八年級(jí)上冊(cè)張家港數(shù)學(xué)期末試卷易錯(cuò)題(Word版含答案)

1、八年級(jí)上冊(cè)張家港數(shù)學(xué)期末試卷易錯(cuò)題(Word版 含答案)一、八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形解答題壓軸題(難)1 . (1)如圖 1：在四邊形 ABCD 中，AB=AD. ZBAD=I20° , ZB 二 ZADC= 90° E、F 分別是 BC, CD上的點(diǎn).且ZmF=60° .探究圖中線段旺BE, R之間的數(shù)量關(guān)系.小明同學(xué)探究的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)&G,先證明ABE ADG,再 證明AAE ' AGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論是(直接寫結(jié)論，不需證明)：如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD. Z+Z D=180o , E、F分別是B

2、C, CD上的點(diǎn)， 且ZEAF是ZaAD的二分之一，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由.(3)如圖3,四邊形A3CD是邊長(zhǎng)為5的正方形，ZEBF=45° ,直接寫出三角形DEF的周 長(zhǎng)【解析】【分析】(1) 如圖1,延長(zhǎng)FD到G,使得DG=DC,先證AABEADGf得到AE=AGfZBAE=ZDAG,進(jìn)一步根據(jù)題意得ZEAF=ZGAF,再證明 AEFAGF,得到EUFG,最后 運(yùn)用線段的和差證明即可. 如圖2,延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,證得 AB駁 4DG,得到AE=AG, 上BAE=Z DAG,再結(jié)合題意得到ZEAF=Z GAF,再證明 &曰竺 AGF,得到EQ

3、FG,最后運(yùn) 用線段的和差證明即可.(3)如圖3,延長(zhǎng)DC到點(diǎn)G,截取CG=AE.連接BG,先證 AEB旻心CG3,得到BE=BG9 ZABENCBG,結(jié)合已知條件得Z CBF+Z CBG=45。,再證明'EBF里世GBF,得到 EF=FG,最后求三角形的周長(zhǎng)即可.【詳解】解答：(1)解：如圖1,延長(zhǎng)FD到G,使得DG=DC在厶ABE和ZADG中，DC = DG. < ZB = ZADGAB = AD ABE 厶 ADG (SAS),/. AE=AG9 ZBAF=ZD4G,1 Z EAF=-A BAD,2 Z GAF=乙 DAG+Z DAF=乙 B&E+Z DAF=乙 B

4、AD乙 EAF=Z EAl：.Z EAF=乙 GAF,/EAAEF 和ZkGAF 中，AE = AG < ZEAF = ZGAF ,AF = AF AEF 厶 AGF (SAS), EF=FG9T FG=DGWF=BEWF9：.EF=BEWF;故答案為：EF=BEWF(2 )解：結(jié)論EF=BEWF仍然成立：理由：如圖2,延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE連結(jié)AG在ZXABF和厶ADG中,DG =BE< ZB =ZADG ,AB =AD ABE厶 ADG (SAS)/. AE=AG. ZBAE=A DAG.1 Z EAF=-A BAD,2 Z GAF=Z D&G+Z DAF=A B

5、AE DAF=乙 BAD2 EAF=Z EAF、：.Z EAF=Z GAF9±,AEF 和ZkGAF 中，AE = AG < ZEAF = ZGAF tAF = AF AEF 心 AGF (.SAS), EF=FG9 FG=DGWF=BEWF,：.EF=BEWF,(3)解：如圖3,延長(zhǎng)DC到點(diǎn)G,截取CG=AE,連接3G, 在ZXAEB 與 ACGB 中， AEB 厶 CGB (SAS), BE=BG9 ZABE=A CBG./ Z EBF=45o , ZABC=90c ,/. Z ABE+ Cf=45o , Z CBF+Z CBG=45° 在ZkEBF 與ZkGBF

6、 中，BE = BG. < ZEBF = AGBF ,BF = BF EBF里 GBF (SAS), EF=GF9 DEF 的周長(zhǎng)=EF+ED+CF=AE+CF十DE+DF=AD+CD=10【點(diǎn)睛】本題主要考査了三角形全等的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定是解答本題 的關(guān)鍵但本題分為三問(wèn)，難度不斷增加，對(duì)提升思維能力大有好處.2. 如圖，在AABC中，ZABC為銳角，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直角邊且在AD 的右側(cè)作等腰直角三角形ADE, ZDAE = 90° , AD=AE.(1) 如果AB = AC, ZBAC=90°.當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖i

7、,線段CE、BD的位置關(guān)系為,數(shù)量關(guān)系為當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2,中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）如圖3,如果ABHAC, ZBACH90。，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng).探究：當(dāng)ZACB多少度 時(shí)，CE丄BC?諳說(shuō)明理由.【答案】（1）垂直，相等.都成立，理由見解析：（2）45%理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)ZBAD=Z CAE , BA=CA , AD=AE,運(yùn)用 wSASm 證明ZkABg ACE,根據(jù)全等 三角形性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，即可得到線段CE、BD之間的關(guān)系：先根據(jù)“SAS”證明AAB於 ACE,再根據(jù)全等三角形性質(zhì)得岀對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相 等，即可

