第二批次一元二次方程

1、一元二次方程知識一元二次方程是數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)的一些特殊形式的方程中的一種。要熟練掌握一元二次方程的定義及定理以及解法和根的判別。同時一元二次方程的實際應(yīng)用題，本節(jié)我們通過一些實例的求解，旨在介紹數(shù)學(xué)競賽中一元二次方程相關(guān)問題的常見題型及其求解方法。本講將通過例題來說明這些方法的運用。知識梳理1、一元二次方程的一般式：ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0)， a 為二次項系數(shù)， b 為一次項系數(shù)， c 為常數(shù)項。2、一元二次方程的解法（1）直接開平方法 （也可以使用因式分解法） x2 = a(a ³ 0)解為： x =± a (x + a)2 = b(

2、b ³ 0)解為： x + a = ± b (ax + b)2 = c(c ³ 0)解為： ax + b = ± c (ax + b)2 = (cx + d )2 ( a¹解為： ax + b = ±(cx + d )c )（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如： ax2 + bx = 0(a,b ¹ 0) Û x(ax + b) = 0 此類方程適合用提供因此，而且其中一個根為09 = 0 Û (x + 3)(x - 3) = 03x = 0 Û x(x - 3) = 0

3、-1) = 0 Û (3x - 5)(2x -1) = 036x + 9 = 4 Û (x - 3)2 = 412x + 9 = 0 Û (2x - 3)2 = 044x -12 = 0 Û (x - 6)(x + 2) = 0（3）配方法25x -12 = 0 Û (2x - 3)(x + 4) = 0二次項的系數(shù)為“1”的時候：直接將一次項的系數(shù)除于 2 進行配方，如下所示：x2 + Px + q = 0 Û (x + P )2 - ()2 + q = 0P22- 3)2 - ( )2 +1 = 03示例：22二次項的系數(shù)不為“1

4、”的時候：先提取二次項的系數(shù)，之后的方法同上：1ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) Þ a(x2 + b x) + c = 0 Þ a(x +)2 - a ()2 + c = 0bba2a2ab2b2 - 4acbbÞ a(x +) =- c Þ (x +) =224a22a4a2a122x -1 = 0 Û 1 (x2 - 4x) -1 = 0 Û 1 (x - 2)2 - 1 ´ 22 -1 = 0示例：222（4）公式法：一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0)，

5、用配方法將其變形為：b2 - 4acb(x +) =24a22a 當 D = b2 - 4ac > 0 時 ， 右 端 是 正 數(shù) 因 此 ， 方 程 有 兩 個 不 相 等 的 實 根 ：-b ± b2 - 4acx1,2 =2a 當D = b2 - 4ac = 0 時，右端是零因此，方程有兩個相等的實根： x=- b1,22a 當D = b2 - 4ac < 0 時，右端是負數(shù)因此，方程沒有實根。備注：公式法解方程的步驟：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式： ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0)，并確定出a 、b 、c求出D = b2 -

6、4ac ，并方程解的情況。-b ± b2 - 4ac代公式： x1,2 =（要注意符號）2a3、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系法 1：一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) 的兩個根為：-b + b2 - 4ac-b - b2 - 4acx1 =, x2 =2a2a-b +b2 - 4ac-b -b2 - 4acb所以： x1 + x2 =+= -，a2a2a-b +b2 - 4ac -b - b2 - 4ac(-b)2 - ( b2 - 4ac )24accx1 × x2 =×=4a2=a(2a)22a2a2定理：如果一元二次方程

7、 ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) 定的兩個根為 x , x ，那么：12x = - b , x x= c a21 2a法 2：如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) 定的兩個根為 x , x ；那么12ax2 + b= 0 Û a(x - x )(x - x ) = 0兩邊同時除于a ，展開后可得：12x + c = 0 Û x2 - (x + x )x + x xÞ x + x = - b ； x x= c= 012121212aaaa法 3：如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (

8、a ¹ 0) 定的兩個根為 x , x ；那么12ìax + bx + c = 02ïb11 -得： x + x = -（余下略）í12ax+ bx + c = 02aïî22常用變形：x1 + x211= (x + x )2 - 2x x+=x2，121 2x x21 2+2= (x + x )2 - 4x x ， (|，12121 2xx 2 +(x + x )2 - 4x x= x x (x + x ) ，+ 1 = 1= 121 22 x1 21 212x xx x1 21 2例題精講【試題來源】【題目】方程x2+y2+22

