概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)Ⅰ分類(lèi)題集

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(I )分類(lèi)題集一、事件的關(guān)系及運(yùn)算1、寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列事件中的樣本點(diǎn)。(1) 擲一顆骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)。(2) 將一枚均勻硬幣拋二次，A:第一次出現(xiàn)正面，B:兩次出現(xiàn)同一面，C:至少有一次出現(xiàn)正面，(3) 一個(gè)口袋中有五只外形完全相同的球，編號(hào)分別為 1、2、3、4、5,從中同時(shí)取3只球，球的最小號(hào)碼為1。參考答案：(1) S=1 , 2, 3, 4, 5, 6, A=1, 3, 5;(2) S =。0, C0, (SO, (g®,® 正面，0 反面。A=(gO,的, B=00,(S®, C=C,(30,的;(3) S=123, 1

2、24, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345,A=123, 124, 125, 134, 135, 1452、靶子由10個(gè)同心圓組成，半徑分別為一、2、10,且1<2父、< r 10,以事件人表示命中半徑為k的圓內(nèi)，敘述下列事件的意義。68AkAk(1)y y(3)A1A2參考答案：(1)命中半徑為6的圓內(nèi)，(2)命中半徑為1的圓內(nèi)，(3)命中點(diǎn)在半徑為1的圓外，半徑為2的圓內(nèi)3、將下列事件用 A、R C表示出來(lái)(1) A發(fā)生，(2) A與B都發(fā)生而C不發(fā)生,(3) 三個(gè)事件都發(fā)生，(4) 三個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生,(5) 三個(gè)事件中恰好有一

3、個(gè)發(fā)生，(6) 三個(gè)事件中至少有兩個(gè)發(fā)生，(7) 三個(gè)事件中恰好有兩個(gè)發(fā)生，參考答案：1) A (5)ABCUABCUABJ(2) ABC(6) AbC u ABC u ABC U ABC(3) ABC ABC ABC ABC(4) AU BU C4、把A10A2表示為互不相容事件的和。參考答案：ALA cA=A1C( A2-A1)c( A3-A<A>)cc(A-AA2cA-1)。二、古典概型1、設(shè)A、B為兩個(gè)事件且P(A)=0.6 , P(B)=0.7。問(wèn)(1)在什么條件下 P(AR取最大值，最大值是多少？ ( 2)在什么條件下 P(A§取最小值，最小值是多少？參考答案

4、：(1)當(dāng) KB時(shí)，P(AB最大，其最大值為=0.6(2)當(dāng)P(A-B)=1時(shí)，P(AB)最小，其最小值為 0.32、設(shè)Ai、A2為兩個(gè)事件，證明(1) P(AiA2)= 1-P( Ai )-P( A2)+P( A1 A2)(2) 1-P( A )-P( A2 ) < P(AAO < P(AcA2) < P(Ai) +P( A參考答案：(i)P(AA2)=1-P(AiA2)=1-P( AcA2)=1-P(Ai )-P(A2)+P(AiA2)o(2) 顯然，P(AA2)=1-P( A )-P(A2)+P( AiA2 ) >1-P(Ai)-P(A2)由于 AAu AicA,

5、所以 P(AicA2)至 P( AiA2),而 P( AcA尸 P( Ai)+P( A2) P( AiA2) < P( Ai) +P(A),從而有 1-P( Ai)-P( A2) < P( AA2) < P( AcA) < P( Ai) +P( A)3、A、B為兩個(gè)事件且 P(A)=1/2 , P(R=1/2 ,證明 P(AB=P(KB)。參考答案：P(AB= P( A)+P( B) P(KB)=1 P(A-B)= P(A J B) = P( AB)4、A、R C 為三個(gè)事件且 P(A)=P( B=P( C=1/4 , P(AB=P( BC=0 , P(AC=1/8，求

6、 A B、C 中至少有一個(gè)發(fā)生的概率。參考答案：P(A。B-C)既為所求。由于 ABC二AB, 從而P(ABC < P( A§ ,故P(ABC=0。P(ABC) = P( A)+P( B)+P( C)- P( AB- P( BQ- P( AC)+ P( ABC =1/4+1/4+1/4-0-0-1/8+0=5/85、袋中有十個(gè)質(zhì)地、形狀相同且編號(hào)分別為1、2、10的球。今從袋中任意取出三個(gè)球并記錄球上的號(hào)碼，求(1)最小號(hào)碼為 5的概率，(2)最大號(hào)碼為 5的概率，(3) 一個(gè)號(hào)碼為5,另外兩個(gè)號(hào)碼一個(gè)大于5, 一個(gè)小于5的概率。參考答案：(1) 1/12; (2) 1/20;

