矢量分析與場論(2)

1、個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)第02講本節(jié)內(nèi)容1,方向?qū)?shù)2,梯度3,散度4,旋度5,正交坐標(biāo)系第一章矢量分析與場論(2)1,數(shù)量場的方向?qū)?shù)1.1方向?qū)?shù)由上節(jié)可知，數(shù)量場u=u(M)的分布情況，可以借助于等值面或等值線來了解，但這只能大致地了解數(shù)量場中物理量 u的整體分布情況。而要 詳細(xì)地研究數(shù)量場，還必須對它作局部性的了解，即要考察物理量u在場 中各點處的鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況。為此，引入方向?qū)?shù)的概念。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)設(shè)M0是數(shù)量場M0出發(fā)沿某一方向引一近取一動點M, M。M =u= u(M )中的一點，從條射線l ,在l上M0的鄰若當(dāng)Mt M0時(即P T 0）： 的極限

2、存在，則稱此極限為函數(shù) u(M)在點M0處沿l方向的方向?qū)?shù)。記為M0一 、，一 dU 一一、， 可見，方向?qū)?shù) 或 是函數(shù)u(M)在點M0處沿l方向?qū)嚯x的變化率 l M0.u當(dāng)了0時，表示在M0處u沿l方向是增加的，反之就是減小的。在直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù)有以下定理所述的計算公式：定理若函數(shù) u = u(x,y,z)在點 Mo(X0,y0,Z0)處可微，cos" , cos? , cos?為方向的方向余弦。則 U在M0處沿l方向的方向?qū)?shù)必存在，且：證：M 坐標(biāo)為(X。+ ”, y。+ Ay,z。+ “),.U在點M0可微，故：°3是比高階的無窮小。兩邊除以得兩邊取t

3、0時的極限得一 一，X2 y2例 求數(shù)量場二工在點M(1,1,2)處沿l=？+ 2?+ 2?方向的方向?qū)?shù)。12 / 38解：方向的方向余弦為:1cos =二一3)cos :cosu 2x * = 2y u x2 y2一= =2x z ) y z ) z z:1,£uz7 .z Mu12122 一 = 1 1=. . l332332,梯度2.1 .概念方向?qū)?shù)為u(M )在給定點處沿某方向變化率。 但從場中一點出發(fā)無窮多方向，通常不必要更不可能研究所有方向的變化率。人們往往只關(guān)心沿何方向變化率最大，此變化率為多少？下從方向?qū)?shù)的計算公式出發(fā)來討論此問題。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)

4、習(xí),.cosa、cosP、cos'為l方向的方向余弦.方向的單位矢量可表示為：若把3，1看成是某矢量G的三分量。即：一.£u _ 一 二則：T = G l °= G cos（G,l） 11G在給定點處為一常矢量。由上式， G在；方向上的投影恰等于函數(shù) u在該方向上的方向?qū)?shù)。顯然，當(dāng)1與G的方向一致時，即cos（Gr） = 1時，方向?qū)?shù)取得最大值， 或說沿G方向的方向?qū)?shù)最大，此最大值為：這樣即找到了一個矢量 G ,其方向為u(M)變化率最大，且其模即為最 大變化率，該矢量稱函數(shù) u(M)在給定點處的梯度。在數(shù)量場u(M)中的一點M處，其方向為函數(shù)u(M)在M點處

5、變化率最 大的方向，其模恰好等于此最大變化率的矢量 G,稱為u(M)在M點處的 梯度，記為： 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)需指出，梯度的定義與坐標(biāo)系無關(guān)，它由數(shù)量場u(M)的分布所決定，在不同的坐標(biāo)系中只是表達(dá)形式不同。前面已得出其在直系中的表達(dá)式： 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)從此公式可以看出，梯度在形式上可以視為矢量微分算子7?+?+i?x 、y 、z與函數(shù)u的乘積，算子稱為哈密爾頓算子。所以梯度又常表示為“U。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)2.2.梯度的性質(zhì)10梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系：在某點M處沿任一方向的方向?qū)?shù)等于該二 u點處的梯度在此方向上的投影。了 =G12°梯度與等

6、值面的關(guān)系：場u(M)中每一點M處的梯度，垂直于過該 點的等值面，且指向u(M)增大一方。這是因為點 M處“u的三個分量詈恰為過M點的等值面 x y zu(x, y, z) = c的法線方向數(shù)，即梯度在其法線方向上，故垂直于此等值面。一. 、一 L fu. 一 ，、一、,一又因為u沿 u萬向的萬向?qū)?shù)= 1grad叱0即u(M )沿grad u萬向是增 加的，或者說grad u指向u(M)增大一方。等值面和方向?qū)?shù)均與梯度存在一種比較理想的關(guān)系，這使得梯度成為研究數(shù)量場的一個極為重要的矢量。例 試證明M(x, y,z)點的矢徑r = x5?+ y* z?的模r = | ；|= Jx2+ y2+