9、= x + y + 2的整數(shù)解有()A. 1 組B . 3 組C . 6 組D . 無窮多組【】B【】 解：由題意知 x+y0，方程化簡得xy + 2(x + y) = 0, (x + 2)(y + 2) = 4.因為y0，所以上式就分成 2×2,1×4，兩種情況，對應(yīng)的整數(shù)解有 3 組.3點評：將方程化簡，在進行因式分解，最后根據(jù)整數(shù)解來進行情況討論【知識點】一元二次方程【適用場合】當堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】如果某個等腰梯形的下底與對角線長都是 10，梯形的上底與高相等，則上底的長是()A .52 B . 62C . 5D . 6【】D】 解: 設(shè)上底長為

10、 x，由勾股定理得(10x + x)2+x2 = 100，【2整理得𝑥2 + 4𝑥 60 = 0.x1 = 6, x2 = 10（舍去）.：D【知識點】一元二次方程【適用場合】當堂練習(xí)【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】關(guān)于 x 的一元二次方程4𝑥2+4𝑚𝑥 + 𝑚2 + 𝑚 10 = 0(𝑚為正整數(shù)）有整數(shù)根時，m 的值可以取 ( )A .1 個B . 2 個C . 3 個D . 4 個【】D】 解：由求根公式得=m±10m.2【當 m=1 時，對應(yīng)的 x

11、為 1、-2 成立；當 m=9 時，對應(yīng)的 x 為 4、-5 成立；當 m=6 時，對應(yīng)的 x 為-4、-2 成立；4當 m=10 時，對應(yīng)的 x 為-2.所以 m 的值有 4 個【知識點】一元二次方程【適用場合】當堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】 設(shè) 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, , 𝑥2007 為 實 數(shù) ， 且 滿 足 𝑥1𝑥2𝑥3. 𝑥2007 = 𝑥1𝑥2𝑥3. 𝑥2007 =𝑥

12、;1𝑥2𝑥3. 𝑥2007 = = 𝑥1𝑥2𝑥3. 𝑥2006𝑥2007 = 1,則𝑥2000 = 】1 或 3±5 【2【】 解:𝑥2000 = 1 符合.11因為 x x x . . x= 1，= 1, x x . x 𝑥1 2 320001 2 31999x1x2x3.x2000𝑥1𝑥2𝑥3.𝑥1999= 1±5= 1+5，x x

13、x x, x1x2 x3. . 𝑥19991 2 3200022= 3±5 所以x= 1或𝑥200020002【知識點】一元二次方程【適用場合】當堂練習(xí)題【難度系數(shù)】4【試題來源】【題目】已知：a,b,c 是實數(shù)，且 a=b+c+1.求證：兩個方程 x2+x+b=0 與 x2+ax+c=0 中，至少有一個方程有兩個不相等的實數(shù)根.【】如下【】 解：設(shè)兩個方程都沒有兩個不相等的實數(shù)根，那么10 和20.5ì14b £ 0ï即ía - 4c £ 02ïa = b + c + 1î15由得

14、 b ，b+1 代入，得445ac=b+1 ，4c4a54：a24a+50，即（a2）2+10，這是不能成立的.既然10 和20 不能成立的，那么必有一個是大于 0.方程 x2+x+b=0 與 x2+ax+c=0 中，至少有一個方程有兩個不相等的實數(shù)根.【知識點】一元二次方程【適用場合】當堂例題【難度系數(shù)】4【試題來源】【題目】已知首項系數(shù)不相等的兩個方程：（a1）x2(a2+2)x+(a2+2a)=0 和 (b1)x2(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中 a,b 為正整數(shù))有一個公共根.求 a,b 的值.ìa2ìa = 4】 í或í【.î

15、;b = 4îb = 2【】 解：用因式分解法求得：a + 2方程的兩個根是 a 和；a -1b + 2方程兩根是 b 和.b - 1由已知 a>1,b>1 且 ab.b + 2a + 2公共根是 a=或 b=.b - 1a -1兩個等式去分母后的結(jié)果是一樣的.即 aba=b+2,abab+1=3,(a1)(b1)=3.6a,b 都是正整數(shù)，ìa11ìa13 í或í.îb -1 = 3îb - 1 = 1ìa2ìa = 4í或í.îb = 4îb = 2

16、又解：設(shè)公共根為 x0 那么ìï(a -1)x 2 - (a 2 + 2)x + (a 2 + 2a) = 00í（b -1)x 2 - (b2 + 2)x + (b2 + 2b) = 0î0×（b1）×（a1）得（a2+2）(b1)+(b2+2)(a1)x +(a2+2a)(b1)(b2+2b)(a1)=0.0整理得（ab）(abab2)(x01)=0.abx01 或(abab2)0.當 x01 時，由方程得 a=1,a1=0，方程不是二次方程.x0 不是公共根.當(abab2)0 時， 得(a1)(b1)=3解法同上【知識點】一元