7、 (3) 1/66、在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品，1100個(gè)正品。任取 200個(gè)，求(1)恰好有90個(gè)次品 的概率；(2)至少有兩個(gè)次品的概率。-10200 C1。199200參考答案：(1) 8.23407 X10 ； (2) 1 ( Cii00+ C400c1100)/ Ci500 u 7、從5雙不同的鞋中任取 4只，求這4只鞋子中至少有兩只能配成一雙的概率。參考答案：13/218、50只挪釘隨機(jī)地取來(lái)用于 10個(gè)部件上，其中有 3個(gè)挪釘為次品。若每個(gè)部件用3只挪釘，問(wèn)3個(gè)次品挪釘恰好用于同一部件的概率是多少？參考答案：1/19609、甲袋中3個(gè)球的編號(hào)分別為1、2、3,乙袋中3個(gè)球的

8、編號(hào)分別為 4、5、6。今從甲袋中 任取一球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，?wèn)該球?yàn)榕紨?shù)號(hào)球的概率是多少？參考答案：7/12三、條件概率1、已知 P( A)=0.3 , P(B)=0.4 , P( AB )=0.5 ,求 P(B AUB)。參考答案：1/4 2、已知 P(A)=1/4 , P(B |A)=1/3 , P(A I B)=1/2 ,求 P(ATE)。參考答案：1/33、擲兩顆骰子，已知擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為參考答案：1/37,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率（用兩種方法）4、以往的資料表明，某一 3 口之家患某種傳染病的概率有以下規(guī)律。P（孩子得?。?0.6 ,P（母親得病孩子得病）=0.5

9、, P（父親得病母親及孩子得?。?0.4。求母親及孩子得病但是父 親未得病的概率。參考答案：0.185、袋中有10個(gè)球，其中9個(gè)白球，1個(gè)紅球。10個(gè)人依次從袋中各取一個(gè)球。每個(gè)人取一 球后不再放回。問(wèn)第一人、第二人、最后一人取得紅球的概率是多少？參考答案：都為1/106、設(shè)有甲乙兩袋，甲袋中裝有 m只白球、n只紅球，乙袋中裝有 M只白球、N只紅球。今從 甲袋中任取一球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，?wèn)該球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌伲繀⒖即鸢?Mn Mm m(M N 1)(m n)7、設(shè)一人群中 A、B、AR。型血的人所占比例分別為37.5%、20.9%、7.9%、33.7%。已知能允許輸血的血型配對(duì)如

10、下表?，F(xiàn)在該人群中任選一人為輸血者，再任選一人為需要 輸血者，問(wèn)輸血成功的概率為多少？輸血者 受血者A型B型AB型。型A型VXVVB型XVVVAB型VVVV。型XXXV允許輸血X :不允許輸血。參考答案：0.6198 8、現(xiàn)有編號(hào)1, 2, 3的3個(gè)盒子，1號(hào)盒子中有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球；2號(hào)盒有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球；3號(hào)盒中有1個(gè)紅球、4個(gè)黃球，現(xiàn)擲3個(gè)均勻骰子，若出現(xiàn) k個(gè)6點(diǎn)，則自k 號(hào)盒中任取2個(gè)球（k=0, 1, 2, 3）,求所取的2個(gè)球?yàn)橐患t一黃的概率。參考答案：0.2514西、獨(dú)立性1、一個(gè)大學(xué)生想借一本專(zhuān)業(yè)書(shū)，決定到三家圖書(shū)館去借。每家圖書(shū)館有這本書(shū)的概率為 1/2, 若有，該書(shū)

11、被借出的概率也為1/2。假設(shè)三家圖書(shū)館采購(gòu)、出借圖書(shū)是相互獨(dú)立的，問(wèn)該學(xué)生能夠借到書(shū)的概率是多少？參考答案：37/64p,且各繼電器接點(diǎn)2、如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點(diǎn)。假設(shè)每個(gè)觸點(diǎn)閉合的概率為 閉合與否相互獨(dú)立，求 L至R是通路的概率。參考答案：2P2+2 p3- 5 P4+2P53、袋中裝有m枚正品硬幣、n枚次品硬幣(次品硬幣兩面均印有國(guó)徽)。從袋中任取一枚硬幣，將它投擲次，已知每次均出現(xiàn)國(guó)徽，問(wèn)這枚硬幣是正品硬幣的概率是多少？mr參考答案：m n24、將A B C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為a,而輸出為其它字母的概率為(1-口)/2 。今將字母 AAAA BBBB

