解三角形大題及答案

1、1. (2013 大綱)設(shè)MBC的內(nèi)角 A,6,C 的對邊分別為4,b,c,(4 + Z? + c)(。一/? + C)= 4C.(I)求 6J3-1(II)若 sin A sin C =，求 C.42 . ( 2013四川)在AABC中，角A,6,C的對邊分別為a,b,c ,且A _ B32cos2 - cos B- sin(A - B)siii B + cos(A + C)=(I)求cos A的值；(口)若。=4應(yīng),6 = 5,求向量區(qū)4在就方向上的投影.3 . ( 2013山東)設(shè) ABC的內(nèi)角A,民C所對的邊分別為a,b,c ,且a + c = 6,b = 2,cosB =-. 9(I

2、)求 a, C 的值；(n )求 Sin( A - 8)的值.4 . ( 2013湖北)在AABC中，角A , 6 , C對應(yīng)的邊分別是。，c .已知 cos2A-3cos(B + C)= 1.(I)求角A的大??；(II)若AABC的面積S = 56/=5,求sin BsinC的值.5. (2013新課標(biāo))5 A8C在內(nèi)角A,5,C的對邊分別為。也c,已知a = bcosC+csinB.(I)求 8;(口)若 =2,求4 A6c面積的最大值.6. (2013新課標(biāo) 1)如圖，在 ABC中/ ABC=9(T,AB=aG ,BC=LP為 ABC內(nèi)一點/ BPC=90。1若 PB%,求 PA;(2)

3、若N APB=150。,求 tanZ PBA7. (2013 江西)ABC 中，角 A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c,己知 cosC+(conA-©sinA)cosB=0. 求角B的大小;(2)若a+c=l,求b的取值范圍33. (2013 大綱)設(shè)ZV16C 的內(nèi)角 A,5,C 的對邊分別為4,Z?,C,(4 + Z? + C)(4-Z? + C)= 4C.(I)求 8(II)若 sin A sin C =立U，求 C. 4【答案】11:( |)因為+ b + C儲iii余弦定理得cos。.-荻y因此 B«120*.(|)A( l 知 A+C-60,所以co式 A

4、-C) cosAcosC a：n AsinC =cosAcoC sinAsinC+ 2sinAs】nC =cos(A + C)+ 2®inAsinC1 + 2X3=5故 因此2 , 八一C二 30或 A-C- 30*. (；0 15或(：-454. （2013年高考四川卷（理）在AA5C中，角4及C的對邊分別為。也c ,且A _ 532cos2 - cos B- sin(A - B)siii B + cos(A + C)=(I)求cos A的值；(口)若。=4應(yīng)/ = 5,求向量84在就方向上的投影.【答案】解:(1)由 2cos2cos8 sin(A 8)sin6 + cos(A

5、+ C)= 2,得 53cos(A-B) + lcosB-sin(A-B)sinB-cosB =，、，、3即 cos(A-8 )cos B-sin(A-B)sin B = -,則 cos(A-5+5)= -33-3PcosA = -34(11)由(：05人=一§,0人乃,得51114 = 5,由正弦定理，有=，所以,sin B =如”=巫 sin A sin Ba 2由題知。,則A > 3,故6 =二.4根據(jù)余弦定理，有（4或=52 + c2 -2x5cx -解得c = l或c = -7(舍去).故向量畫在86方向上的投影為忸Ncos8 = 4 35.（2013年普通高等學(xué)校招

6、生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）設(shè)4 45c的內(nèi)角A,5,C所對的邊分別為。,Ac,且a + c = 6, = 2,cos6 = 1. 9（1）求，。的值;（口）求$血04-5）的值.【答案】解:(I)由余弦定理=標(biāo) + - 2ac cos 8,得 =( +- 2ac(l+cos B)7cos B =一又 a + c = 6, = 2,9,所以收=9,解得。=3,c = 3siii B =也一 cos2 B = (n)ffiA A5c中，9a a sin B 20 sin A =由正弦定理得cos A = >/l-siii2 A =-因為 =c，所以4為銳角，所以3sin（ A -