7、 z2的梯 r度 L；=r。r x 2c 3 n -址，x x2 y2 z2 r，. y r， z r、x仁 y c z仁、=一1上？一?-r r r, u例 求 r=|r|= Jx2 + y2 + z2 在 M(1,0,1)處沿 l = i +2j + 2k方向的 - ou 一 ，、 一解法1 :直接由了公式(略)解法2 :作為梯度在上投影-rx :ry :rzxr) yr) zr,一：r 1：r 0 八:r 1在 M(1,0,1)處，- = T2,百丁 °, TzF11cleM 處72?72?2.3.梯度的運算法則17c = 0(c為常數(shù))2。 (cu)= c7 u (c 為常數(shù)

8、)3 7 (u * v)- u" v4 V (uv) = W u + u個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)u、1 /、5。寸(一)=T(v7 u - u7 v)5 V v6。f(u) = f'(u)v u例 已知位于原點處的點電荷q在其周圍空間任一點 M(x,y,z)處產(chǎn)生的電位為'=477 ( r = |r| = Jx2+y2+z2 ),且知電場強(qiáng)度E= 求E。解：由法則6° :3矢量場的通量與散度3.1、 通量f|F8ds個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)為區(qū)分曲面的兩側(cè)，常規(guī)定其一側(cè)為曲面的正側(cè)，另一面為其負(fù)側(cè)。這種取定了正側(cè)的曲面稱為有向曲面。對于封閉曲面，習(xí)慣上總是取

9、其外側(cè)為正側(cè)。在研究實際問題時，常規(guī)定有向曲面的法向矢量n恒指向研究問題時所取的一側(cè)。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)下面通過例子導(dǎo)出通量定義。設(shè)s為流速場V(M)中一有向曲面，考慮單位時間流體向正側(cè)穿過 s的流量Q。( n指向s正側(cè))文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)在s上取ds, M三ds。因ds甚小，可認(rèn)為v和n在ds上均不變，分別與M處v和n相同。流體穿過ds的流量為： n其中n =尉為M處單位法向矢量則單位時間內(nèi)沿正向穿過 s的總通量為：數(shù)學(xué)上把這種形式的曲面積分稱為通量。設(shè)A（M）為一矢量場，沿其中有向曲面 S正（負(fù)）側(cè)的曲面積分：稱為矢量場A向s正（負(fù)）側(cè)穿過曲面 S的通量。如磁感應(yīng)

10、強(qiáng)度為B的磁場中，穿過曲面 S的磁通量為：若某一矢量場是由兩個以上的矢量場迭加而成，則總場穿過某曲面的通量等于每個矢量場穿過該曲面的通量之和。-1m即若A=人+FC A則： iN在直角坐標(biāo)系中，若 A可表示為：而 ds = n ds = ds cos - i dscos j dscos k其中COS& , cosP , cosY是n的方向余弦-= A ds = Pdydz Qdxdz Rdxdy ss例 場r = xi + yj + zk s:圓錐面x2+ y2= z2與平面z=H所圍封閉面,求從s內(nèi)穿出的屋解：: r dss若s為上半球面x2+y2 + z2 = R2,Hr ds s

11、2上任一點r工ds總流量Q=Hv ds為單位時間內(nèi)向上側(cè)穿過S的正流量和負(fù)流量的代S數(shù)和。當(dāng)Q>0時表示向正側(cè)流量多于向負(fù)側(cè)流量；Q<0時向正側(cè)流量小于向負(fù)側(cè)流量；Q=0時向正側(cè)流量等于向負(fù)側(cè)流量。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)對于封閉曲面s,提及穿過它的通量時，通常指從內(nèi)向外。此時：當(dāng)，>0時，表明穿出的通量大于穿入的，稱 s內(nèi)有產(chǎn)生的正源；當(dāng) ' <。時，表明穿入通量大于穿出的，稱 s內(nèi)有產(chǎn)生*的負(fù)源。正源和負(fù)源 可同時存在。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)例 原點處點電荷q在其周圍產(chǎn)生的電場中，任一點處的電位移矢量 _ qrx?y?z? 、D'kr

12、 (r = Jx2 + y2+ /),求穿過以原點為球心，R為半徑的球面的電通量。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)解：e; D dS s可見，s內(nèi)產(chǎn)生電通量的源即為電荷 q, q為正電荷時，3>0,表明q為正源；反之q為負(fù)源。3.2散度根據(jù)穿出閉合面的通量的正負(fù)，可判斷出該曲面內(nèi)有正源或負(fù)源,但源在s內(nèi)的分布情況和強(qiáng)弱卻是通量無法說明的。為此，引入矢量場的 散度。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)設(shè)M是矢量場A(M )中的一點，在M的某個鄰域內(nèi)取一包含 M在內(nèi)的任一閉合曲面”，其所包含區(qū)域的體積為 AV,以"表示穿出"S的通量。若當(dāng)該區(qū)域以任意方式縮向點M時，文檔收集自