12、 CCCC之一輸入信道，輸入 AAAA BBBB CCCC 的概率分別為 pi、P2、P3 ( pi+p2+p3=1),已知輸出為 ABCA問(wèn)輸入是 AAAA勺概率是多 少？(設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。)參考答案:2二 pi(3 1一1)p1 1一二5、事件 A B相互獨(dú)立且 P(A)=p, P(E)=q。求P(AE)、P(Ab)、P(AB)、P(A-E)、P( AnB)、p(AUB)。參考答案：P(AB= pq ; P( AB)= (1- p)q； P( AB )=(1- p)(1 - q)； P(AoB尸 p+q pq；P( A c§=1 -p+ pq ； P( A

13、U B)=1 pq五、一維離散型隨機(jī)變量及其概率分布1、設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為aokPX=k=2k=1,2,的分布列。求(1)參數(shù) a. (2)PX>4 (3)Y=2X+1k , k=2n+1,n=1,2,3 參考答案：(1)1 ; (2)1/16 ; (3) % 2、對(duì)目標(biāo)獨(dú)立射擊 4次，設(shè)每次命中率為 0.1,(1)寫(xiě)出X的分布律，(2)求至少3次命中 目標(biāo)的概率。參考答案：(1)X叱(4,0.1);(2) 0.00413、某信息服務(wù)臺(tái)在一分鐘內(nèi)接到的問(wèn)訊次數(shù)X服從參數(shù)為£的泊松分布，已知任一分鐘內(nèi)無(wú)問(wèn)訊的概率為e-6,求在指定的一分鐘內(nèi)至少有2次問(wèn)訊的概率。參考答案：0.

14、98264、已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為x ：00 x ；11 -x <22 - x < 3x -3fA_x22F(x) =J _311 B1)問(wèn)X是離散型隨機(jī)變量嗎？2)求PXS, PX=1 ,PX>0.5, P2 交<4參考答案：1)X 不是離散型的；2)PX <3=1, PX=1=1/3 ,PX>0.5=0.75, P2<X<4=1/35、將一枚硬幣連拋 3次，以X表示所得正面次數(shù)，（1）求X的分布函數(shù)。（2）求PX<2,PX <20x <01,- 0 Mx <1 8_1 ，-F(x) =PX <x=/一 1 &

15、lt;x <2 27- 2 Mx (3 8參考答案：(1)-1x -3 PX<2=0.5,PX <2=7/86、某射手對(duì)靶射擊，單發(fā)命中概率都為0.6 ,現(xiàn)他扔一個(gè)均勻的骰子，扔出幾點(diǎn)就對(duì)靶獨(dú)立射擊幾發(fā)，求他恰好命中兩發(fā)的概率。參考答案:0.2517、從某大學(xué)到火車(chē)站途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是1/3 .設(shè)X為途中遇到的紅燈次數(shù)，（1）求隨機(jī)變量 X的分布律（2）求概率 p1<X<4,PX>0_ k 1 k 2 6 kPX =k =C6()(力 ,k =1,2,.,6參考答案：(1)33(2) p1<X&l

16、t;4=0.5487,PX>0=0.91228、某陪審團(tuán)的審判由12名陪審員參加。 罪的票。假設(shè)陪審員的判斷是相互獨(dú)立的, 率為80%,求宣判被告有罪的概率。為宣判被告有罪，必須其中至少8名陪審員判他有 且在某一案件中被告被任一陪審員判斷有罪的概12C1k20.8k0.212參考答案：k9、某尋呼臺(tái)每t時(shí)段內(nèi)接到的呼喚次數(shù)X服從參數(shù)為77的泊松分布，設(shè)每天從零點(diǎn)開(kāi)始接到第一個(gè)傳呼的時(shí)刻為F求T的分布函數(shù)。1 - e-X t > 00 t <0參考答案： 10、假設(shè)某地在任何長(zhǎng)為 t （周）的時(shí)間內(nèi)發(fā)生地震的交數(shù) N （t）服從參數(shù)為It的泊松分 布。（1）設(shè)T表示直到下一次地

