曲面的切平面與法線方程參考模板

1、曲面的切平面與法線方程設(shè) 中曲面的方程為F (x , y , z) = 0，函數(shù)F (x , y , z)在曲面上點(diǎn) 處可微，且 ，過(guò)點(diǎn) 任意引一條位于曲面上的曲線。設(shè)其方程為 ，且 對(duì)應(yīng)于點(diǎn) ； 不全為零。由于曲線在上，則有 及 。該方程表示了曲面上任意一條過(guò)點(diǎn) 的曲線在該點(diǎn)的切線都與向量 垂直，并且這些切線都位于同一平面上，這個(gè)平面就稱為曲面在點(diǎn) 處的切平面. 點(diǎn) 稱為切點(diǎn). 向量 稱為曲面在點(diǎn) 處的一個(gè)法向量。 記為 ?；痉椒ǎ?、設(shè)點(diǎn) 在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在點(diǎn) 處存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零，則曲面F(x, y, z)=0在點(diǎn) 處的切平面

2、方程為.法線方程為.2、設(shè)點(diǎn) 在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在點(diǎn) M0 (x0, y0) 處存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則該曲面在點(diǎn) 處的切平面方程為.1 / 7過(guò)X0的法線方程為.注：方法2實(shí)際上是方法1中取 的情形.3、若曲面由參數(shù)方程x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)給出，上的點(diǎn) 與uv平面上的點(diǎn)（u0 , v0）對(duì)應(yīng)，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）處可微.曲面在點(diǎn)X0處的切平面方程及法線方程分別為和三、答疑解惑 問(wèn)題：曲面的參數(shù)方程為x = x(u , v) , y =

3、y(u , v) , z = z(u , v)，上的點(diǎn) 與u , v平面上的點(diǎn)（u0 , v0）對(duì)應(yīng)，怎樣確定在點(diǎn)X0處的法向量？注釋?zhuān)涸O(shè)x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）處可微，考慮在上過(guò)點(diǎn)X0的兩條曲線.1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0);2：x = x(u0 , v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v).它們?cè)邳c(diǎn)X0處的切向量分別為當(dāng) 時(shí)，得在點(diǎn)X0處的法向量為則在點(diǎn)X0處的法向量為.四、典型例題 例1 求橢球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1,

4、 1）處的切平面方程與法線方程.解 設(shè)F(x, y, z) = x2+2y2+3z26，由于 在全平面上處處連續(xù)，在（1, 1, 1）處 ，橢球面在點(diǎn)(1, 1, 1)處的法向量為(2, 4, 6). 則所求切平面方程為，即 x + 2y + 3z = 6.所求法線方程為 ，即 .例2 求曲面 平行于z = 2x+2y的切平面方程.解 設(shè)切點(diǎn)為 . 曲面 ，因此 .則曲面在 處的法向量為 .曲面在點(diǎn)X0處的切平面方程為又切平面與已知平面z = 2x+2y平行，因此解得切點(diǎn)坐標(biāo)為 ，所求切平面方程為，即 .例3 求曲面 在點(diǎn) 處的切平面方程和法線方程.解 點(diǎn) 對(duì)應(yīng)曲面上的點(diǎn) 其中.則曲面在點(diǎn) 處的法向量為 .所求曲面在點(diǎn)X0處的切平面方程為即 .所求的法線方程為 即 .例4 求過(guò)直線 ，且與曲面 相切之切平面方程.解 過(guò)直線的平面方程可設(shè)為，即 ，其法向量為 .記 ，則設(shè)所求的切平面的切點(diǎn)為 ，則曲面上 處的法向量為 .且有由(1)、(3)解得,代入(2)得.解得 t1 = 1, t2 = 3，故 1 = 3 , 2=7.則所求切平面方程為，或 .即 6x + y + 2z = 5 或 10x + 5y + 6z = 5.例5 試證曲面 上任一點(diǎn)處的切平面都過(guò)原點(diǎn)，其中f