17、二次方程【適用場合】當堂練習(xí)題【難度系數(shù)】4【試題來源】【題目】大數(shù)學(xué)家在代數(shù)論里有一個關(guān)于農(nóng)婦賣雞蛋的題目：兩個農(nóng)婦一共帶了100個雞蛋上市，兩人所帶蛋數(shù)不同，但賣得的一樣，于是，第一個農(nóng)婦對第二個農(nóng)婦說：“如果你的雞蛋換給我，我可以賣得 15 個銅板.”第二農(nóng)婦答道：“但是你的雞蛋換給我，我只能7賣20個銅板，”試問兩個農(nóng)婦各有多少雞蛋？3【】第一個農(nóng)婦有 40 個雞蛋.第二個農(nóng)婦有 60 個雞蛋【】解：設(shè)第一個農(nóng)婦有 x 個雞蛋，則第二個農(nóng)婦有 100-x 個雞蛋，根據(jù)題意可列方程15𝑥20(100 𝑥)=,100 𝑥即x2 + 160x

18、8000 = 0，3𝑥所以x = 40或𝑥 = 200（舍去）.答：第一個農(nóng)婦有 40 個雞蛋.第二個農(nóng)婦有 60 個雞蛋.【知識點】一元二次方程【適用場合】當堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】（2004 年太原市競賽題）【題目】甲、乙兩人同時從圓形跑道的同一點出發(fā)，沿順時針方向跑步，甲的速度比，過了一段時間，甲第一次從背后追上乙，這時甲立即改變方向，沿逆時針方向以原來的速度向前跑去，當兩人再次相遇時，乙恰好跑了 4 圈，問：甲的速度是乙的幾倍？】甲的速度是乙的速度的1+17倍【4【】 解：的速度為𝑣1，乙的速度為𝑣2，跑道一圈的長

19、度為 s，依題意得ss(v+)v2 = 4s.v v+v1212因為 s0，所以 𝑣2 + 𝑣2 = 4，所以2 𝑣1 2 𝑣2 =1𝑣1𝑣2𝑣1+𝑣2𝑣2𝑣1𝑣1𝑣1即22. ( ) 2 = 0.𝑣2𝑣2所以𝑣1 = 1+ 17或𝑣1 = 117 (舍去)。𝑣24𝑣24甲的速度是乙的速度的1+17倍48【知識

20、點】一元二次方程【適用場合】當堂練習(xí)題【難度系數(shù)】4【試題來源】【題目】若 a,b,c 都是奇數(shù)，則二次方程 ax2+bx+c=0(a0)沒有有理數(shù)根【】如下m【】 證明：設(shè)方程有一個有理數(shù)根（m,n 是互質(zhì)的整數(shù)）.nmm那么 a()2+b()+c=0,即 an2+bmn+cm2=0.nn把 m,n 按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論，m,n 互質(zhì)，不可能同為偶數(shù).當 m,n 同為奇數(shù)時，則 an2+bmn+cm2 是奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)0；當 m 為奇數(shù),n 為偶數(shù)時，an2+bmn+cm2 是偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)0；當 m 為偶數(shù),n 為奇數(shù)時，an2+bmn+cm2 是奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)0.綜上所述mm不論

21、m,n 取什么整數(shù)，方程 a()2+b()+c=0 都不成立.n即假設(shè)方程有一個有理數(shù)根是不成立的.n當 a,b,c 都是奇數(shù)時，方程 ax2+bx+c=0(a0)沒有有理數(shù)根.【知識點】一元二次方程【適用場合】當堂例題【難度系數(shù)】5【試題來源】【題目】求證：對于任意一個矩形 A，總存在一個矩形 B，使得矩形 B 與矩形 A 的和面9積比都等于 k(k1)【】如下【】證明：設(shè)矩形A 的長為a, 寬為 b，矩形 B 的長為 c, 寬為 d.c + dcd= k .根據(jù)題意，得a + babc+d=(a+b)k,cd=abk.定理的逆定理，得 c,d 是方程 z2(a+b)kz+abk=0 的兩個

22、根.由=（a+b）k24abk=（a2+2ab+b2）k24abk=k(a2+2ab+b2)k4abk1，a2+b22ab,a2+2ab+b24ab，(a2+2ab+b2)k4ab.0.一定有 c, d 值滿足題設(shè)的條件.即總存在一個矩形 B，使得矩形 B 與矩形 A 的和面積比都等于 k(k1).【知識點】一元二次方程【適用場合】當堂練習(xí)題【難度系數(shù)】4【試題來源】1995 年山東省初中數(shù)學(xué)競賽試題【題目】k 為什么整數(shù)時，方程(6k)(9k)x2(11715k)x540 的是整數(shù)？【】當 k 值為 3，6，7，9，15 時方程的是整數(shù)【】 解： 若 k=6, 則 x=-2; 若 k=9,