17、震發(fā)生所需的時(shí)間（單位：周） ，求T的概率分布；（2）求 在相鄰兩周內(nèi)至少發(fā)生 3次地震的概率；（3）求在連續(xù)8周無(wú)地震的情形下， 在未來(lái)8周中 仍無(wú)地震的概率。FT（t）=參考答案：（1）1 -e-Z, t > 0( > 0)、0, t -0; (2) 1 -(1+ 2九+2九2)e"九;(3) e上九六、一維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布1、已知隨機(jī)變量 X的概率密度為2 Ax 0<x<1 f(X>"0其他J(1) 求參數(shù) A (2)求 P0.5<X<3. (3) 求 PX<t 寸tW(-8,g)參考答案：(1)A=1； (2

18、)0.75 (3)t w 0 時(shí)，PX<t=0,0 vt <1 時(shí)，PX<t=t 2,t >1 時(shí)，PX<t=12、某電子元件的壽命X (千小時(shí))服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布，(1)求該電子元件在未來(lái)1千小時(shí)內(nèi)損壞的概率。(2)已知該電子元件已使用了2千小時(shí)，求在未來(lái)1千小時(shí)內(nèi)損壞的概率。參考答案：(1)1-e° ；(2)1 -e°3、在電源電壓不超過(guò)200v,200入240v,和超過(guò)240v三種情況下，某電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001,和0.2，假設(shè)電源電壓 X服從正態(tài)分布 N(220,25 2),求該電子元件損壞的概 率。參考答案

19、：0.009-I- x 0 .x ：:1f(x) = 2 -x 1 -x ：:24、已知隨機(jī)變量X的概率密度為I 0 其他1)求 X 的分布函數(shù) F(x), 2)求 PXW(0.5,1.5)0,x <0參考答案：1) F(x)= 1-X2,0 < X <12) 0.752.12.-1 2x - x , x - 15、某種晶體管壽命服從均值為0.001的指數(shù)分布(單位是小時(shí)).電子儀器裝有此種晶體管5個(gè)，并且每個(gè)晶體管損壞與否相互獨(dú)立.試求此儀器在1000小時(shí)內(nèi)恰好有3個(gè)晶體管損壞的概率.參考答案：2.1458 10”2、6、已知隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布 N(0.8，0.003

20、 )，求(1)pX <0.8036,(2)P|X-0.8|<0.006(3)滿(mǎn)足 PX «C «0.95 的 C.參考答案：(1)0.8849; (2)0.9544 (3) C - 0.804957、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)Ax, 0 :二 x < 1 f(x) =B-x, 1 < x<2 0, 其它連續(xù)，試求：(1)常數(shù)A, B; (2)X的分布函數(shù)F (x);P(:二 X - -)(3) '227參考答案：(1) A=1, B=2; (2)0,1 22 x ,122x - x 121,x :二 0x 2;(3)3/47: 00, 7:

21、 15, 7: 30,有汽車(chē)8、某公共汽車(chē)站從上午 7時(shí)起每15分鐘發(fā)一班車(chē)，即在007: 30的均勻分布隨機(jī)變量，試求乘客發(fā)出.如果乘客到達(dá)此汽車(chē)站的時(shí)間X是在7:在車(chē)站等候(1) 不到5分鐘的概率；(2) 超過(guò)10分鐘的概率，參考答案：(1)1/3; (2)1/3七、一個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1、設(shè)XU(-1,1),求Y=父的分布函數(shù)與概率密度。,0 < y <1 2.y0,其它0, y m 0參考答案：Fy (y) = - W,0 < y <1; fy (y)=1, y 之 12、設(shè)已知X的概率密度為fX(x),Y=g(X)是X的嚴(yán)格單增函數(shù)，求 Y=g(X)的概率

22、密度。 d參考答案：fy尸 f X(g-1(y) dy g-1 (y)X3、設(shè)X小(0,1),求Y=e的概率密度。上參考答案：fY (y)= <2e 2 ,y 0 yQy £04、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)Ax,f(x)=B -x, 0,1 ： x < 2其它連續(xù)，試求：(1)常數(shù)A, B; (2)X的分布函數(shù)F (x);(3) Y = 13'X的密度函數(shù);參考答案：(1)A=1, B=2; (2)(3)5、設(shè)隨機(jī)變量F(x)=0,1 2x ,2122xx21,x :二 0-1一53(1 -y)5,_32fY(y)=<32(1y) (1-y),X的密度函數(shù)Ax,

