同濟大學高等數(shù)學教案第七章多元函數(shù)積分學

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學教學教案第七章 多元函數(shù)積分學授課序號01教 學 基 本 指 標教學課題第七章 第一節(jié) 二重積分的概念、計算和應用課的類型復習、新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點二重積分的計算方法教學難點二重積分的應用參考教材同濟版、人大版高等數(shù)學；同濟版微積分武漢大學同濟大學 微積分學習指導安玉偉等高等數(shù)學定理 方法 問題作業(yè)布置課后習題微積分標準化作業(yè)大綱要求理解二重積分，了解二重積分的性質掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)，會用二重積分求一些幾何量與物理量(如體積、曲面面積、弧長、質量、重心、轉動慣量等)教 學 基 本

2、 內 容一、基本概念：1. 曲頂柱體的體積曲面在平面閉區(qū)域上連續(xù)，且有. 過的邊界作垂直于面的柱面，則區(qū)域和柱面以及曲面構成一個封閉的立體，稱為以為底的，為頂?shù)那斨w. 即為所求的曲頂柱體的體積. 2. 二重積分的概念 設是平面閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將任意分割成小塊：，記第塊的面積為，在第塊上任取一點（見圖7-4），作，取，即是各的直徑中的最大值. 當時，如果總是存在，則極限值稱為函數(shù)在平面閉區(qū)域上的二重積分，記為 .其中稱為積分區(qū)域，稱為被積函數(shù)，稱為面積微元，稱為被積表達式，稱為積分和.3、型區(qū)域上的二重積分若積分區(qū)域可以用不等式 來表示，其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，這樣的區(qū)域稱為型區(qū)域.4、型

3、區(qū)域上的二重積分設積分區(qū)域可以用不等式 來表示，其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，這樣的區(qū)域稱為型區(qū)域二、定理與性質：1、定理1 在區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定是上的可積函數(shù).2、二重積分的性質性質1 ；性質2 ；性質3 設由、組成，則；性質4 如果，則有的面積；性質5 如果在區(qū)域上滿足，則有；特別地, 有 性質6 設是區(qū)域的面積. 如果在上有最大值和最小值，則有 ；這個不等式稱為二重積分的估值不等式.性質7 （二重積分的中值定理）如果在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在上至少可以找到一點，使得 .3、直角坐標系下二重積分的計算設函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù)，且.若是由所圍成的型閉區(qū)域，設可以用不等式 來表示，4、極坐標系下二重積分

4、的計算區(qū)域的積分限*5、二重積分換元法設函數(shù)在平面內的閉區(qū)域上連續(xù)，變換將平面內的閉區(qū)域變換成平面內的閉區(qū)域，且滿足（1）、在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)；（2）在上；（3）變換：是一對一的，則有.此式也稱為二重積分換元公式.6、二重積分應用舉例體積在本章第一節(jié)已經(jīng)知道，若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，且，則二重積分 在幾何上是以為頂?shù)那斨w的體積，所以我們可以利用二重積分計算立體的體積.質量與重心設有一平面薄片，它位于面內區(qū)域上，在點處的面密度為區(qū)域上的連續(xù)函數(shù).平面薄片的質量為 .平面薄片的重心坐標為 .如果平面薄片是均勻的，即是常數(shù)，則均勻平面薄片的重心坐標為 ，其中為閉區(qū)域的面積.*平面薄片的轉動慣量

5、設有一平面薄片，它在平面上占有（有界閉）區(qū)域，面密度為連續(xù)函數(shù)，.薄片對軸、對軸的轉動慣量為，.三、主要例題：例1 用二重積分表示上半球體的體積，并寫出積分區(qū)域.例2 比較積分與的大小，其中區(qū)域D是三角形閉區(qū)域，三頂點各為(1,0),(1,1),(2,0).例3 不作計算，估計的值，其中是橢圓閉區(qū)域： . 例4 計算定積分.例5 計算二重積分 其中區(qū)域是由, 所圍成的矩形.例6 計算，其中.例7 將下列區(qū)域寫成型區(qū)域的表達式. （1） （2） 若是由所圍成的型閉區(qū)域，例8 計算二次積分.例9 計算其中D是由直線及所圍成的閉區(qū)域.例10 計算, 其中是由直線和所圍成的閉區(qū)域.例11 計算二重積分