8、得到中的結(jié)論仍然成立；（2）先過(guò)點(diǎn)A作AG丄AC交BC于點(diǎn)G,畫出符合要求的圖形，再結(jié)合圖形判泄GA於 CAE,得出對(duì)應(yīng)角相等，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）: （I）CE與BD位置關(guān)系是CE丄BD,數(shù)量關(guān)系是CE=BD .理由:如圖 1 / Z BAD=900-Z DAC , Z CAE=90o-Z DAC J Z BAD=Z CAE 又 BA=CA r AD=AE I ABD旻厶 ACE （ SAS ） Z ACE=Z B二45° 且 CE=BD Z ACB=Z B二45° , Z ECB=45o+45o=90° ,即 CE丄BD 故答案為垂直，相等：都成立，理

9、由如下：ZBAC=ZDAE=90° , ZBAC+ ZDAC= ZDAE+ ZDAC,:ZBAD=ZCAE,在恥與謝C中，AD=AEZBAD= ZCAEAB=AC :HDABHEAG： CE=BD ZB=ZACE, ZACBZACE=9Q",即防丄恥(2)當(dāng)ZMB= 45°時(shí)，傳丄別(如圖)理由：過(guò)點(diǎn)刖乍AGLAC交少的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G則ZGAC=9QQ , ZAGC= 90° -45° =45° , ZACB=ZAGC=45",：.AC=AG.在 ZkQQ 與中，AC=AGZDAG=ZEACAD=AE：.GADCAE,：.ZA

10、CE=ZAGC= 45",ZBCE= ZACB+ ZACE=Ah +45° =90° ,即 CEg3. 如圖1,在等邊AABC中，E、D兩點(diǎn)分別在邊43、BC上，BE=CD, ADy CE相交于點(diǎn)(1) 求ZAFE的度數(shù):(2) 過(guò)點(diǎn)&作AH丄CE于H,求證：2FH+FD=CE;2PF(3) 如圖2,延長(zhǎng)CE至點(diǎn)P,連接3P, ZBPC= 30°,且CF=-CP.求的值. 9AF(提示：可以過(guò)點(diǎn)力作ZKAF=60ot AK交PC于點(diǎn)K,連接KB)7【答案】(I) ZW60。； (2)見解析：(3)-5【解析】【分析】(1) 通過(guò)證明厶BCEm K

11、AD得到對(duì)應(yīng)角相等，等量代換推導(dǎo)出ZAFE = 60°：(2) 由(1)得到ZAFE = 60。，CE = AD則在RlAHF中利用30°所對(duì)的直角邊等 于斜邊的一半，等量代換可得：(3) 通過(guò)在PF上取一點(diǎn)K使得KF=AF,作輔助線證明aABK和aACF全等，利用對(duì)應(yīng)邊相等，等量代換得到比值(通過(guò)將aACF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°也是一種思路.)【詳解】V ABC為等邊三角形，：.AC=BC, ZBAC=ZABC=ZACB=60°. 在ABCE和中，BE = CD< ZCBE = ZACD = 60° ,BC = CA： BCE CAD (SA

12、S),：.ZBCE=Z DAC. ZBCE+ZACE=60o9：.ZDACZACE=60：.ZAFQ60。(2) 證明：如圖1中，9；AH丄EC, ZAHQ90°, RtAAFH 中，V ZfH=60o, ZfiAH=30%.AF=2FH. EBC 仝 CA,：.EC=AD,9： AD=AFWF2FHWF9：.2FHWFEC.TZAFK二60。，AF=KF9.,.AAFK為等邊三角形，ZC4F=60：.ZKAB=ZFACABK 和CF 中，AB = AC< ZKAB = ZACF ,AK = AF ABK ACF (SAS), BK = CF：.ZAKB=ZAFC=I20o9：

13、.ZBKE=I20° - 60o=60 ZBPC=SOQ9：.ZPBK=30。，2 BK = CF = PK = -CP,9 PF = CP-CF = I CP,945AF ICP 5 AF = KF = CP-(CF + PK) = CP-CP = -CP9【點(diǎn)睛】掌握等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)，及三角形全等的判左通過(guò)一定等量代換為本題的關(guān) 鍵.4. 在等邊 ABC中，點(diǎn)D是邊BC±一點(diǎn)作射線AD.點(diǎn)B關(guān)于射線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E連接CE并延長(zhǎng)，交射線AD于點(diǎn)F(1) 如圖，連接(I)AE與AC的數(shù)量關(guān)系是:設(shè)ZBAF = a,用Q表示ZBCF的大小；(2) 如圖，用等式

