的任意一點，在函數(shù)僦太）的圖象上都存在一點，使得 0A上 加，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，為坐標原點.求的取值范圍.【答案】（1） （2）【解析】試題分析：求函數(shù)的單調區(qū)間可利用求導完成，求函數(shù)的最值可通過求導研究函數(shù)的單調性求出極值，并與區(qū)間端點函數(shù)值比較得出最值；解決 QA 問題，先求出QE斜率 的取值范圍，根據(jù)垂直關系得出 C斜率的取值范圍，轉化為恒成立問題，借助恒成立思想解 題.試題解析:（1）當 m = 1時,f（x）=:+ xlnx, f（x =-4 + lux + 1.因為6）在to. + 8）

19、上單調增，且二a,所以當 x i|時，f（X）。；當。v 耳 1 時，1 （x） al-所以函數(shù)上（乂北的單調增區(qū)間是 h. + oo）（2）h（工）=+ 2K - %2,則h（工） = 2 =與二凡,令b（戈）XX 1t當力m x u，時，h （x） J時，tr、 o,函數(shù)h（x）在（4* + 8）上單調增.所以h（G*n二爪二降-亞.當也（研- 1） 意即E；時, 函數(shù)丫=h（&）的最小值M2% - ) =： + 2(2 - 1) - 1 =即17fli - 26*0=0,解得施=1或、二 （舍），所以m:1|;函數(shù)1=h(h)的最小值h昭-)二至解得與陽二”舍)N 上 I4綜上所述，的值

20、為.(3)由題意知， *二三+ 1吟 Im二)考慮函數(shù)y二,因為/=二” 。在|1,.上恒成立，所以函數(shù)y二四產在| 1,履上單調增，故k1)B f | - 2, -所以卜04 E 1可，即;Inx p(l)=設 q(x) = x-(c - Inx ”則 qx)二 K2e - 1 - 21nx) x( 2e - I - Zliie) 。在1. c上恒成立所以C【K)在1.已1上單調增，所以m 口(1) = 5綜上所述，的取值范圍為|p.【點睛】求函數(shù)的單調區(qū)間、極值和最值是高考常見基礎題，求函數(shù)的單調區(qū)間可利用求導完成，求函數(shù)的最值可通過求導研究函數(shù)的單調性求出極值，并與區(qū)間端點函數(shù)值比較得出

21、最值；恒成立為題為高考熱點，已經(jīng)連續(xù)命題許多年，必須重視本題包括21、22、23、24四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作答.若多做，則按作答的前兩題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.21.如圖，圓的弦ABI,心交于點，且為弧的中點，點在弧EM上.若I/ACM=3/ADB ,求jA死的【答案】450【解析】試題分析：同弧或等弧所對的圓周角相等，利用等量代換，借助角與角的關系 求出所求的角試題解析：連結dn .因為為弧mn的中點，所以= /川）+而二必B 二 /XUB，所以 ZANM : /NAB = ZADS + /、川如即 ZfiCN = ZADB又因為 NKK ,

22、3ZADE，所以 ZACN + NBCN = 3/4DB + Z.MJB = 180故 / ME = 45 -【點睛】平面幾何選講部分要注意與圓有關的定理，特別是涉及到角的關系的定理，尋求角的相等，邊與邊的關系，大多利用全等三角形或相似三角形解題22.已知矩陣a =伉：:,若二曲，求矩陣的特征值.【答案】矩陣的特征值為 a , = - 1, a, = i.【解析】試題分析：根據(jù)矩陣運算解出呂川，寫出矩陣的特征多項式 門R,計算后令1（ A ）-。，求出特征值x-試題解析：因為卜中=埠:5=：,所以個a；解得q:：所以仁:. * z_二口，求出特征值x23.在極坐標系中，已知點1M2.千），點在

23、直線1J zjcos0 + njjiii。= 0（。曝 8 v 2貳）|上當線段最短時，求點的極坐標.【答案】點的極坐標為（亞方）.4【解析】試題分析：利用極坐標與直角坐標互化公式K =5。、=annbl,把Al?.：）化為直角坐標，再把的方程化為直角坐標方程，要使網(wǎng):最短，過點作直線的垂線，垂足為，寫出垂線方程，解方程組求出交點坐標，再化為極坐標試題解析：以極點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，則點的直角坐標為(0.2)，直線的直角坐標方程為 黑* 丫二.rb最短時，點為直線t + 2-0與直線的 交點，解廣 + 2 =。.得= - 1,所以點的直角坐標為f , 1 1)1.1 x

24、 + = 0 I = 1 .1 所以點的極坐標為點，.【點睛】極坐標為選修內容，掌握極坐標與直角坐標互化公式，掌握點和方程的互化，結合解析幾何知識解題.24. 已知，為正實數(shù)，且卜+/+ J二求證：1a * b *匕3Y區(qū).【答案】詳見解析【解析】試題分析：根據(jù)10a +爐+ J23日h實施等轉不等，得出占收# 31，再根據(jù)三個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)，證明出結論試題解析：因為卜* / , J=.3屈;，所以abc93,所以曰+ b + c 的工 3mL當且僅當曰=b = c =m時，取“ I = ” .【點睛】不等式選講為選修內容，注意利用均值不等式、柯西不等式、排序不等式進行證明，

25、另外注意選用證明方法，如綜合法、分析法、反證法，與正整數(shù)有關的命題有時還采用數(shù)學 歸納法.【必做題】第25題、第26題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域 內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.25. 在平面直角坐標系|乂5中，點卜(1,0),直線x二T與動直線*二口的交點為，線段的中 垂線與動直線(二n的交點為.(1)求動點的軌跡的方程；(2)過動點作曲線的兩條切線，切點分別為，求證：/AMB的大小為定值.【答案】(1)曲線的方程為 J _ J. (2)詳見解析 j - QX【解析】試題分析：根據(jù)題意動點到定點距離等于到定直線距離,符合拋物線定義,寫出拋物線方程，第二步設

26、出直線方程，聯(lián)立方程組,根據(jù)根與系數(shù)關系可律也二-1,可知ZAMB = g*為定值.試題解析：(1)因為直線=-與 :- 1垂直，所以 席為點到直線x二.1的距離.連結|聞，因為為線段MF的中垂線與直線r二口的交點，所以陽，二1T.所以點的軌跡是拋物線.焦點為FU.0)，準線為x二-1.所以曲線的方程為 /二J.(2)由題意，過點- l.n)的切線斜率存在，設切線方程為 y - 11 = k(x + 1所以 = 16 -+ In)=。，即/ + kn - 二口( *)，因為i., = /*.()，所以方程(*)存在兩個不等實根，設為 %.”,因為 ,凡=-1,所以|乙貼也=90、為定值.【點睛】求動點軌跡方程是常見考題，常用方法有直接法、坐標相關法，定義法、交軌