6、其中D是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域.例12 計算 其中D由及y軸所圍.例13交換二次積分的積分次序.例14 交換二次積分 的積分順序.例15 將下列區(qū)域用極坐標表示(1) ； (2） ；(3）； (4） D為與所圍區(qū)域.解： （1） （2） （3） （4）例16 計算，其中是由中心在原點，半徑為的圓周所圍成的閉區(qū)域例17 計算, 其中D是由曲線所圍成的平面區(qū)域.例18 寫出在極坐標系下二重積分的二次積分，其中區(qū)域例19 計算二重積分，其中區(qū)域由，所圍成.例20 求由直線、所圍成的閉區(qū)域的面積.例21 求兩個底面圓半徑相等的直角圓柱所圍立體體積.例 22 求球體被圓柱面所截得的(含在圓柱面內的

7、部分)立體的體積.例23 求曲線和所圍成區(qū)域的面積*例 24 求橢球體的體積.例25 一圓環(huán)薄片由半徑為4和8的兩個同心圓所圍成，其上任一點處的面密度與該點到圓心的距離成反比，已知在內圓周上各點處的面密度為1，求圓環(huán)薄片的質量.例26 求位于兩圓和之間的均勻薄片的重心.*例27 求曲線所圍平面薄片對極軸的轉動慣量.授課序號02教 學 基 本 指 標教學課題第七章 第二節(jié) 三重積分的概念、計算和應用課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點三重積分的計算方法教學難點三重積分的計算方法參考教材同濟版、人大版高等數(shù)學；同濟版微積分武漢大學同濟大學 微積分學

8、習指導安玉偉等高等數(shù)學定理 方法 問題作業(yè)布置課后習題微積分標準化作業(yè)大綱要求理解三重積分的概念，了解三重積分的性質，了解三重積分的計算方法(直角坐標、柱面坐標)教 學 基 本 內 容一、 基本概念：三重積分的概念定義 設函數(shù)在空間的有界閉區(qū)域，上有界，將任意地分成個小區(qū)域，其中既表示第個小區(qū)域，也表示它的體積.任取，記，若存在，則稱函數(shù)在上可積，此極限稱為函數(shù)在上的三重積分，記作，即. 其中為體積元素.在直角坐標系中，有時也把體積元素記為，而把三重積分記為其中稱為直角坐標系下的體積元素.二、 定理與性質：1、三重積分的計算考慮有如下幾何特征的閉區(qū)域：平行于軸且穿過內部的直線與的邊界曲面相交不

9、多于兩點，閉區(qū)域投影到面得到一個平面閉區(qū)域. 如果閉區(qū)域又可以表示為設，則2、三重積分的應用空間立體的體積空間立體的體積*3、三重積分在物理中的應用（1）空間物體的質量：，其中為空間物體的體密度函數(shù).（2）空間物體的質心：，；空間立體的形心：，.三、主要例題：例1 計算三重積分 其中為三個坐標面及平面所圍成的閉區(qū)域.例2 計算三重積分 其中為由雙曲拋物面及平面,圍成的閉區(qū)域例3 化三重積分為先對，次對，最后對的三次積分,其中積分區(qū)域為由曲面及所圍成的閉區(qū)域.例4 計算三重積分 其中為三個坐標面及平面所圍成的閉區(qū)域.例5 計算，其中由與所圍成.例6 計算三重積分，其中區(qū)域由球面及旋轉拋物面所圍.

10、例7求由平面，及曲面所圍立體的體積.例8 設，計算旋轉拋物面、圓柱面與平面所圍成的立體的體積.例9設常數(shù)、，若立體由平面，圓柱面以及錐面圍成，其各點處的體密度等于該點到平面的距離的平方，求該立體的質量.例10 求球心與錐體的頂點皆在原點，球體半徑為，錐體中心軸為軸，錐面與軸正向交角為的均勻球頂錐體的質心.例11 求均勻球體對三個坐標軸的轉動慣量.授課序號03教 學 基 本 指 標教學課題第七章 第三節(jié) 對弧長的曲線積分與對坐標的曲線積分課的類型復習、新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點計算曲線積分教學難點兩類曲線積分關系參考教材同濟版、人大版高等數(shù)學；

11、同濟版微積分武漢大學同濟大學 微積分學習指導安玉偉等高等數(shù)學定理 方法 問題作業(yè)布置課后習題微積分標準化作業(yè)大綱要求理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系，會計算兩類曲線積分教 學 基 本 內 容一、基本概念：1、對弧長曲線積分的概念與性質設為平面上一條光滑(或分段光滑)的曲線弧，函數(shù)在上有界，在上任意取點、將分成段小弧，記，（也為該段的弧長），任取，若存在，則稱此極限為函數(shù)在上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，記作.若是封閉曲線，那么函數(shù)在閉曲線上對弧長的曲線積分通常會記為.2、對坐標的曲線積分的概念與性質設為平面上從點到點的一條有向光滑(或分段光滑)的曲線弧，函