14、表示線段AF, CF, EF之間的數(shù)呈關(guān)系，并證明.【答案I(I)CDAB=AE:ZBCF=a； (2)AF-EF=CF,理由見詳解.【解析】【分析】(1) 根據(jù)軸對(duì)稱性，即可得到答案：由軸對(duì)稱性，得：AE=AB, ZBAF=ZEAF= « ,由厶ABC是等邊三角形，得AB=AC, ZBAC=ZACB=60° ,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和等于180。,即可求解：(2) 作ZFCG=60°交AD于點(diǎn)G,連接BF,易證FCG是等邊三角形，得GF=FC,再證 ACGBCF(SAS),從而得AG=BF,進(jìn)而可得到結(jié)論.【詳解】(1) T點(diǎn)3關(guān)于射線Ar)的對(duì)稱點(diǎn)

15、為點(diǎn)E ,AAB和AE關(guān)于射線AD的對(duì)稱， AB=AE.故答案是：AB=AE:點(diǎn)“關(guān)于射線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E ,AE=AB, ZBAF=ZEAF=a ,V ABC是等邊三角形，AB=AC, ZBAC=ZACB=60° , ZEAC=60° -2 a, AE=AC,ZACE= -180 -(60 -2a)J = 600 + a,2 ZBCF=ZACE-ZACB= 60 +a-60o =a .(2) AF-EF=CF.理由如下：作ZFCG=60。交AD于點(diǎn)G,連接BF, VZBAF=ZBCF=<z , ZADB=ZCDF, ZABC=ZAFC=60c ,FCG是等邊三角形

16、， GF=FC,V ABC是等邊三角形， BC=AC, ZACB=60° ,AZACG=ZBCF=Qr 1ACG 和ABCF 中，CA = CBV ZACG = ABCF ,CG = CFACGBCF(SAS), AG=BF,點(diǎn)3關(guān)于射線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E ,AAG=BF=EF,VAF-AG=GF,AAF-EF=CE【點(diǎn)睛】本題主要考査等邊三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)泄理，添加輔助線，構(gòu)造全等 三角形，是解題的關(guān)鍵.5. 如圖，& (0, 4)是直角坐標(biāo)系y軸上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿X軸正半軸運(yùn) 動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，以P為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰Rt&

17、gt;4PB.設(shè)P點(diǎn)的 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒.（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為A,連接AB,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，ZOKB的度數(shù)是否 會(huì)發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)求出ZOA1B的度數(shù)，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）如圖2,當(dāng)r=3時(shí)，坐標(biāo)平而內(nèi)有一點(diǎn)M （不與A重合）使得以M、P、B為頂點(diǎn)的 三角形和AABP全等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).【答案】（1）4； （2） ZOA1B的度數(shù)不變，ZoAB=45°，理由見解析：（3點(diǎn)M的坐 標(biāo)為（6, - 4） ,（4, 7） ,（10, - 1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，可證明AAOP為等腰直角三角形，從 而求得答案：（2）根

18、據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得：PA=PAt=PB,由ZPAB+ZPBA = 90°,結(jié)合三角形內(nèi)角和左理即 可求得 ZOB=45°（3）分類討論：分別討論當(dāng) ABPMBP. 'ABPmbMPB、ABP93PB時(shí)，點(diǎn)M的 坐標(biāo)的情況：過(guò)點(diǎn)M作X軸的垂線、過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線，利用等腰直角三角形的性質(zhì)及 全等三角形的判左和性質(zhì)求得點(diǎn)M的坐標(biāo)即可.【詳解】（1）tJAB/P3為等腰直角三角形，：,ZPAB=ZPBA = ZAPO=45°,.,.OP為等腰直角三角形，.0A = 0P=4.t=4÷l=4 （秒），故t的值為4.（2）如圖2, ZOA1B的度數(shù)不變，ZoA

19、3=45。，點(diǎn)q關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為a,.9.PA = PA,又 AP=PB9：.PA=PAI = PBf：.ZPAAl = ZPAlAt ZPBAt = ZPA1B.又 VZ4+ZP>4 = 90 ZPAAZPA,AZPAtBZPBAl= ISQO-(ZPAB+ ZPBA)= 180°-90°=90% ZA4,8=45o,即 ZOAB=45。；(3) 當(dāng)r=3時(shí)，M、P、3為頂點(diǎn)的三角形和AABP全等,如圖3,若"BP9kM8P,則AP=PM,過(guò)點(diǎn)M作MD丄OP于點(diǎn)D,V ZAOP= ZPDM9 ZAPO=ZDPm,：.AOPMDP (AAS),0A = D

20、M=4, OP=PD=39如圖 4,若aABP9AMPB,則 AB = PM，過(guò)點(diǎn)M作ME丄X軸于點(diǎn)E ,過(guò)點(diǎn)3作BG丄X軸于點(diǎn)G ,過(guò)點(diǎn)B作BF丄軸于點(diǎn)F，VAPB為等腰直角三角形，則AMPB也為等腰直角三角形，：.ZBAP=ZMPB=45° , PA = PB Zl + Z3 = 90o = Z2 + Z3,Zl = Z2.,.RIAOP = RIPGB：.BG = OP = 3, PG = AO = 4V BG丄X軸，BF丄V軸四邊形BGoF為矩形，OP = BG = 3,則AF = OA-OF = 4-3 = BF = OG = OP+PG = 3+4T在 Ri SBF 和

