自主招生考試數(shù)學試卷及參考答案

1、自主招生考試數(shù)學試題卷親愛的同學：歡迎你參加考試！考試中請注意以下幾點：1 .全卷共三大題，滿分 120分，考試時間為100分鐘。2 .全卷由試題卷和答題卷兩部分組成。試題的答案必須做在答題卷的相應位置上。做在試題卷上無效。3 .請用鋼筆或圓珠筆在答題卷密封區(qū)上填寫學校、姓名、試場號和準考證號，請勿遺漏。4 .答題過程不準使用計算器。祝你成功！ 一、選擇題(本題共 6小題，每小題 5分，共30分.在每小題的四個選項中，只有一個符合題目要求)1.如果一直角三角形的三邊為a、b、c,/B=90°，那么關于x的方程a(x2-1) 2cx+b(x2+1)=0的根的情況為A有兩個相等的實數(shù)根B

2、有兩個不相等的實數(shù)根C沒有實數(shù)根D無法確定根的情況2 .如圖，P1、P2、P3是雙曲線上的三點，過這三點分別作P1A10、P2A20、P3A3O,設它們的面積分別是S1、S2、AS1S2S3S3S1S3S2DS1S2S3y軸的垂線，得三個三角形3.如圖，以BC為直徑，在半徑為2圓心角為900的扇形內(nèi)作半圓，交弦 AB于點D,連接CD,則陰影部分的面積是1A 兀1 B 兀2 C 2x y a 32x y 5a4 .由y 得a>3,則m的取值范圍是x ya mAm>3B m 3C m 35 .如圖，矩形 ABCG (AB<BC)與矩形 CDEF全等，點 B、在同一條直線上，APE

3、的頂點P在線段BD上移動，使為直角的點P的個數(shù)是A 0 B 1 C 2 D 36 .已知拋物線 y=ax2+2ax+4(0<a<3),A (x1，y1)B(x2, y2)是拋物線上兩點，若X1<X2,且 x1+x2=1 a,則A y1< y2 B y1= y2 C y1> y2 D y1與y2的大小不能確定7.8.9.將一個棱長為8、各個面上均涂有顏色的正方體，鋸成64個同樣大小的小正方體，其中所有恰有2面涂有顏色的小正方體表面積之和為二、填空題(本題共 6小題，每小題5分，共30分.把答案填寫在題中橫線上)10.用黑白兩種顏色正方形的紙片按黑色紙片數(shù)逐漸加l的規(guī)

4、律拼成一列圖案:(1)第4個圖案中有白色紙片 張(2)第n個圖案中有白色紙片 張11.如圖所示，線段ABW CDtB是。中的弦，其中Ab 108O, AB a,CD 36O,CD b,已知，如圖四邊形 ABCD中，AB=DC, AC=BD, ADwBC,求證：四邊形 ABCD是等腰梯形.證明：過D作交EC于禺 則乙1誠=/1'/ AB=DCf AC=DS, BC=CBy,1, Zu5J/. AABC= ZDCS/. £l = £D6，AB=DO=DE，四邊形工W口是平行四邊形:' AD/BC®BB=AD又:QWBG 二 BEBC I，點E、。是不同

5、的點，ac盧月b 又.1，四邊形 如CD是等膜梯形®讀后完成下列各小題.(1)證明過程是否有錯誤？如有，錯在第幾步上，答： A(2)作DE / AB的目的是：.(3)判斷四邊形 ABED為平行四邊形的依據(jù)是：(4)判斷四邊形ABCD是等腰梯形的依據(jù)是.（5）若題設中沒有 ADWBC,那么四邊形 ABCD一定是等腰梯形嗎？為什么?答 .自主招生考試數(shù)學標準答案、選擇題（本題共 6小題，每小題 5分，共30分.在每小題的四個選項中，只有一個 符合題目要求）題號123456答案ADACCA二、填空題（本題共 6小題，每小題5分，共30分.把答案填寫在題中橫線上）7. 二J 8 . 2569

6、.57610. （1）13（2）3n+1（3）1525011. a b或VOb12. （1）沒有錯誤 （2）為了證明AD/BC（3） 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（4）梯形及等腰梯形的定義（5）不一定，因為當 AD=BC時，四邊形 ABCD是矩形三、解答題（本題共 5小題，共60分.解答應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說 明） 13.（本小題10分）某公園門票每張 10元，只供一次使用，考慮到人們的不同需求，也為了吸引更多游客，該公園除保留原有的售票方法外，還推出一種“購個人年票”的售票方法（個人年票從購買之日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B C三類：A類年票每張120元，