23、f(x)=B -x, 0,連續(xù)，試求：(1)常數(shù)A, B; (2)參考答案：(1) A=1, B=2 ; (2)fz(Z)=(3)0,1 ： x < 2其它X的分布函數(shù)1,0Mz<10,其他八、多維隨機(jī)變量及其概率分布1、已知 F(x,y)=A(B+arctgx2)(B arctg1)求常數(shù)A, B, C,2)求 P0<X<2,0<Y<31 二 二1參考答案：1) A = - , ,;2) 一2 2160 三 y 二 11 - 3, 2 < y < 0其他F (x);(3) Z=F (X)的密度函數(shù)。0,1 22 X ,12d2x x -121,

24、x : 0x -22、袋中有兩只紅球，三只白球，現(xiàn)不放回摸球二次，令1第一次摸到紅球X=0第一次摸到白球1第二次摸到紅球Y = J 0第二次摸到白球y'-x1011/103/1003/103/10求(X,Y)的分布律。參考答案：fx,y = 03、設(shè)(X,Y)具有概率密度0 ：二1 x | ：二 y ：1其它,1)求常數(shù) c； 2)求 PY>2X；3)求F(0.5,0.5)參考答案：1) c=1 ; 2) PY>2X=3/4; 3)1/44、設(shè)某昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)X服從參數(shù)為50的泊松分布，又設(shè)一個(gè)蟲(chóng)卵能孵化成蟲(chóng)的概率為0.8,且各卵的孵化是相互獨(dú)立的，求此昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)X與下一代

25、只數(shù) Y的聯(lián)合分布律。_ j j i j 5050PX =i,Y =j =Cij0,8j0.2i1e i =0,1,., j =0,1，i參考答案：j!5、(1)在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則事件"兩數(shù)之和小于1.2"的概率為多少？(2)設(shè)兩個(gè)數(shù)X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)為0x < 0或y <0F(x,y) = «xy 0 <x <1 0 < y <11x>1, y >1 ，則事件"兩數(shù)之和小于1.2"的概率為多少？參考答案：(1)0.7； (2) 0.76、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在矩形域G=(

26、x,y)10Vx<2,0<y<1上服從均勻分布，(1)試求邊長(zhǎng)為 X和Y的矩形面積S不超過(guò)1的概率。(2)試求邊長(zhǎng)為 X和Y的矩形面積S不小于0.5的 概率。1參考答案：(1) 1(1 +ln 2) ； (2) 0.69327、設(shè)某公司有100件產(chǎn)品進(jìn)行拍賣(mài)，每件產(chǎn)品的成交價(jià)為服從正態(tài)分布N(1000,1002)的隨機(jī)變量，求這100件產(chǎn)品的總成交價(jià)不低于9.9萬(wàn)元的概率。參考答案：84.13% 8、設(shè)隨機(jī)向量(X, Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為試求：(1)常數(shù) C; (2)聯(lián)合分布函數(shù) F(x, y); (3)P(0vxv1, 0vYv2) 參考答案：12 ;(2)F(x,y)

27、；(1e-x)(1 -e-x),x> 0,y> 0其它_3_8;(3) (1 - e )(1 -e )9、設(shè)(X, Y)服從二維正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為P(工'用=艱凝一'U扁試求 P (Xv Y).參考答案：1/210、設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f (x, y)cxe-y, 0 : x :二 y ：二0,其它(1)求常數(shù)C; (2)求(X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù);F(x, y),0,=« 12y2 + y+1 je;參考答案:(1) C=1； (2)11、設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f (x, y)= y-ycxe0,0 x 二 y

28、 ;二其它(1)求常數(shù) C; (2)求 P (X+Y<1 )。1參考答案：(1) C=1; (2) 1 -e二-e12、一臺(tái)機(jī)器制造直徑為 X的軸，另一臺(tái)機(jī)器制造內(nèi)徑為Y的軸套。設(shè)(X,Y)的密度函數(shù)f (x,y) =«25000為0.49 : x : 0.51,0.51 ： y : 0.53其它如果軸套的內(nèi)徑比軸的直徑大0.004但不大于0.036 ,則兩者就能很好地配合成套?，F(xiàn)隨機(jī)地選擇軸和軸套，問(wèn)兩者能很好地配合的概率是多少？參考答案：0.9613、一電子部件含兩個(gè)主要元件，它們的壽命(以小時(shí)計(jì))分別為X和Y。設(shè)(X, Y)的分布函數(shù)為_(kāi) g-O-Olr0,工0,)* 0