21、RePME 中Z8M=45° + Z1, ZMPE=45° + Z2,：.ZBAF=ZMPE AB = PM RGABF = R2 PME： ME = BF = I PE = AF = X.M的坐標(biāo)為：（4, 7）,如圖 5,若ABPAMPBt 則 AB = PM，過(guò)點(diǎn)M作ME丄X軸于點(diǎn)£>,過(guò)點(diǎn)3作BG丄X軸于點(diǎn)E ,過(guò)點(diǎn)3作BF丄軸于點(diǎn)F ,VP為等腰直角三角形，則AMPB也為等腰直角三角形，. ZBAP= ZMPB=45° , PA = PBV Zl + Z3 = 90o = Z2 + Z3,Zl = Z2 RGAoP 三 RgPEB： BE

22、 = OP = 3, PE = AO = 4： BE丄X軸，BF丄）'軸.四邊形BEoF為矩形，：OP = BG = 3,則AF = OA-OF = 4-3 = BF = OE = OP+PE = 3+4 = 7 RIABF 和 RePMD 中 BF丄，軸Z4 = Z2V Z4+zABF = a+ZPMD ZABF = ZPMDJ AB = PM.,.RZABF R2 PMD MD = AF = L PD = BF = I：.M的坐標(biāo)為：(10, - 1)【點(diǎn)睛本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判肚和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，第(3)小題 要注意分類討論，作此類型的題要結(jié)合圖形，構(gòu)

23、建適當(dāng)?shù)妮o助線，尋找相等的量才能得出 結(jié)論二. 八年級(jí)數(shù)學(xué)軸對(duì)稱解答題壓軸題(難)6. 已知在ZABC中，AB=AC,射線BM、BN在ZABC內(nèi)部，分別交線段AC于點(diǎn)G、H.(1) 如圖1,若ZABC = 60° , ZMBN = 30° ,作AE丄BN于點(diǎn)D,分別交BC、BM于點(diǎn) E、 F. 求證：Zl=Z2； 如圖2,若BF = 2AF,連接CF,求證：BF = CR(2) 如圖3,點(diǎn)E為Be上一點(diǎn)，AE交BM于點(diǎn)F,連接CF,若ZBFE = ZBAC=2ZCFE, 求孕竺的值.【答案】(I)見解析：見解析：(2) 2【解析】【分析】(1) 只要證明Z2+ ZBAF =

24、 Z1+ ZBAF = 60oKP可解決問(wèn)題：只要證明 BFCADB,即可推岀ZBFC=ZADB=90°；(2) 在BF上截取BK=AF,連接AK.只要證明厶ABK8CAF,可得Sabk = SAFC再證明AF = FK = BKt可得SAABK=Saafk,即可解決問(wèn)題：【詳解】(I) 證明：如圖1中，VAB = AC, ZABC=60°ABC是等邊三角形，ZBAC=60VAD 丄 BN, ZADB=90°,VZMBN = 30%ZBFD = 60°= Zl+ZBAF=Z2+ZBAFtZ1=Z2在 RtBFD 中，VZFBD=30%BF=2DFfVBF

25、=2AF, BF=ADtVZBAE= ZFBC, AB = BC,BFCADB, ZBFC= ZADB = 90o,BF 丄 CF(2) 在BF上截取BK=AF,連接AK.VZBFE=Z2+ZBAF, ZCFE=Z4+Z1, ZCFB = Z 2+ Z4+ Z BAC,VZBFE=ZBAC=2ZEFC,Z1+Z4=Z2+Z4Z1=Z2, VAB=AC,ABK9CAF,Z3=Z4, Saabk = S. .AFCiT Z1+Z3=Z2+Z3= ZCFE= ZAKBt ZBAC=2ZCEF, ZKAF= Zl+Z3 = ZAKF,AAF = FK=BK,*S.ABK = SAAFKt.SABF _

26、 £SSFC【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判左和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判左和性質(zhì)、直角 三角形30度角性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠正確添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決 問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.7. 已知：等邊MBC中.A圖3AN（1）如圖魚點(diǎn)M是Be的中點(diǎn)，點(diǎn)N在A3邊上，滿足S4MN = 60°,求的BN 值.（2）如圖2,點(diǎn)M在AB邊上（M為非中點(diǎn)，不與A、重合），點(diǎn)N在CB的延長(zhǎng) 線上且ZMN = ZMCB,求證：AM=BN.（3）如圖3,點(diǎn)P為/IC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在43的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在Be的延長(zhǎng)線上，滿BF-BF足ZAEP = ZPFC,求”的值 DC

27、3【答案】（1） 3；（2）見解析；（3）2【解析】【分析】（1）先證明AB, BN與M4N均為直角三角形，再根據(jù)直角三角形中30。所對(duì)的 直角邊等于斜邊的一半，證明BM=2BN, AB=2BM,最后轉(zhuǎn)化結(jié)論可得出BN與AN之間的 數(shù)量關(guān)系即得：（2）過(guò)點(diǎn)M作ME BC交AC于E,先證明AM=ME,再證明 MEC與VBM全等，最后 轉(zhuǎn)化邊即得；（3）過(guò)點(diǎn)P作PMBC交AB于M,先證明M是AB的中點(diǎn)，再證明AEMP與AFCP全 等，最后轉(zhuǎn)化邊即得.【詳解】（1）.ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn).AM 平分ZBAC, AM 丄 BC , ZB = ABAC = （. ZBAM =30。，ZA