12、數(shù)、在上有界，在上沿的方向任意取點、將分成段小弧，記， ，也為該段的弧長.，任取，若存在，則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧上對坐標的曲線積分，記作；同理，若存在，則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧上對坐標的曲線積分，記作，即 其中，稱為被積函數(shù)，稱為有向曲線弧段或有向積分路徑.以上兩個積分也稱為第二類曲線積分.三、 定理與性質：1、對弧長曲線積分的計算方法定理1 設二元函數(shù)在曲線弧上連續(xù).平面曲線的參數(shù)方程為，其中、及、在連續(xù)，且，則. （1）如果平面曲線的方程為，其中在上具有一階連續(xù)導數(shù)，在上連續(xù)，則.如果平面曲線的方程用極坐標表示：，其中在上具有一階連續(xù)導數(shù)，在上連續(xù)，則.定理2 三元函數(shù)在空間曲線

13、弧上連續(xù).設空間曲線的參數(shù)方程為，其中、及、在上連續(xù)，且，則.*2. 對弧長曲線積分的物理應用設曲線型構件在面上占據(jù)的位置是一段曲線弧，在上的點處的構件的線密度為，且在上連續(xù)，則和解決平面薄片的同類問題一樣，應用元素法，就可以得到平面曲線弧狀構件的質量：；曲線型構件的質心坐標，；如果是勻質的曲線型構件，則對應的形心公式為，；而曲線型構件對于面上的軸和軸的轉動慣量分別為，.3、對坐標的曲線積分計算方法定理3 設函數(shù)，在有向曲線弧上有定義且連續(xù).平面曲線的參數(shù)方程為，當參數(shù)單調地由變到時，相應的點從起點沿運動到終點，及，在以為端點的區(qū)間上連續(xù)，且，則曲線積分存在，且.定理4 設空間曲線的參數(shù)方程為

14、：，其中對應起始點，對應終點，、及、在連續(xù)，、在上連續(xù)，則這里也必須注意的是：積分下限一定要對應于的起點，積分上限一定對應的終點.4、 兩類曲線積分的關系，其中、為有向曲線弧在點處的切向量的方向角.類似地，在空間有，其中、為空間有向曲線弧在點處的切向量的方向角.三、主要例題：例1 計算 其中是拋物線上點與點之間的一段弧.例2 計算曲線積分其中L是中心在、半徑為的上半圓周.例3 計算曲線積分，其中：.例4 計算曲線積分，其中為擺線的一拱：，.例5 計算曲線積分，其中為連接三點、的封閉折線段.例6 計算曲線積分，其中為螺旋線上相應于從到的一段弧.例7求 其中為球面被平面所截得的圓周.例8計算半徑為

15、R, 中心角為的圓弧L對于它的對稱軸的轉動慣量 (設線密度).例9 計算其中L為曲線上從到的一段弧.例10 計算曲線積分，其中為擺線的一拱，其中為起點，為終點.例11 計算曲線積分，其中分別為（1）從點沿直線到；（2）從點沿圓周到；（3）從點沿軸到再沿軸到.例12 計算曲線積分，其中分別為（1）從點沿直線到；（2）從點沿曲線到；（3）從點沿軸到再沿直線到；（4）從點沿軸到再沿直線到.例13 計算為點到點的空間有向線段.例14求質點在力的作用下沿著曲線 從點移動到點時所作的功.例15 設為從點沿曲線到的曲線弧，化第二類曲線積分為第一類曲線積分.授課序號04教 學 基 本 指 標教學課題第七章 第

16、四節(jié) 對面積的曲面積分和對坐標的曲面積分課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點兩類曲面積分計算教學難點兩類曲面積分計算參考教材同濟版、人大版高等數(shù)學；同濟版微積分武漢大學同濟大學 微積分學習指導安玉偉等高等數(shù)學定理 方法 問題作業(yè)布置課后習題微積分標準化作業(yè)大綱要求了解兩類曲面積分的概念，并會計算兩類曲面積分，教 學 基 本 內 容一、 基本概念：1、對面積曲面積分的概念與性質 設為光滑(或分片光滑)曲面，函數(shù)在上有界，將任意地分成片小曲面（也表示該小曲面的面積），任取，若存在，則稱此極限為在曲面上第一類曲面積分或對面積的曲面積分，記作.2、曲面