13、網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)的極限存在，則稱之為矢量場a（m）在點M處的散度。記為div Adiv a為一數(shù)量，它表示場中一點處的通量對體積的變化率，即該點處穿出包圍單位體積的閉合曲面的通量。稱為該點處源的強(qiáng)度。div A> 0 該一 點有正源；div A < 0 該點有負(fù)源。divA表示產(chǎn)生通量或吸收通量的強(qiáng)度。當(dāng)divA = o時，表示該點無源。div A= 0的矢量場稱為無源場。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用 于個人學(xué)習(xí)定理（散度在直系中的表達(dá)式）在直角坐標(biāo)系中，矢量場：在任一點M（x,y,z）處的散度為：證.=，A ds = ： Ax dydz Ay dxdz Az dxdyisLS由曲面積

14、分的奧氏公式:Ax因為反：Ay : A . div A =Ax：Ay= M -7ATm- z后、尤均連續(xù)，根據(jù)中值定理，&V內(nèi)必存在一點M使得:Ax.M t M ,故 divA - x可見，散度在形式上可看作哈密爾頓算子與矢量A的點乘，所以通常表示為胃Ao此定理不僅告訴我們?nèi)绾斡嬎闵⒍?，也可由之得出以下推?推論1奧氏公式可以寫成矢量形式：高斯定理從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域V中的場和包圍區(qū)域V的閉合面S上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域V中的場，根據(jù)高斯定理即可求出邊界S上的場，反之亦然。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)

15、推論2由推論1,若在封閉曲面s內(nèi)處處有 A=0,則：推論3在矢量場A中，若某些點（或區(qū)域）上有 A，?；虿淮嬖?，而其它點上都有 A=05則穿出包圍這些點（或區(qū)域） 的任一閉曲面的通 量者勺才目等。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)證：設(shè)7 A，0或不存在的點在區(qū)域 R內(nèi)，任作二包圍 R但互不相交的封閉面Si、S2,外法向矢量ni、n2內(nèi)7 A處處為0,而si上n與ni相同，s2上n與n2相反。例 原點處點電荷q產(chǎn)生的電位移為 1 一 (r = xi + y j 十 zk , r = | r ),求"D 。解： D = 7"(3i 為j Wk)4 r r rD =_qD =_q

16、yix 4n r3 ， y 4n r3 ，:Dxq r2 - 3x2：Dy _ q r2 - 3y2: Dzq r2 - 3z2:= ex4nr5，y4兀r5，1z 4 r5Dx ：Dy-Dz _ q 3r2 - 3(x2 y2 z2)D 一一一 0555x y z 4r在r = 0以外，V D：。，故為無源場。由推論3,穿過任一包圍q的封閉面的電通量：3=nDds=q s散度遵循下列運算法則：1 7 (cA)=cv A (c常數(shù))2°y (A± B) = A±v B3 o 7 (uA) "uA+u$ A下面對法則3。加以證明。證：.uA= uAx?+u

17、Ay?+uAz?CGG, (uA)二(uAx) (uAy) (uAz)一xyz23 / 38個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)例 r=xi+yj+zk, r = r。求：(1)使 f(r)F= 0 的 f(r)(2)使 口() = 0 的 f(r)解：(1) ”/)；= ”r) r+ 口產(chǎn) r.f (r) = cr-3,- r ,f(r)L f (r) r令r = et,得：.f (r); G1 C24矢量場的環(huán)量及旋度 4.1環(huán)量概念設(shè)有矢量場A(M),則沿場中某一封閉的有向曲線l的曲線積分稱為此矢量場按積分所取方向沿曲線l的環(huán)量。(其中dl = ； dl )例如，當(dāng)A為力場F時，環(huán)量表示在F作用下，

18、質(zhì)點沿曲線l運動一 _ 一周時，場力F對它所做的功。又如，當(dāng)A為磁場強(qiáng)度H時，7H d表示沿與積分路線方向成右手螺旋關(guān)系的方向通過以l為邊界的曲面的總電流。(安培環(huán)路定律)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)在直角坐標(biāo)系中，A= Ax(x,y,z)? Ay(x,y,z)? Az(x,y,z)?其中 cosa , cosP , cosY 為 dl 的方向余弦，則 71A dl 7 Axdx + Ay dy + 2dz可見，若在閉合有向曲線l上，矢量場A的方向處處與線元dl的方 向保持一致，則環(huán)量> 0 ；若處處相反，則r < 0 o可見，環(huán)量可以用來 描述矢量場的旋渦特性。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，