28、MB = 90°J ZAMN = 60° ZBAM+ ZAMV = 90。，ZBMN = 30。 ZANM = 90° ZBNM =180o-ZANM = 90°在 RtABNM 中，BM = WN在皿AABM 中，AB = IBM： AB = AN+BN = 2BM = 4BNAN：.AN = 3BN- = 3.BN（2）如下圖:過(guò)點(diǎn)M作ME/7BC交AC于E ZCME=ZMCb, ZAEM=ZACB ABC是等邊三角形 ZA=ZABC=ZACB= 60° ZAEM = ZACB = 60o, ZMBN = 120°：.ZCEM =

29、 ZMBN = 2F, ZAEM = ZA = 60°AAM=ME AMNB = ZMCB ZCME=ZMNb, MN=MC在 WEC 與 EM 中ZGWE =乙 MNB< ZCfM =乙MENMC = MN. AMECdVBM(AAS)ME = BNAM = BN(3) 如下圖：過(guò)點(diǎn)P作PM BC交AB于M ZAMP = ZABCJ AABC是等邊三角形 ZA=ZABC=ZACB= 60o , AB = AC = BC ZAMP = ZA = 60。 AP = MP AEMP = 180° - ZAMP = 120o, ZFCP = 180° - ZACB

30、 = 120°. AAMP是等邊三角形，ZEMP = ZFCP = UOo AP = MP = AMP點(diǎn)是AC的中點(diǎn) AP = PC = MP = AM=-AC = -AB = -BC2 2 2 AM=MB = -AB2住AEMP與AFCP中ZEMP = ZFCP< ZAEP = ZPFCMP = PC MPCP(AAS)： ME = FC1 3 BF-BE = FC+ BC BE = ME +BC BE = MB +BC =-BC+ BC = BC2 2.BF-BE 2BC_?> .BC2【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判圧，等邊三角形的性質(zhì)及判左，通過(guò)作等邊三角形第三邊的

31、平行 線構(gòu)造等邊三角形和全等三角形是解題關(guān)鍵，將多個(gè)量轉(zhuǎn)化為同一個(gè)量是求比值的常用方 法.8. 數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題：例1等腰三角形ABC中，ZA = IIO >求ZB的度數(shù).（答案：35）例2等腰三角形ABC中，ZA = 40，求ZB的度數(shù).（答案：40或70>或IOO ）張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編了如下兩題：變式2:等腰三角形ABC中，ZgLo0。，求ZB的度數(shù).變式2:等腰三角形ABC中，ZA= 45°,求ZB的度數(shù).（1）請(qǐng)你解答以上兩道變式題.（2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，ZA的度數(shù)不同，得到上B的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同.如果在 等腰三角形ABC中，

32、設(shè)ZA = x當(dāng)ZB只有一個(gè)度數(shù)時(shí)，請(qǐng)你探索X的取值范圍.【答案】（1）變式 1: 40°；變式 2: 90?；?67.5?；?45。：（2） 90o2T<180o或 x=60°【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和左理，分類討論，即可得到答案：（2）在等腰三角形ABC中，當(dāng)只有一個(gè)度數(shù)時(shí)，ZA只能作為頂角時(shí)，或ZA=60o , 進(jìn)而可得到答案.【詳解】變式±.等腰三角形ABC中，ZA=IOOo,ZA為頂角，ZB為底角,變式2:T等腰三角形ABC中，Z=450,當(dāng) AB=BC 時(shí),ZB =90° ,當(dāng) AB=AC 時(shí)，ZB =67

33、.5° ,當(dāng) BC=AC 時(shí) ZB =45° ；（2）等腰三角形ABC中，設(shè)Z = Z,當(dāng)90ox<180o, ZA為頂角，此時(shí)，ZB只有一個(gè)度數(shù)，當(dāng)x=60。時(shí)，三角形ABC是等邊三角形，此時(shí)，只有一個(gè)度數(shù)， 綜上所述：90o×<180o或 x=60°【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論思想的應(yīng)用，是解題的關(guān)鍵.9. （閱讀理解）截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)兒何題中一種輸助線的添加方法，截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上載取一條線 段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過(guò)在一條短邊上延長(zhǎng)一條線段與另一短邊相等，從而解決問(wèn) 題（1）如圖1，MBC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊

34、BC下方一點(diǎn)，ZBDC=I20。，探索線段 DA. DB、DC之間的數(shù)疑關(guān)系.解題思路：延長(zhǎng)DC到點(diǎn)Q使CE=BD 連接根據(jù)ZBAC+ZBDC= 180可證ZABD =ZACEl易證得'ABD遜ACE,得出是等邊三角形，所以AD=DE,從而探尋線段 DAy DB、DC之間的數(shù)疑關(guān)系.根據(jù)上述解題思路，請(qǐng)直接寫出、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是（拓展延伸）（2）如圖 2,在 RtAABC 中，ZBqC=90°, AB=AC 若點(diǎn) D 是邊 BC 下方一點(diǎn)，ZBDC=90。，探索線段、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（知識(shí)應(yīng)用）（3）如圖3,副三角尺斜邊長(zhǎng)都為14cm,把斜邊重

35、疊擺放在一起，則兩塊三角尺的直角項(xiàng)點(diǎn)之間的距離PQ的長(zhǎng)為cm.圖1【答案】（1） DA = DB+ DCt （2）迥DA = DB+ DC，理由見詳解；（3）72+762【解析】【分析】（1）由等邊三角形知AB = AC,ZBAC = 60°,結(jié)合ZBDC = V16知ZABD ÷ ZACD = 180°.則 ZABD = ZACE 證得 ABD =ACE 得AD = AE,ZBAD = ZCAE,Mffi明三角形ADE是等邊三角形，等量代換可得結(jié)論;（2）同理可證ABD =ACE得AD = AE,ZB4D = ZC4E,由勾股圧理得 DA2+AE2 =DE2 等

36、量代換即得結(jié)論；（3）由直角三角形的性質(zhì)可得QN的長(zhǎng)，由勾股泄理可得MQ的長(zhǎng)，由（2）知2P（2 = QN + QM ,由此可求得PQ長(zhǎng).【詳解】解：（1）延長(zhǎng)DC到點(diǎn)F,使CE=BD.連接處，.ABC是等邊三角形/. AB = AC,ZBAC = 60°. ZBDC = I 20°. ZABD+ ZACD = 180°又. ZACE +ZACD = I 80°. ZABD = ZACE.ABD ACE（SAS）. AD = AE,乙 BAD = ZCAE. ABAC = 60°：.ZBAD +ZDAC = 60a：.ZDAE = ZDAC +

37、 ZCAE = 60°ADE是等邊三角形. DA = DE = DC+CE = DC+DB近DA = DB+ DC延長(zhǎng)DC到點(diǎn)&使CF=BD連接處， ZB4C = 90°，ZBDC = 90°：.ZABD +ZACD = 180a又 ZACE+ ZACD = 180° ZABD = ZACE. AB = AUCE = BD.ABD =ACE(SAS). AD = AE. ZBAD = ZCAE ZDAE = ZBAC = 90°. DA2 + AE2 = DEI.2DA2 =(DB + DC)2:.y2DA = DB +DC(3) 連接

38、PQ,MN = 14,ZQMN = 30°QN = LMNT2根據(jù)勾股定理得 MQ =-QN2 = 142-72 = 147 = 73由(2)知邁PQ = QN+ QMPQ =QN+ QM -7 + 7J-7+7A2 一 近一 2【點(diǎn)睛】 此題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判左和性質(zhì)、直角三角形和等邊三角形 的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判建和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵10. 如圖，在等邊MBC中，線段AM為BC邊上的中線.動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，以 CD為一邊在CD的下方作等邊ACDE,連結(jié)施.（1）求ZCAM的度數(shù)：（2）若點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，求證：MDC = ABECi（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)

39、D在直線AM上時(shí)，設(shè)直線與直線AM的交點(diǎn)為O ,試判斷ZAOB是否 為定值？并說(shuō)明理由.【解析】【分析】(1) 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論：(2) 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC = AC, DC = EC,ZACB = ZDCE = 60°,由等式的性質(zhì)就可以ZBCE = ZACD,根據(jù)SqS就可以得岀 ADC ABEC:(3) 分情況討論：當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，如圖1,由(2)可知ACD = SBCE,就可 以求岀結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2,可以得出ACD = ABCE而有 ACBE = CAD = 3OQ而得出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)D在線段MA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如

40、圖3,通過(guò)得出 ACD = BCE同樣可以得出結(jié)論.【詳解】(1) VSABC是等邊三角形，. ZBAC = 60°.T線段AA/為BC邊上的中線，. ZCAM =丄 ABACt2,ZC4M=30o.(2) .SABC與QEC都是等邊三角形，aAC = BC, CD = CE, ZACB = ZDCE = 60。，. ZACD + ADCB = ADCB + ABCE,.ZACD = ZBCE.在ADC和NBEC中AC = BC< ZACD = ZBCE ,CD = CE. SACD ABCE(SAS):(3) ZAOB是左值，ZAOB = 60。，理由如下： 當(dāng)點(diǎn)D在線段AM

41、上時(shí)，如圖1,由(2)可知 ACD = 5CE,則 ZCBE = ZCAD = 30° ,又 ZABC = 60。，A ZCBE+ ZABC = 60°+ 30° = 90°,.ABC是等邊三角形，線段AM為BC邊上的中線平分 ZBAC,即 BAM = - ZBAC = 1× 60° = 30°" 2 2. ZBcM = 90°-30° = 60°. 當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2,. ABC與 UEC都是等邊三角形，:.AC = BC CD = CE, ZACB = ZDCE

