第二十四部分不等式

1、第二十四部分 不等式一.不等式的性質(zhì)：1 .同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若 a b,c d,則 a c b d (若 a b, c d,則 a c b d),但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減;，但不能相除；a bb 0,0 c d ,則 a -c d2 .左右同正不等式：同向的不等式可以相乘 異向不等式可以相除，但不能相乘：若 a b 0,c d 0,則 ac bd (若 a3 .左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開方若a b 0-Uan及或強(qiáng)朋'；11 一 一14.右 ab 0 , a b,則一 一；若 ab 0 , a b,則一 a ba(1)對于實(shí)數(shù)a,b

2、,c中，給出下列命題：若a b,貝1Jac2bc2 ；若 ac2 bc2,則 a b;5若a b 0,則a2ab b2 ； 若a11b0,則一一；abb0,則 a b ；11 rt c ,b,- ，則 a 0, b a by的取值范圍是0。這17ba右a b 0,則；右aa ba b右c a b 0,則； 右ac a c b其中正確的命題是已知1 x y 1 , 1 x y 3,則3xc .(3)已知a b c,且a b c 0,則一的取值氾圍是 a二不等式大小比較的常用方法：1 .作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2 .作商(常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的代數(shù)式)；3 .分析法；

3、4 .平方法；5 .分子(或分母)有理化；6 .利用函數(shù)的單調(diào)性；7 .尋找中間量或放縮法；8 .圖象法。其中比較法(作差、作商)是最基本的方法。如1 一 t 1 .(1)設(shè)a 0且a 1,t 0 ,比較logat和loga 的大小2 21_2(2)設(shè)a 2, p a , q 2，試比較p,q的大小a 2(3)比較 1 + l0gx 3與 210gx 2(x 0且x 1)的大小三.利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小字方針。如(1)ACD下列命題中正確的是1 ,、y x 的最小值是2 B 、y4，、y 2 3x (x 0)的最大值是2 x4,、y

4、2 3x (x 0)的最小值是2 xx23x 3的最小值是x2 2434.3(2)若 x 2y 1 ,貝U 2x4y的最小值是(3)正數(shù)x,y滿足x 2y 常用不等式有：(1) Ja2 2 b2 a、b、c R, a2 b2 c2.11.1 ,則一一的最小值為x ya22jab彳、(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用 a bab bc ca (當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)，取等號)；(3)若a);b 0, m0,。如b 3 ,則ab的取值范圍是則b bLJm (糖水的濃度問題)a a m如果正數(shù)a、b滿足ab a五.證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差(商)后通過分解因

5、式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。1常用的放縮技巧有：-n(n11)n(n 1).1如(1)已知a b c,求證：a2b (2)已知 a,b,c R,求證：a2b2,kb2c2 2c1. k2c a2 2c aab2bc2abc(a1(3)已知 a,b,x, y R ,且一 a(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù),1,x b求證：lg ab 2,b c lg 2,clg -(5)已知a,b,c R,求證:22, 2a blglgb(6)若 n N，求證：(n 1)2 1已知|a |b|,求證:|a| |b|a(8)求證:11112232b|1n,2 2b c2abc(a

6、(n|a|1) Jn2 1 n；|a b|2ca ；c) ；y .c)；六.簡單的一元高次不等式的解法 ： 式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正 ；(2) 點(diǎn)畫曲線；并注意 奇穿過偶彈回標(biāo)根法：其步驟是：(1)分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因?qū)⒚恳粋€(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一；(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如(1)解不等式(x 1)(x 2)20。(2)不等式(x 2)Jx2 2x 3 0的解集是(3)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R,且f(x) 0的解集為x|1 x 2, g(x) 0的解集為，則不等式f(x)gg(x) 0的解集為(4)

7、要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x2 9x a 0 (解集非空)的每一個(gè)x的值至少滿足不等式 2一 2x 4x 3 0和x6x 8 0中的一個(gè)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 .七.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。如5 x(1)解不等式 、5 x一1x2 2x 3(2)關(guān)于x的不等式ax b 0的解集為(1,),則關(guān)于x的不等式axb 0的解集為x 2八.絕對值不等式的解法 ：,，一 ，-,311.分段討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集 )

8、：如解不等式|2 -x| 2 |x - |42(2)利用絕對值的定義；(3)數(shù)形結(jié)合；如解不等式|x| |x 1| 3(4)兩邊平方：如若不等式|3x 2| |2x a|對x R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 。九.含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵.”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是"。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集； 但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如，.一2(1)右log a 1,則a的取值范圍是32(2)解不等式且一 x(a R)ax 1提醒：(1)解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；(2

9、)不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于x的不. . x 2等式ax b 0的解集為(，1),則不等式 0的解集為ax bH.含絕對值不等式的性質(zhì)：a、b 同號或有 0|a b|a| |b| |a | |b| | a b|;a、b異號或有 0|a b| |a | |b| |a| |b| |a b|.如設(shè)f(x) x2 x 13,實(shí)數(shù)a滿足|x a | 1 ,求證：| f(x) f(a)| 2(|a| 1)十二.不等式的恒成立，能成立，恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？(常應(yīng)用函數(shù)方程思 想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)

10、特征，利用數(shù)形結(jié)合法)1) .恒成立問題若不等式f xA在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f xAmin若不等式f xB在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f xBmax22如(1)設(shè)頭數(shù)x, y滿足x (y 1)1,當(dāng)x y c 0時(shí)，c的取值范圍是 (2)不等式x 4 x 3 a對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍(3)若不等式2x 1 m(x2 1)對滿足m 2的所有m都成立，則x的取值范圍 n( 1)n 1(4)右不等式(1) a 2 -一-對于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 n(5)若不等式x2 2mx 2m 1 0對0 x 1的所有實(shí)數(shù)x都成立，求 m的取值范圍.2) .能成立問題若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f xA成立，則等價(jià)于在區(qū)間 D上f x A ；max若