17、的側設是有向曲面，在上取一小塊曲面，將投影到面上得一投影區(qū)域，其面積記為，且假定在上各點處的法向量與軸的夾角的余弦有相同的符號，則規(guī)定在面上的投影為：其中也就是的情形.類似地可以定義在面上的投影及在面上的投影.3、對坐標的曲面積分的概念 設為光滑(或分片光滑)的有向曲面，函數(shù)在上有界，將任意地分成片小曲面（也表示該小曲面的面積），在坐標面的投影分別是，任取，若存在，則稱此極限為在有向曲面上對坐標、的曲面積分或第二類曲面積分， ，即 其中稱為被積函數(shù)，稱為有向積分曲面 .類似地，可以定義函數(shù)在有向曲面上對坐標的曲面積分為 ；定義函數(shù)在有向曲面上對坐標的曲面積分為 以上三個曲面積分也稱為第二類曲面

18、積分.二、 定理與性質：1、對面積曲面積分的計算方法設積分曲面由方程給出，在面上的投影區(qū)域為（見圖7-58），其中在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，被積函數(shù)在上連續(xù)， 則； 類似地，設積分曲面由方程給出，在面上的投影區(qū)域為，其中在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則；設積分曲面由方程給出，在面上的投影區(qū)域為，其中在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則.2、對面積曲面積分的物理應用 已知曲面型構件的密度函數(shù)在上連續(xù)，則的質量為；曲面的質心的坐標分別為，；曲面相對于軸，軸，軸的轉動慣量依次為，.3、對坐標的曲面積分的計算法設光滑有向曲面由方程給出，在面上的投影區(qū)域為，函數(shù)在上具有連續(xù)偏導數(shù)，且函數(shù)在上連續(xù)，則有，當曲面取上側，即的

19、法向量的方向余弦中時，等式的右端取正號，即； 曲面取下側，即的法向量的方向余弦中時，等式的右端取負號，即.4. 兩類曲面積分之間的關系：設有向曲面，在上連續(xù)，為曲面上點處的單位法向量, 則 注 兩類曲面積分的關系式.三、主要例題：例1 求，其中為的部分.例2 計算曲面積分 其中是球面被平面截出的頂部.例3計算 其中為平面被柱面所截得的部分（見圖7-61）.例4計算其中是由平面及所圍四面體的整個邊界曲面.例5 計算第一類曲面積分，其中為立體的整個邊界曲面.例6 已知拋物面殼的密度函數(shù)為，試求其質量.例7 試求均勻曲面的質心坐標.例8 求密度為的均勻半球殼對軸的轉動慣量.例9 計算，其中為錐面的下

20、側.例10 計算曲面積分其中是球面外側在的部分.例11 計算曲面積分，其中為由平面、及所圍四面體的外側.例12計算曲面積分，其中為介于和之間的下側.授課序號05教 學 基 本 指 標教學課題第七章 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點格林公式教學難點高斯公式參考教材同濟版、人大版高等數(shù)學；同濟版微積分武漢大學同濟大學 微積分學習指導安玉偉等高等數(shù)學定理 方法 問題作業(yè)布置課后習題微積分標準化作業(yè)大綱要求掌握格林(Green)公式，會使用平面曲線積分與路徑無關的條件，了解兩類曲面積分的概念及高斯(Guass)、斯托

21、克斯(Stokes)公式， 了解散度、旋度的計算公式。教 學 基 本 內 容一、 基本概念：1、單連通區(qū)域及其正向邊界：設為平面區(qū)域，若區(qū)域內任意一個封閉曲線所圍的部分均屬于區(qū)域，則區(qū)域稱為單連通區(qū)域，否則就稱為復連通區(qū)域. 通俗地講，單連通區(qū)域是沒有“洞”的區(qū)域.設為平面區(qū)域，我們規(guī)定它的邊界曲線關于的正向為：當觀察者沿的這一方向行走時，內在他鄰近處的部分總在他的左側.2、與路徑無關：設函數(shù)在區(qū)域內具有連續(xù)偏導數(shù)，如果對于內以點為起始點、以點為起終點的任意兩條的曲線、，下列等式成立：，則稱曲線積分在內與路徑無關. 否則則稱與路徑有關.如果曲線積分在區(qū)域內與路徑無關，而的起點為，終點為，那么曲

22、線積分便可以記為.*3. 通量與散度設給定一向量場，其中函數(shù)、具有一階連續(xù)偏導數(shù)， 則稱為向量場在點處的散度，記作.一般地，就表示在場中任一點處的散度.第二類曲面積分稱為向量場向那一側穿過曲面的通量.4. 環(huán)流量與旋度設有向量場，其中、具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則向量就稱為向量場的旋度，記作，即.若是的定義域內的一條分段光滑的有向閉曲線，是在點處的單位切向量，則曲線積分就稱為向量場沿有向閉曲線的環(huán)流量二、定理與性質：格林公式 ：設有界閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)、在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有 其中是的正向邊界曲線.平面上曲線積分與路徑無關的等價條件：設區(qū)域為單連通區(qū)域，函數(shù)、在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則下