42、= 3。,：.ZACB +ZDCB = DCB+ZDCE ,NACD = ZBCE，在MCD和ABCE中AC = BC< ZACD = ZBCE ,CD = CE. ACD = ABCE(SAS),AZCBE = ZCW = 30°,同理可得：ZBAM= 30。，A ZBCM = 90°-30° = 60°. 當(dāng)點(diǎn)D在線段MA的延長(zhǎng)線上時(shí)，： SABC與 UEC都是等邊三角形， AC = BC, CD = CE, ZACB = ZDCE = 3。,：.ZACD + ZACE = ZBCE+ZACE = 60° ,.ZACD = ZBCE在

43、MCD和ABCE中ACBC< ZACD = ZBCE ,CD = CE：.ACD ABCE(SAS) 9乙CBE = ZCAD,同理可得：ZCAM= 30。 ZCBE = ZCAD = 150° ZCBO = 30° ,V ZBAM = 30°, ZBaI = 90o-30o = 60o.綜上，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Z)在直線AM上時(shí)，ZAoB是泄值 ZAOB = 60°.CE3>【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判左及性質(zhì)，等邊三角形三線合一的性質(zhì)，解 題中注意分類討論的思想解題.三、八年級(jí)數(shù)學(xué)整式的乘法與因式分解解答題壓軸題（難）11因式分解

44、是多項(xiàng)式理論的中心內(nèi)容之一，是代數(shù)中一種重要的恒等變形，它是學(xué)習(xí)數(shù) 學(xué)和科學(xué)技術(shù)不可缺少的基礎(chǔ)知識(shí).在初中階段，它是分式中研究約分、通分、分式的化 簡(jiǎn)和計(jì)算的基礎(chǔ)；利用因式分解的知識(shí)，有時(shí)可使某些數(shù)值計(jì)算簡(jiǎn)便因式分解的方法很 多，請(qǐng)根據(jù)提示完成下而的因式分解并利用這個(gè)因式分解解決提岀的問(wèn)題.（1）填空：F+討（b+宀扌-宀【答案】（I）X2+| ,Ojt+x+ , Jr2)62,治+丄+ 6,62+-62丿I 2丿【解析】42.5,30.5 :(2)145TF【分析】（1）根據(jù)完全平方公式和平方差公式計(jì)算可得;（2）利用前面所得規(guī)律變形即可.【詳解】(I) X4+卜(，+疋+扌-X1x + -

45、2+ - -64= 42.5×30.5故答案為：F+* 6?, 62，6 弓+ 6),(/+* -6), 42.530.5 :62 + 6 + £)(62 - 6 + *)(f + 8 + £(82 8 + *)52÷5÷052-5÷lI72÷7÷072-7 + l)42.5×30.3×72,5×56,5_ 30.5 × 20.5 × 56.5 × 42.5145-IT【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用；熟練掌握完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵.12(1

46、)你能求出(-l) ( 99÷9÷97÷.÷2÷÷l)的值嗎？遇到這樣的問(wèn)題,我們可 以先從簡(jiǎn)單的情況入手，分別計(jì)算下列各式的值.(O-I) ( +l ) =；( 1 ) ( 2+l ) =；( 1 ) ( 3+2+l ) =；由此我們可以得到：(O-I) ( 99+9+.+l )二.(2)利用(1)的結(jié)論，完成下面的計(jì)算：2199+219+2197+.+22+2+l .【答案】(1) /_1 , -i f, RoO 一1 (2) 22-l【解析】【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式運(yùn)算推岀同類復(fù)雜多項(xiàng)式運(yùn)算結(jié)果的一般規(guī)律，然后根據(jù)找岀的規(guī)律進(jìn)

47、行解決較難的運(yùn)算問(wèn)題.【詳解】解：宀1宀1 a4-嚴(yán)-1(2 ) 2,99+2,98+2197+22+2+l= (2-1) × ( 2,99 + 2,98÷2197+22+2 + 1 )= 2200 -l 【點(diǎn)睛】考查了學(xué)生的基礎(chǔ)運(yùn)算能力和對(duì)同一類運(yùn)算問(wèn)題汁算結(jié)果的一般規(guī)律性洞察力13. 把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的而積，可以 得到一個(gè)等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的而積.例如，由圖 1,可得等式：(a+2b) (a+b) =a>3ab+2b3(1)如圖2,將幾個(gè)而積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的正方形，試 用不

48、同的形式表示這個(gè)大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)用等式表示出來(lái).圖1圖？圖3(2) 利用(1)中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題： 已知a+b+c=ll, ab+bc+ac二38,求 ac+b0÷c"<jg.(3) 如圖3,將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形拼在一起，B, C, G三點(diǎn)在同一直線上， 連接BD和BF.若這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)滿足a+b=10, ab=20,請(qǐng)求出陰影部分的面積.【答案】(I) (a+b+c) +b3+c=÷2ab+2bc+2ac;(2) 45：(3) 20.【解析】【分析】(1) 此題根據(jù)而積的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一種