23、則 x=3；若 k6 且 k9，原方程可化為 (k-6)x-9(k-9)x-6 = 0 ,96故方程的二根為 x1，x2.k - 6k - 9為使 x1 和 x2 都是整數(shù)，則應(yīng)有 k-6= ±1,±3,±9，k=-3,3,5,7,9,15；還應(yīng) k-9=±1,±2,±3,±6,k=3,6，7,8,10,11,12，15.所以 k=3,7,15 時，x1 和 x2 都是整數(shù)，綜上所述，當 k 值為 3，6，7，9，15 時方程的是整數(shù)【知識點】一元二次方程10【適用場合】當堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】k 取什么整

24、數(shù)值時，下列方程有兩個整數(shù)解？ k21）x26(3k1)x+72=0 ；kx2+(k22)x(k+2)=0.【】（1）當 k=0,2,2,3,5 時，方程有兩個整數(shù)解；（2）當 k 取 2 和2 時，方程有兩個整數(shù)解126【】 解：用因式分解法求得兩個根是：x1=，x2=.k + 1k1由 x1 是整數(shù)，得 k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由 x2 是整數(shù)，得 k1=±1, ±2, ±3, ±6.它們的公共：得 k=0,2,2,3,5.答：當 k=0,2,2,3,5 時，

25、方程有兩個整數(shù)解.根據(jù)定理ìk 2 - 22ïx1 + x2 = -= -k +kkík + 22kïx x = -= -k -ïî1 2kx1，x2，k 都是整數(shù)，k=±1，±2（這只是整數(shù)解的必要條件，而不是充分條件，故要進行檢驗.）把 k=1,1,2,2，分別代入原方程檢驗，只有當 k=2 和 k=2 時適合.答：當 k 取 2 和2 時，方程有兩個整數(shù)解.【知識點】一元二次方程【適用場合】當堂例題【難度系數(shù)】511習(xí)題演練【試題來源】(2000 年初中數(shù)賽試題)【題目】設(shè)關(guān)于 x 的二次方程(k26k8)x

26、2(2k26k4)xk24 的兩根都是整數(shù).求滿足條件的所有實數(shù) k 的值103【】k=6，3，解：將原方程變形得 (k2)(k4)x2(2k26k4)x(k2)(k2)0.分解因式得(k2)xk2(k4)xk20. 顯然，k2，k4.【】k - 2k + 224= - 1 -= - 1 -x1；x2.k - 4k - 4k - 2k - 224于是有 k - 4 = -， k - 2 = -（x1-1,x2-1）x1 + 1x2 + 1兩式相減消去 k 整理得 x1x23x120即 x1(x23)2.= -2,+ 3 = 1;= 2,= 1,= -1,ìx1ìx1

27、6;x1ìx1íxííí于是有或或或x + 3 = -1;x + 3 = -2.x + 3 = 2.î 2î 2î 2î 2= -2,= -2;= 2,= 1,= -1,ìx1ìx1ìx1ìx1íxííí或或或(舍去)x = -4;x = -5;x = -1.î 2î 2î 2î 22因為 k - 4 = -,x1 + 1當x1=-2時，k=6;10當x1 = 2時，k=;3時，k=3.

28、當x1= 110經(jīng)檢驗，k=6，3，都滿足題意3【知識點】一元二次方程【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】412【試題來源】(1996 年上海市初中數(shù)學(xué)競賽試題)【題目】若關(guān)于 x 的方程 ax2+2(a-3)x+(a-2)=0 至少有一個整數(shù)根，且 a 為整數(shù)，求 a【】2,-4,-10【】解： 當 a = 0 時，方程為-6x-2=0，無整數(shù)解。當 a0 時，方程為一元二次方程，要使方程至少有一個整數(shù)根，必須判別式為完全平方數(shù)。=4(a-3)2-4a(a-2)=4(9-4a), 9-4a 為完全平方數(shù)。9 - t 2設(shè) 9-4a = t2（t 為正奇數(shù)，且 t3）, 則 a=. 此時，方程的二根為4- 2a + 6 ± 2t3 ± t3 ± t4(3 ± t)x1,2= -1+= -1 +=-1+9 - t 29 - t 22aa444x1= -1+, x2= -1+3 + t3 - t要使 x1 為整數(shù)，而 t 為正奇數(shù)，只能 t=1，此時 a=2;要使 x2 為整數(shù)，t 只能為 1,5,7，此時 a= 2,-4,-10.綜上所述，a 的值為 2,-4,-10.【知識點】一元二次方程【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)