7、B） = siii A cos B - cos A sin B = 12因此27.36. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）已知函數(shù)( 7T/(x) = 4cos GTx-sin arx + I 4)（仍>0）的最小正周期為乃.（I）求。的值；（II）討論f（x）在區(qū)間0,2上的單調(diào)性.(I )=> 2&cosm(sinm + cos爾)=&(sin2m+ cos2m+ 1) = 2sin(2m + 馬 + & 4=> => 口= 1.所以/（x） = 2sin（2x + 2） + V,G = 12G4（II）

8、當(dāng)xe0,2時,（2x + 2）w2,;f+2,令2x + 2 = 2解得x = 2； 24444 28所以尸/（x）在0，上單調(diào)遞增；由2,芻上單調(diào)遞減88 237. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）已知函數(shù)/(x) = sin(5+0)(幻0,0e町的周期為不，圖像的一個對稱中心為(2,0),將函數(shù) 4f(x)圖像上的所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，在將所得圖像向右平移1個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖像.求函數(shù)/(#與g(x)的解析式；(2)是否存在X。6 (二,馬,使得/(兀)山(i)Ja)g*o)按照某種順序成等差數(shù)列若存在, 6

9、4請確定凡的個數(shù);若不存在，說明理由求實數(shù)。與正整數(shù)，使得尸(X)= "X)+ 4g(X)在(0,乃)內(nèi)恰有2013個零點.【答案】解：(I )由函數(shù)/(x) = sin(3x+0)的周期為巴。> 0,得6y =2又曲線),=/(J)的一個對稱中心為(C, 0),夕£(0,可4故 /(2) = sin(2x2 + 0) = O,得 0 = 2,所以 /(x) = cos2x442將函數(shù)/")圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)后可得y = cosx的圖象,再將y = cosx的圖象向右平移-個單位長度后得到函數(shù)g(x) = sinx2(II)當(dāng)

10、(工,2)時,<sinx <-,0 <cos2x < 6 4222所以 sm x > cos 2x > sm a: cos 2x問題轉(zhuǎn)化為方程2 cos 2x = sin x+sin xcos 2x在(工,工)內(nèi)是否有解6 4設(shè)G(x) = sinx+siiixcos2x-2cos2x,xe)6 4則 G'(x) = cos x+cos x cos 2x + 2 siii 2x(2 - siii x)因為xw(2,C),所以G'(x)0,G(x)在(工,工)內(nèi)單調(diào)遞增 6 46 4又g(令7。刀吁)=¥。且函數(shù)G(x)的圖象連續(xù)不斷

11、，故可知函數(shù)G(x)在(2,二)內(nèi)存在唯一零點小, 6 4即存在唯一的X。G 滿足題意 6 4(川)依題意,尸) = a sin x + cos 2x，令 F(x) = a sin x + cos 2x = 0當(dāng) sinx = 0,即 x = k7r(k g Z)時,cos2x = 1,從而 x = k7r(k g Z)不是方程 F(x) = 0 的解，所以方程/(X)= 0等價于關(guān)于X的方程。=一竺幺,X W k7t(k G Z) sinx現(xiàn)研究x £ (0,7i) U (小2乃時方程解的情況cos 2 v令 (x) =, x £ (0,4)u (7,2 4)sinx則問

12、題轉(zhuǎn)化為研究直線y =。與曲線y = h(x)在x w (0,%)U(乃,2乃)的交點情況、 cosA(2snr x+1)人,、八不 兀73乃h (x)=；-令 (x) = 0,得犬=一或x =sin- x22當(dāng)x變化時J?(x)和hx)變化情況如卜.表.V。今717£，町(江手3萬 T耳2乃)h'Q)+00+h。)/-1/當(dāng)x>0且x趨近于0時/(x)趨向于S當(dāng)x<4且x趨近于4時J?(x)趨向于s當(dāng)且x趨近于4時/(X)趨向于+8當(dāng)x<2%且x趨近于2萬時,3)趨向于+8故當(dāng)。> 1時，直線y =。與曲線y = h(x)在(0, n)內(nèi)有無交點，在