49、可以是3個(gè)正方形的面 積和6個(gè)矩形的而積，種是大正方形的而積，可得等式(a+b+c )2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；(2) 利用(1)中的等式直接代入求得答案即可：(3) 利用S羽影二正方形ABCD的而積+正方形ECGF的而積-三角形BGF的而積-三角形ABD 的而積求解.【詳解】(1)( a+b+c ) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；(2 ) Va+b+c=ll f ab+bc+ac=38 .a2+b2+c2= ( a+b+c ) 2 - 2 ( ab+ac+bc ) =121 - 76=45 ；(3 ) Va+b=10 i ab=2O fS MF=a2+

50、b2 - ( a+b ) b - a22 2IIl=a2+ b2 - ab2 2 21 3=(a+b )2. ab2 21 23=-×102 - -×202 2=50 - 30=20【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式幾何意義，解題的關(guān)鍵是注意圖形的分割與拼合，會(huì)用不同的方 法表示同一圖形的而積.14. 先閱讀下列材料，然后解后面的問(wèn)題.材料：一個(gè)三位自然數(shù)贏(百位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,個(gè)位數(shù)字為C),若滿足 a+c=b,則稱這個(gè)三位數(shù)為"歡喜數(shù)”，并規(guī)泄F(贏)=ac.如374 ,因?yàn)樗陌傥簧蠑?shù)字 3與個(gè)位數(shù)字4之和等于十位上的數(shù)字7,所以374是“歡喜數(shù)&quo

51、t;f F ( 374 ) =3×4=12 .(1) 對(duì)于"歡喜數(shù)贏"，若滿足b能被9整除，求證：“歡喜數(shù)贏"能被99整除：(2) 已知有兩個(gè)十位數(shù)字相同的“歡喜數(shù)"m,n(m>n),若F ( m ) - F ( n ) =3,求m - n的值【答案】(1)詳見解析；(2)99或297.【解析】【分析】(1)首先由題意可得a+c=b,將歡喜數(shù)展開，因?yàn)橐C明"歡喜數(shù)贏"能被99整除，所 以將展開式中IOOa拆成99+ ,這樣展開式中出現(xiàn)了 +c,將+c用b替代，整理出最終 結(jié)果即可：(2 )首先設(shè)岀兩個(gè)歡喜數(shù)m、n ,

52、表示出F ( m )、F (門)代入F(m) - F ( n ) =3中，將 式子變形分析得出最終結(jié)果即可.【詳解】(I)證明：贏為歡喜數(shù)，/. a+c=b . 7c=100+10b+c=99+10b+c=99+llb , b 能被 9 整除，Mb能被99整除,99能被99整除,"歡喜數(shù)贏"能被99整除：(2)設(shè) m二albcl J = a2bc2 (且 a>a2) r F ( m ) - F ( n ) =a1c1 - a2c2=a ( b - cr1 ) - 2 ( b )=(。丄。2 ) ( h 2 ) =3,6、02、b均為整數(shù)， - 2=l Jc i - 。

53、2=3 VAn - n=100 ( - ) - (Ql G ) =99 ( Qi Q2 ),:.m - n=99 或 m - n=297 若 F(m -F(n) =3,則 m - n 的值為 99 或 297 【點(diǎn)睛】做此類閱讀理解類題目首先要充分理解題目，會(huì)運(yùn)用因式分解將式子變形15. 觀察下列等式：12×231=132×21,13×341=143×31,23×352=253×32t34x473=374x43,62×286=682×26t 以上每個(gè)等式中兩邊數(shù)字是分別對(duì)稱的，且每個(gè)等式中組成兩位數(shù)與三位數(shù)的數(shù)字之

54、間具 有相同規(guī)律，我們稱這類等式為"數(shù)字對(duì)稱等式”.(!)根據(jù)上述各式反映的規(guī)律填空，使式子稱為"數(shù)字對(duì)稱等式”： 52=×25; ×396=693×.(2)設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a,個(gè)位數(shù)字為b,且2a+b9,寫出表示“數(shù)字 對(duì)稱等式”一般規(guī)律的式子(含a、b),并證明.【答案】解：(1)275： 572.63： 36.(2)"數(shù)字對(duì)稱等式”一般規(guī)律的式子為：(10a+b) ×100b+10 (a+b) +a=100a+10 (a+b) +b× (10b+a),證明見解析.【解析】【分析】根據(jù)題意可得三位數(shù)中間的數(shù)等于兩數(shù)的和，根據(jù)這一規(guī)律然后進(jìn)行填空，從而得岀答 案：根據(jù)題意得出一般性的規(guī)律，然后根據(jù)多項(xiàng)式的計(jì)算法則進(jìn)行說(shuō)明理由【詳解】(1) 275,572;63,36：(2) 數(shù)字對(duì)稱等式一般規(guī)律的式子為：(10a+b) ×( 100b+10 (a+b) +a=100a+10 (a+b) +b× (10b+a)證明如下：左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a,個(gè)位數(shù)字為b,左邊的兩位數(shù)是10a+b,三位數(shù)是100b+10 (a+b) +at右邊的兩位數(shù)