19、僅用于個人學(xué)習(xí)由物理學(xué)得知，真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任一閉合有向曲線l的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度I與真空磁導(dǎo)率"0的乘積。即文檔收集自哂僅用于個人學(xué)習(xí)式中電流I的正方向與dl的方向構(gòu)成右旋關(guān)系。由此可見，環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總的源強(qiáng)度，它不能顯示源的分布特性。為此，需要研究矢量場的旋度。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)4.2 .環(huán)量面密度以磁場h為例，其環(huán)量為通過磁場中以 l為邊界的曲面s的總電流強(qiáng)度。這還不足以了解磁場中任一點 M處沿著某一方向n的電流密度，為研究此類問題，引入環(huán)量面密度文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)設(shè)M為矢量

20、A中一OMAS點，n為從M出發(fā)的一射線，在M處取一小面元&$與門垂直，取其周界M之正向與n成右手螺旋關(guān)系。當(dāng)A沿的之正向的環(huán)量 與面積"之比在燈無限縮向M點時的極限存在,則稱之為矢量a在M點處沿n的環(huán)量面密度。記為文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)在磁場中M處，沿某方向n的環(huán)量面密度為：:j H dlI dI4 =甄丁=螞=工 (I n萬向電流)為點M處沿n方向的電流密度。下面給出環(huán)量面密度的計算公式：在直角坐標(biāo)系中，A= Ax(x,y,z)? Ay(x,y,z)p Az(x,y,z)?由曲線積分的斯托克斯公式證明：(略)由中值定理，當(dāng) 普l>sa+(普普)8融+與k>

21、;s連續(xù)時，必存在一點M"使得（因為 &ST M 時）Ml M ）-：Ay:A:A- 八 A）cos :（ ）cos - （ ）cos二 z二z二 x二 x二 y4.3旋度由環(huán)量面密度的計算公式:A：AV；A:A：AV；AR= （4_）？（_）? （-）?L,L|L|L|L,L,y z z x x yn =R n-。為n方向的單位矢量。即在任一給定點處，矢量R在任一方向n上的投影等于沿該方向的環(huán)量面密度。R的方向為"n最大方向，且，max=|R。在矢量場A中的一點M處，其方向為 M處A的環(huán)量面密度最大的方43 / 38向，其模恰等于此最大環(huán)量面密度的矢量，稱為矢量記

22、作rot A O 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)A在M點處的旋度,上面已得出rot A的計算公式:?rot A =一 dxAxy:yAy-zAz旋度在形式上可看作哈密爾頓算子與矢量 A的叉乘，所以通常表示為斯托克斯定理同高斯定理類似，從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為斯托克斯定理建立了面積分和線積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為斯托克斯定理建立了區(qū)域S中的 場和包圍區(qū)域S的閉合曲線l上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域S中的場，根據(jù)斯托克斯定理即可求出邊界l上的場，反之亦然。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)例 求矢量場A= x(z-y*+ y(x-z)?+z(y-x)?在點M (1,0,1)處的旋度，及沿口 =

23、2? 6? 3?方向的環(huán)量面密度:y解:x(z- y) y(x - z) z(y- x)Am = ?+ 2?+?263n 二一災(zāi) ? -2777An2 6 2 3.177 777旋度遵循下列運算法則:1°F M(cA) = cF 父 A（c常數(shù)）2。 M(A± B)=5A士 M B3° 父(uA) = u7xA+7uxA4° $ B) = rot A B - A rot B5。"($u) = 06。0A) = 07。一一 A= ( A) - 7 2A其中蠟稱為拉普拉斯算子，在直角坐標(biāo)系中有F面以4°和5 °為例給出證明證 4

24、° ： AgAx? + Ay/Az?)BBxW+By ?+Bz證5°：”(喝針解?+等) 例 已知中AI。，且存在非零函數(shù)u(x,y,z)及(x,y,z)使uA 2 試證明A，哂A 證：,uAH /y|(uA)|0 .，A A A A。u A) = 0/uA rot A = 0.u非零 故A±rot A5無散場和無旋場散度處處為零的矢量場稱為無散場，旋度處處為零的矢量場稱為無旋場。兩個重要公式：左式表明，任一矢量場 A的旋度的散度一定等于零。因此，任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度，或者說，任何旋度場一定是無散場。及收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)右式表明，任一標(biāo)量場中的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無旋場一定可以表示為一個標(biāo)量場的梯度，或者說，任何梯度場一定是無旋場。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)6正交坐標(biāo)系6.1常用的三種坐標(biāo)系文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)圓柱(r, , z)z = Z0直角(x, y ,z)/6.2x 0微負(fù)5二 exEezey其中OdlZdSJW-稱為微分量 r =