13、(肛21)內(nèi)有2個交點； 當(dāng)。<1時，直線y =。與曲線y = (x)在(0,7T)內(nèi)有2個交點，在(冗,2兀)內(nèi)無交點； 當(dāng)一1 v v 1時，直線 ) =。與曲線>'=h(x)在。)內(nèi)有2個交點，在(乃,2萬)內(nèi)有2個交點 由函數(shù)/?(#的周期性，可知當(dāng)a W ± 1時，直線 ) =。與曲線y = h(x)在(0, n7T)內(nèi)總有偶數(shù)個 交點，從而不存在正整數(shù)，使得直線y =。與曲線 ) =力(x)在(0,)內(nèi)恰有2013個交點;當(dāng) a = +l時，直線y = 4與曲線y = h(x)在(0,乃川(乃,21)內(nèi)有3個交點，由周期 性,2013 = 3x671,

14、所以 “ = 671x2 = 1342綜上，當(dāng)a = ±l,n = 1342時，函數(shù)/(x) = /(.r) + ag(x)在(0,H7T)內(nèi)恰有2013個零點38. （2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題） 本小題滿分 14 分,已知。=（cosa,snia）,B = （cos/7,sin/7）,0 <p <a <7t.若a-b= JW 求證:aVb ；(2)設(shè) 2 = (0,1),若 3 + B ="，求 a, /7 的值.【答案】解:|3 及 /. a-b=2 即e一族)2 =a2-2ab + b2 =

15、2,又 # 2>1 f- * a =|r/|2=cos2 6Z + siii2 a = , b =| b |2= cos2 p + sui2 /7 = 1 .二 2 - lab = 2 /.Tfcosa + cos/? = 0sin a +sin/? = 1ab = 0a ± /?(2) a + b = (coso + cos/7,sina + sin/?) = (0,1)Jcosa = -cos/? sin a = l-sni/7兩邊分別平方再相加得：1 = 2 2sin/7/. sui = - /. sui6Z = - -： ft <a<7t225 A 1a =

16、 -n.p=-7t6639. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版）已知函數(shù)/(x) = >/2cosf,xeR.(I)求/ J的值;< 6,(H)若cosd = 3,夕紅，2乃，求6+ £). 5 2 J 3 J【答案】（I）/=虛6 7coscosUMcos| 20 + -=應(yīng)3 12；24 172?J-25cos| 20+ = cos20-sin20I 4)7( q 萬因為cosd = -，夕w,2兀，所以sind = - 5I 2)24.7所以 sm 26 = 2 sin cos 0 =, cos 28 = cos2 夕一 sin?

17、 0 =25257= cos2e-sin28 =-2540. (2013年高考湖南卷(理)已知函數(shù)/(x) = sin(x-馬+ cos(x-馬.g(x) = 2siif2. 632(I)若a是第一象限角，且/(a)= 等.求g(a)的值;(II)求使f(x)> g(x)成立的X的取值集合.(1)/(刈=sinx_lcosx+lcosx +siii x = VI sin x = f (a) = VI siiitz =3 ，八九4 rl / 、_ . ，a ,1=sina = .a e (0,) = cosa =一,且月(a) = 2sin' = l-cosa =-52,525(I

18、I)/(X)> g(x) = Vsinx > 1-cosx nsinx+icosx=SH1(A +=x+ 今 t Qk乃+看,2k7T+= x £ 2時,2左九+與,k e Z41. (2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷(數(shù)學(xué))(己校對純WORD版含附加題) 本小題滿分16分.如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿 直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到8,然后從3沿直線步行到C.現(xiàn)有甲.乙兩 位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行,速度為50?/min.在甲出發(fā)2nlm后，乙從A乘纜車 到B,在B處停留liiiiii后，再從勻速

19、步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130?/min, 123山路 AC 長為 1260,經(jīng)測量,cosA = *,cosC = (.求索道46的長；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)123【答案】解:7 cosA = w，cosC = §K.54 A、 C e (0, ).'. siiiA = 一,sinC =shiB = siii,r-(A + C) =2135siii (A + C) = siiiAcosC + cos4siiiC = -654 RACAC乙距離為 d,則根據(jù)=