29、其它(1)求兩元件壽命都超過(guò) 120小時(shí)的概率。(2)求至少有一元件壽命超過(guò)120小時(shí)的概率。參考答案：(1) e 24；(2)0.488九、邊緣分布、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量1、已知(X,Y)的分布函數(shù)為1 e, -xe_y 0 _x _yF(x,y) =1e，ye- 0 <y <x0其它(1)求X與Y的邊緣概率密度。(2)問(wèn)X與Y是否相互獨(dú)立?fX(x) =F'x(x)=參考答案:_xe0fY (y)= f'y (y)=J ye=0(2)不獨(dú)立f (x, y)2、已知(X,Y)的概率密度為'e"y00 三 x M y其它(1)求X、Y的邊緣分布函數(shù)(

30、2)問(wèn)X與丫獨(dú)立嗎？Fx(x)FY(y)'1 - e- - ye-0y - 0y : 0(2)不獨(dú)立3、甲乙約定 8:00-9:00在某地會(huì)面。設(shè)兩人都隨機(jī)地在這期間的任一時(shí)刻到達(dá)，先到者最 多等待15分鐘，過(guò)時(shí)不候。求兩人能見(jiàn)面的概率。參考答案：0.43754、將一枚硬幣連拋三次， 以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示在三次中出現(xiàn)正面（X , Y）的聯(lián)合分布律、關(guān)于 X和Y的邊緣分布次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值，試寫(xiě)出 律。參考答案：5、設(shè)（X,2Y)在圓域D : x2y £4上服從均勻分布。（1）求p0<x m1,0<y <1（2）求X與Y的邊緣概

31、率密度（3）試判斷X與Y是否相互獨(dú)立?1參考答案：（1）MX _4,22 1 dy )42 二 x :二 2(2)4ylfY(y):-2 4二 dx一4寸（3） X與丫不獨(dú)立.6、設(shè)隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為f (x, y)=，-ycxe , 0 ： x 二 y 二0,其它4 - y2（1）求常數(shù)C; （2）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù); 參考答案：（1） C=1；fX (x) =«(2)-bojy-y .0 xe dy =0, xxeothers .othersyfY(y) = L0xe 'dx0,1 22ye，0,十、兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1、機(jī)變量X ,Y

32、,Z相互獨(dú)立且服從同一貝努利分布 B(1, p).試證明隨機(jī)變量 X+Y與Z 相互獨(dú)立.十一、數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)1、已知隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為0x<01 2F(x)=-x20< x<1x2-1 +2x-x >121)求X的概率密度,2) 求PX三(0.5,1.5), 3)求X的數(shù)學(xué)期望與方差參考答案:x 0 - x ： 1f(x) =F'(x) = <2x 1 Wx<20 其他2) 0.75 ; 3)1 , 1/42、一批產(chǎn)品共10件，其中7件正品，3件次品。每次從這批產(chǎn)品中任取一件。(1)若每次取出的產(chǎn)品不再放回去，求直至取得正品為

33、止所需次數(shù)X的概率分布、數(shù)學(xué)期望及方差。(2)若每次取出的產(chǎn)品仍放回去，求直至取得正品為止所需次數(shù)X的概率分布。參考答案：(1)X1234p7/107/307/1201/120E (X)=11/8, D(X)= 77/192(2) PX =k =0.7 0.3k,k -1,2,.3、一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中有一個(gè)答案是正確的。某(1)學(xué)生靠猜測(cè)能答對(duì)至少 4道題的概率是多少。(2)學(xué)生靠猜測(cè)能答對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。 參考答案：(1) 1/64;15D(X)：4、袋中有兩只紅球，三只白球,現(xiàn)不放回摸球二次，令1第一次摸到紅球0第一次摸到白球1第二次摸到紅球Y =

34、3”,一,0第二次摸到白球Y-X1011/103/1003/103/10(2)-1/4(1)求(X,Y)的分布律。(2)求X與Y的相關(guān)系數(shù) 參考答案：(1)為：5、(X,Y)的分布函數(shù)為1 -e -xe-yF(x,y)=1 -e-y -ye-y00 _x _ y0 _ y _ x其它、一.(1)求X與Y的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度。22f(x,y)-二 F(x,y)"0<x <ytxtyJ其它°° f/ fX(x)=f (x,y)dy =0e-ydy x 之0_1ex >0x0 x<00x<0fyoO/_y一fy(y) = f f (

