“三個(gè)二次”一家親

1、 “三個(gè)二次”一家親輕松破解以二次函數(shù)為主的代數(shù)綜合題一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)三者之間具有親密的關(guān)系，它們的美麗邂逅構(gòu)成了中考代數(shù)部分的綜合大題其中，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)與一元二次方程之間的關(guān)系更是各地中考必考內(nèi)容三者的關(guān)系表：（）（）（或）（）從數(shù)上函數(shù)一元二次方程一元二次不等式從形上拋物線拋物線與軸交點(diǎn)拋物線在軸上方（或下方）的部分?jǐn)?shù)形結(jié)合理解“三個(gè)二次”：1、若，則可以得到下表：或此方程無實(shí)根或恒成立無實(shí)根無實(shí)根2、若時(shí)，可以得到下表：或此方程無實(shí)根無實(shí)根無實(shí)根或恒成立例1：已知二次函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.則二次函數(shù)解析式_.例2： 關(guān)于方程沒有實(shí)數(shù)根，則拋物線的頂點(diǎn)在第_象限.

2、解法一：代數(shù)方法：關(guān)于方程沒有實(shí)數(shù)根，得到而拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即可得到答案解法二：數(shù)形結(jié)合：關(guān)于方程沒有實(shí)數(shù)根拋物線與軸無交點(diǎn)，又因?yàn)?，所以圖象開口向上，并且在軸上方，又對(duì)稱軸為，即可得出答案例3 ：若是關(guān)于的方程的兩根，且， 則 的大小關(guān)系是 分析：解讀條件若是關(guān)于的方程的兩根：等價(jià)于將代入滿足方程，即，引出解法一：必須同號(hào)，排除法即可得到答案.等價(jià)于為二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo).引出解法二：二次函數(shù)的圖像是將拋物線向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，而是拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖像得到答案.變式練習(xí)：設(shè)一元二次方程的兩實(shí)根分別為，則，滿足（ ） 且例4：關(guān)于的方程的解是，（，均為常數(shù)，），則方程的

3、解是 例5：已知函數(shù)，則使成立的值恰好有三個(gè)，則的值為 例6：二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：（1）寫出方程的兩個(gè)根（2）寫出不等式的解集（3）寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍（4）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍解：（1） 或（2） （3） （4） 頂點(diǎn)，拋物線解析式為，把代入，得，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即例7：已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論： ； ； ； ； （的實(shí)數(shù)）其中正確的結(jié)論有 (填序號(hào))解析：由圖象知，再由得，故不正確；由圖象得，當(dāng)時(shí)，即，亦即，故不正確；當(dāng)時(shí)，于是有，故正確；由，得，代入，得，即，故正確；，故正確這是從計(jì)算的角度判斷的其實(shí)，從圖象上看，應(yīng)該這樣判斷：因?yàn)閷?duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，而的實(shí)數(shù)，所以點(diǎn)為拋物線上頂點(diǎn)以外的其它點(diǎn)；很顯然此時(shí)頂點(diǎn)為拋物線最高點(diǎn)，所以頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為該函數(shù)的最大值，因而，即如此，借助數(shù)形結(jié)合，則的判斷就輕而易舉了當(dāng)然，還可以這樣理解：，故正確例8：已知拋物線（為常數(shù)，且）（1）證明：此拋物線與軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，若這兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離分別為、，且，求的值例9：已知關(guān)于的方程.（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一個(gè)根大于且小于，求的取值范圍；（3）設(shè)拋物線與軸交于點(diǎn)，若拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好是點(diǎn)，求的值.只要理