20、得 AB = sinC = 1040m siiiC siiiBsuiB設(shè)乙出發(fā) t 分鐘后d2 = (130廳 +(100+ 50/尸2 x 130/ x (100+ 50/) x /.小=200(37產(chǎn)一70f +50)V即04r<81303535/ =二時，即乙出發(fā)二 分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短. 3737由正弦定理=處得6。= 上 sin A = 詈 =500(m) sinA suiB sniB 63 1365乙從B出發(fā)時，甲已經(jīng)走了 50(2+8+l)=550(m),還需走710 m 才能到達(dá)C設(shè)乙的步行速度為V而皿廁肆竭<31250 6254314為使兩位游客在C處

21、互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在 范圍內(nèi)法二:解:如圖作BD±CA于點D, 設(shè) 8D=20k,則 DC=25MO=48k,A8=52k,由 AC=63k=1260m,知:4B=52k=1040m.(2)設(shè)乙出發(fā)x分鐘后到達(dá)點M, 此時甲到達(dá)N點，如圖所示.則:4M=130x < N=50(x+2),由余弦定理得:MN2=AM2+an2-2 AM-ANcosA=740Q x2-14000 x+10000, 其中008,當(dāng)x=| (min)時,M/V最小，此時乙在纜車上與甲的距離最短.(min).(3)由(1)知:8C=500m,甲至lj C用時:瑞 56若乙等甲3

22、分鐘,則乙到C用時:M -3=- (min),在BC上用時:M (min). JJJ此時乙的速度最大，且為:500+弓=巖 m/min.故乙步行的速度應(yīng)控制在甯，等范圍內(nèi). I D Xi若甲等乙3分鐘，則乙到C用時:看+3=巖 (min),在BC上用時:當(dāng)(min). JJJ86 1250此時乙的速度最小，且為:500+手=7“ m/min. c42. (2013年高考湖北卷(理)在A46C中，角A,8,C對應(yīng)的邊分別是。，b,c.已知 cos2A-3cos(B + C) = 1.(I)求角A的大??；(II)若 KABC 的面積 S = 5/=5,求sinBsinC 的值.【答案】解乂I)由己

23、知條件得:cos2A +女osA = l/. 2cos2 A + 女os A-2 = 0,解得cosA =工,角 A = 60°2(ll)S = -bcsmA = 573 =>c = 4,由余弦定理得= 21,(2R=- = 282sin- Asin B sin C =4史 743. (2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)H卷數(shù)學(xué)(理)(純WORD版含答案) ABC在內(nèi)角A, 6, C的對邊分別為。也c,已知。= 6cosC + csin5.(I)求 6;(H)若人=2,求4 A5c面積的最大值.【答案】(I)由已知及正弦定理得sin A :sinBcaC B 乂/ = *

24、(8+C)，故sinJ-sin(B>C)=$in/?cosC 4-cossinC.由和Cd(0.幻徹$inB = co$B.乂8w(0.X).所以8 = ：. 五(ID ZUBC 的面枳 S.QacsinB二:8 由已知及余弦定可得4«tfJ+c:-2accos.乂 u: +c2 2 2ac 故nWp* 2-V2當(dāng)且僅當(dāng)a時，號號成匕因此AdBC面積的M人的為無44. （2013年高考新課標(biāo)1 （理）如圖，在 ABC中/ ABC=90>AB=木，BC=1,P為 ABC內(nèi)一 點/ BPC=90°【答案】(I)由已知得/ PBC= 60° Z PBA=30%在 PBA中，由余弦定理得PA = 3 H2 x -3 x cos 300 = -pa= ；4242(II)設(shè)n PBA=a，由已知得,PB=sina,在 PBA中，由正弦定理得,一=一吧/一， sin 150° sin(300 - a)化簡得,a/3 cos a = 4 sin a,tan<z = tanZP5A = 4445. （2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷（含答案）本題共有2個小題，第一小題滿分4分,第二小題滿分9分.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點4在y軸正半軸上，點Pn在x軸上,其橫坐標(biāo)