1999年全國初中數學競賽

1、1999年全國初中數學聯合競賽試卷第一試 （4月4日上午8:30-9:30）考生注意：本試兩大題共10道小題，每題7分。全卷滿分70分。一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）本題共有6個小題，每小題都給出了（A）、（B）、（C）、（D）四個結論，其中只有一個是正確的，請把你認為正確結論的代表字母寫在題后的圓括號內。每小題選對得7分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在圓括號內），一律得0分。1、計算的值是（ ）。（A）1；（B）1；（C）2；（D）2。2、ABC的周長是24，M是AB的中點，MCMA5，則ABC的面積是（ ）。（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。3、設

2、，將一次函數與的圖象畫在同一平面直角坐標系內，則有一組的取值，使得下列4個圖中的一個為正確的是（ ）。4、若函數，則當自變量取1、2、3、100這100個自然數時，函數值的和是（ ）。（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。5、如圖，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB998，DC1001，AD1999，點P在線段AD上，則滿足條件BPC90°的點P的個數為（ ）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整數。6、有下列三個命題：（甲）若是不相等的無理數，則是無理數；（乙）若是不相等的無理數，則是無理數；（丙）若是不相等的無理數，則是無理數。其中正確命題的個數是（

3、 ）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）本題共有4道小題，要求直接把答案寫在橫線上。1、已知且，則_。2、如圖，在ABC中，B36°，ACB128°，CAB的平分線交BC于M，ABC的外接圓的切線AN交BC的延長線于N，則ANM的最小角等于_。3、已知為整數，且滿足，則_。4、在正方形ABCD中，N是DC的中點，M是AD上異于D的點，且NMBMBC，則tgABM_。= = =第二試 （4月4日上午10:00-11:30）考生注意：本試三大題，第一題20分，第二、三題各25分，全卷滿分70分。一、（本題滿分20分） &#

4、160;  某班參加一次智力競賽，共三題，每題或者得滿分或者得0分。其中題滿分20分，題、題滿分分別為25分。競賽結果，每個學生至少答對了一題，三題全答對的有1人，答對其中兩道題的有15人，答對題的人數與答對題的人數之和為29，答對題的人數與答對題的人數之和為25，答對題的人數與答對題的人數之和為20，問這個班的平均成績是多少分？二、（本題滿分25分）    如圖，設ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD4DC。已知圓過點C且與AC相交于F，與AN相切于AB的中點G。求證：ADBF。三、（本題滿分25分）    已知為整

5、數，方程的兩根都大于1且小于0，求和的值。= = =第一試參考答案一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）本題共有6個小題，每小題都給出了（A）、（B）、（C）、（D）四個結論，其中只有一個是正確的，請把你認為正確結論的代表字母寫在題后的圓括號內。每小題選對得7分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在圓括號內），一律得0分。1、計算的值是（ D ）。（A）1；（B）1；（C）2；（D）2。解：原式。2、ABC的周長是24，M是AB的中點，MCMA5，則ABC的面積是（ C ）。（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。解：MAMBMC5，ACB90°，已知周長是24

6、，則ACBC14，AC2BC2102。2AC×BC（ACBC）2（AC2BC2）1421024×24。3、設，將一次函數與的圖象畫在同一平面直角坐標系內，則有一組的取值，使得下列4個圖中的一個為正確的是（ B ）。解：由方程組的解知兩直線的交點為，而圖A中交點橫坐標是負數，故圖A不對；圖C中交點橫坐標是21，故圖C不對；圖D中交點縱坐標是大于，小于的數，不等于，故圖D不對；故選B。4、若函數，則當自變量取1、2、3、100這100個自然數時，函數值的和是（ B ）。（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。解：當時，。當自變量取2、3、98時，函數值都為0。而當

7、取1、99、100時，故所求的和為：。5、如圖，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB998，DC1001，AD1999，點P在線段AD上，則滿足條件BPC90°的點P的個數為（ C ）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整數。解：AD的中點M對BC張成90°角，又在AD上取點N使AN998，則ND1001。由ABN和DCN都為等腰三角形推知BNC90°，注意到以BC為直徑的圓與AD至多有兩個交點，可知所求點的個數為2。6、有下列三個命題：（甲）若是不相等的無理數，則是無理數；（乙）若是不相等的無理數，則是無理數；（丙）若是不相等的無理數，則是無理數。其

8、中正確命題的個數是（ A ）。（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。解：，只要令，則為有理數，故（甲）不對；又若令，則為有理數，故（乙）不對；又若令，則為有理數，故（丙）不對；故正確命題個數是0，應選（A）。二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）本題共有4道小題，要求直接把答案寫在橫線上。1、已知且，則 2 。解：，即，。2、如圖，在ABC中，B36°，ACB128°，CAB的平分線交BC于M，ABC的外接圓的切線AN交BC的延長線于N，則ANM的最小角等于 44° 。解：B36°，ACB128°，AM為CAB的平分線，CAMMAB，AMC

9、44°。又AN為切線，NACB36°，NAM44°，N180°44°44°92°，ANM的最小角為44°。3、已知為整數，且滿足，則 3 。解：左邊，即，而為整數，且不相等，只可能取值或。不妨設，則，或，（2）無整數解，由（1）得，。4、在正方形ABCD中，N是DC的中點，M是AD上異于D的點，且NMBMBC，則tgABM。解：延長MN交BC的延長線于T，設MB的中點為O，連TO，則BAMTOB，即。令DN1，CTMD，則AM，BM，BT，代入（1）式得，注意到，解得。= = =第二試參考答案一、（本題滿分20分）

10、    某班參加一次智力競賽，共三題，每題或者得滿分或者得0分。其中題滿分20分，題、題滿分分別為25分。競賽結果，每個學生至少答對了一題，三題全答對的有1人，答對其中兩道題的有15人，答對題的人數與答對題的人數之和為29，答對題的人數與答對題的人數之和為25，答對題的人數與答對題的人數之和為20，問這個班的平均成績是多少分？    解：設分別表示答對題、題、題的人數，則有，答對一題的人數為371×32×154，全班人數為141520，平均成績?yōu)?。答：班平均成績?yōu)?2分。二、（本題滿分25分）    如圖，設ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD4DC。已知圓過點C且與AC相交于F，與AN相切于AB的中點G。求證：ADBF。    證：作DEAC于E，則ACAE，AGED。由切割線定理有：AG2AF·AC，ED2AF·AE，5ED2AF·AE，AB·EDAF·AE，BAFAED，ABFEAD，而EADDAB90°，ABFDAB90°，