35、x,y)dx =fe'dx y 之0 =ye y 之000 其它(1)0其它(2)問(wèn)X與Y是否不相關(guān)?相關(guān)(2)xy1011/103/1001/103/106、已知(X,Y)的分布律為(2)求X、Y的相關(guān)系數(shù)，(3)問(wèn)X與Y是否不相關(guān)?xy10Pi.11/103/102/503/103/103/5P.j2/53/503/103/10邊緣分布律。(1)(1)參考答案:5E(X)；(2)4（2） -1/4; （3）不相關(guān)7、已知隨機(jī)變量（X,Y）的分布律為XY1200.150.151CtP且知X與Y獨(dú)立，（1）求a、P的值。（2）令Z = X 2Y ,求X與Z的相關(guān)系數(shù)參考答案：（1） ”

36、=作0.35; （2） 0.91658、設(shè)隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立，且同服從0, 1上的均勻分布，試求：U與V的相關(guān)系數(shù)。并判斷 X與丫是否不相關(guān)。參考答案：PUV =0,不相關(guān)9、已知正常男性成人血液中，每毫升白細(xì)胞數(shù)平均是 7300,均方差是700。利用切貝雪夫不等式估計(jì)每毫升含白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率。參考答案：8/910、將一枚硬幣拋 1000次，試?yán)们胸愌┓虿坏仁焦烙?jì)：在 1000次中，出現(xiàn)正面 H的次 數(shù)在400至600次之間的概率。參考答案：0.97511、進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p,令X表示直到出現(xiàn)首次成功為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，（1）求X的分布律。（2）

37、求X的數(shù)學(xué)期望參考答案：（1） PX =k=（1 - p）k/,k =1,2,3,（2）1/ p十二中心極限定理1、生產(chǎn)燈泡的合格率為 0.6,求10000個(gè)燈泡中合格燈泡數(shù)在58006200的概率。參考答案：12、從大批發(fā)芽率為0.9的種子中隨意抽取1000粒，試估1f這1000粒種子發(fā)芽率不低于 0.88 的概率。參考答案：0.98263、設(shè)供電站供應(yīng)某地區(qū)1000戶(hù)居民用電，各戶(hù)用電情況相互獨(dú)立，已知每戶(hù)日用情況（單位：度）在0, 20上服從均勻分布?，F(xiàn)要以 0.99的概率保證該地區(qū)居民供應(yīng)電量的需要， 問(wèn)供電站每天至少需向該地區(qū)供應(yīng)多少度電？參考答案：2426度4、已知某種步槍的命中率

38、為0.05,問(wèn)需要多少枚這樣的步槍同時(shí)射擊，才能以 0.8的概率保證目標(biāo)至少被擊中步彈？參考答案：1455、一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由10000個(gè)相互獨(dú)立的部件組成，在系統(tǒng)運(yùn)行期間，每個(gè)部件損壞的概率為0.1,又知為使系統(tǒng)正常運(yùn)行，至少有89%的部件工作。求系統(tǒng)的可靠度（系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率）.參考答案：0.99956、一個(gè)系統(tǒng)由幾個(gè)相互獨(dú)立的部件組成，每部件損壞的概率為0.1,而且要求至少有87%的比部件工作，才能使系統(tǒng)正常運(yùn)行，問(wèn)至少為多大時(shí)，才能保證系統(tǒng)的可靠度系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率達(dá)到97.72% ?參考答案：4007、某運(yùn)輸公司有500輛汽車(chē)參加保險(xiǎn)，在一年里汽車(chē)出事故的概率為0.006,參加保險(xiǎn)的汽

39、車(chē)每年交800元的保險(xiǎn)費(fèi)。若出事故，保險(xiǎn)公司最多賠償5000元，求保險(xiǎn)公司一年賺錢(qián)不小于200000元的概率參考答案：0.77818、現(xiàn)有一批種子，其中良種占 1/6,今從其中任意選 6000粒，試問(wèn)在這些種子中，良種所 占的比例與1/6之差小于1%的概率是多少？參考答案：0.96249、設(shè)某種集成電路出廠時(shí)一級(jí)品率為0.7,裝配一臺(tái)儀器需要100只一級(jí)品集成電路，問(wèn)購(gòu)置多少只才能以99.9%的概率保證裝配該儀器時(shí)夠用？參考答案：16810、甲、乙兩戲院在競(jìng)爭(zhēng)1000名觀眾，假定每個(gè)觀眾完全隨機(jī)地選擇一個(gè)戲院，且觀眾之間的選擇是彼此獨(dú)立的，問(wèn)每個(gè)戲院至少應(yīng)該設(shè)多少個(gè)座位，才能保證因缺少座位而使

40、觀眾離去的概率小于 1%?參考答案：51211、抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接收，應(yīng)該抽多少件產(chǎn)品可使次品率為10%時(shí)的一批產(chǎn)品不被接收的概率達(dá)到0.9?參考答案：6912、求在10000個(gè)隨機(jī)數(shù)字中，數(shù)字 7的出現(xiàn)不多于968次的概率。參考答案：0.1423十三、抽樣分布1、設(shè)總體x服從正態(tài)分布N（y 其中"是已知的，而。2未知的，（x1，x2，x3）是從總體中抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。(1)求(X1,X2,X3)的密度函數(shù);(2)指出 X1+X2+X3 X +2N min(Xi,X2,X3)哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些4是統(tǒng)計(jì)量，片什么？3 X2i 4X3

41、- Xi2 之中,(Xi,X2,X3)二(1)(.")3e工(Xi -J)2 1 i 2CX3 - X1(2) X1 +X2 +X3 X +2、min(X1，X2，X3) ,2者B是統(tǒng)計(jì)量十四、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)及估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)13m2 = X1 X2,2X21、設(shè)母體X服從正態(tài)分布Nlm)，(X1，X2)是母體 X的子樣，試驗(yàn)證2 、，1 、，m1 = X1 X2,33都是m的無(wú)偏估計(jì)量，并問(wèn)哪一個(gè)估計(jì)量的最有效?參考答案：m3最有效 2、設(shè)9是參數(shù)8的無(wú)偏估計(jì)，且有D(6)>0 ,試證9 =例2不是10 2的無(wú)偏估計(jì)。參考答案：E(32 =d(7)E冏2=D0 f2>u2

42、所以 =例2不是e2的無(wú)偏估計(jì)。n ai =13、(1)設(shè)(X1，X2，Xn)為總體X的樣本，ai >0 , i =1,2,，n ,且iT ，試證 n.一 ai X i也 是EX的無(wú)偏估計(jì)。nn"aiXi0ai -1(2)試證在EX所有形如j m,(ai>0, I =12，n, T )的無(wú)偏估計(jì)中，以X最為有效。4、設(shè)母體X服從均勻分布U0，6,它的密度函數(shù)為0txf(x;u) = u,0-x. ,0, otherwise.(1)求未知參數(shù) 日的矩法估計(jì)量；(2)當(dāng)子樣觀察值為 0.3 , 0.8 , 0.27 , 0.35 , 0.62 , 0.55時(shí)，求日的矩法估計(jì)值

43、。參考答案：(1) S = 2X (2) 4 = 2X = 0.96345、設(shè)總體X的分布密度為0 :二 x ：二 1otherwiser(a +i)xa中(x,ot)=0其中a A-1是未知參數(shù)。(X1,X2，Xn)是總體X的樣本，試求參數(shù) 口的矩估計(jì)。2X -1a =-參考答案：1-X6、設(shè)母體x服從r -分布，它的密度函數(shù)為r'_ xre-'xf (x)=1(r)0,其中r和九為未知參數(shù)，且r a°，九>0O試求r和人的矩估計(jì)。?=xr?=五2 ,r ,2參考答案：SS7、設(shè)母體X的密度函數(shù)為r/ x 取。1,0 < x <1f(x)=0,ot

44、herwise其中e是未知參數(shù)，且e >0。試求e的矩法估計(jì)量。參考答案：1-X8、設(shè)母體X的密度函數(shù)為f(x)b,其中8是未知參數(shù)，且8 >0。試求8的最大似然估計(jì)量。參考答案:nn“ lnXii=1Jln x- )24e 21 e9、設(shè)總體X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其分布密度為c1(x; J,二)：x2 二其中<+g,>0是未知參數(shù)，X =(X1,X2，Xn)是一樣本，試求 R和口 的最大似然估計(jì)。1 n? = " ln Xi參考答案：np10、設(shè)母體X服從指數(shù)分布，它的密度函數(shù)為f （x 九）=,eex0兒>0 ,試求未參數(shù) 九的最大似然估計(jì)。?=工參考答案：一 X11、設(shè)總體-X服從“0-1”分布：P( =x) = px(1 - p)1：x = 0,1樣本觀測(cè)值為x1,x2，Xn (xi =00口)，求參數(shù)p的極大似然估計(jì)。1 n? = % Xi = X參考答案：ny12、設(shè)母體X服從均勻分布U0，6, 它的密度函數(shù)為0Mx :二二；otherwise.1f (x；u) - 0,求未知參數(shù)日的極大似然估計(jì)