7、持票者進人公園時無需再購買門票；B類年票每張60元，持票者進入公園時，需再購買門票，每次 2元；C類年票每張40元，持票者進入該公園時， 需再購買門票，每次 3元。（5分）如果你只選擇一種購買門票的方式，并且你計劃在一年中用 80元花在該公園的門票上，試通過計算，找出可使進人該公園的次數(shù)最多的購票方式；（5分） 求一年中進人該公園至少超過多少次時，購買A類票比較合算。解；A擺次）.氏幽押.=18次）.匕 %8HL34次）.即類年票可使進入園林的次數(shù)最塞.£23設超過工次時購買A類年察比較合算由題意.得1+解不等式組得40+才* 京 12口，所以至少超過30次時購買A類年票比較合篇，1

8、4.（本小題12分）如圖1所示，在正方形 ABCN, AB=1, AC是以點B為圓心。AB長為半徑的圓的一段弧，點 E是邊AD上的任意一點（點 E與點A D不重合），過E作AC 所在圓的切線，交邊 DC于點F, G為切點。（4分） 當Z DEF= 45°時，求證點 G為線段EF的中點； （4分）設AE=x, FC=y ,求y關于x的函數(shù)解 , 析式；并寫出函數(shù)的定義域；（4分）圖2所示，將 DEF沿直線EF翻折后得j D1EF,當 EF=5 時，討論 ADD 與 EDF 是否1相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只 要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由。證明的為-DEF=-15°

9、;得/力FE匚時-N I）EF = 15*，所以ZDFE 上上DEF.所VI DE = JJE 乂因為AD工，所以AE - FC.因為AB是 園6的半存冷"/以所以AD切圜B于點真“司理，（刀切網(wǎng)四于點 匚,乂因為EF劃回H于點（；，所以43 EG, FC工FG.所以EG - .即 點G為線段EF的中點,d）解*因為EU-八£=1.H；=CF=;v.所以ED-1-4- 1 - y在 KiZJjEF中*由EDT F”-EFJ得口一尸+門丫+ 所 以 ¥ =二匚 1 T,r.r1 r（3）解：當EF -2時.由譴）得EFEC&F（；八E+FCr十丁工：W.得

10、“ 1或 1；,即八EJ或當AAZJi DczAEDJr*證明設苴線EF交線段D,于點H.如圖-3 所示.由題點,用尸石/ E5HEF-L皿且DH=D,工因為*K ；八D=1.得八E* ER 所以 EH/ ADr ffitlZAD-ZFEP- 產(chǎn)£修, /A DJ? -Z弦H D七90丈閃為一ElhF:?/ EDF =加、所以 工行口。.所n&當A E V時 /。D與/訂3 F不相似,15.(本小題12分)二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象的一部分如圖所示。已知它的頂點M在第二象限，且經(jīng)過點 A (1, 0)和點B (0, 1)。(1) (4分)請判斷實數(shù)a的取值范圍，并說明

11、理由；(2) (4分)設此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為 C,.5 當A AMC0積等為八ABC面積的4倍時，求a的值。(3) (4分)是否存在實數(shù) a,使得 ABC為直角三角形.若 存在，t#求出a的值；若不存在，請說明理由。.解由圖象可知也因為拋物線過點所以因為拋物 線過點(1/人所以0，4丁1 = 0,即6 =一口-1由圖象知，當1二一1所以也一人+ 1仇所以5+ u L I * 所以血一1.實敏山的取值射圉為一(抬由“)易知,此函數(shù)的表達式為-(a+l)r+1 ,項點M的縱.“Au la-(rH-l)- U-1)- ru 小匚 _ c坐標為'l二日一，因為 皿 13_,聞工

12、，所以- ("I止=I.都理.得/十3& + 1 - Q.由此可求得m二Aa 422_ 2(3)由一1vav0,設/ ABC為直角，由 AC AB BC ,得1 2(1 -)2a解得 a1(1 )a1 ,不合題意.所以不存在。16.(本小題12分)如圖所示,a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在 a上點A處有一個水聲監(jiān)測點，另兩個監(jiān)測點B , C分別在A的正東方20 km處和54 km處。某時刻，監(jiān)測點B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波，8s后監(jiān)測下，聲波在水中的傳播速度是1.5 km/so點A , 20 s后監(jiān)測點C相繼收到這一信號。 在當時氣象條件(1) (6分)設A到P的距

13、離為x km ,用x表示B,C到P的距離，并求x值;(2) (6分)求靜止目標 P到海防警戒線a的距離(結(jié)果精確到 0.01 km)。 解：依題意，PAPB=1.5 X 8=12 (km), PCPB=1.5 x 20=30 ( km ).因此 PB= (x 12) km, PC= (18+x) km.在 PAB 中，AB= 20 km ,COS PAB_ 2_ 22PA AB PB2PA AB2_2_2_x 20 (x 12) 3x 322x 205x同理，在 PAC中，cos PAC72 x3x由于 cos PAB cos PAC即"35x72 x3x解得x132(km).(2)

14、作PD a,垂足為 D.在RtAPDA中,PD =PAcos / APD=PAcos / PAB =3x 325x132 ”3217.71 (km).答：靜止目標 P到海防警戒線a的距離約為17.71 km.17.（本小題14分）已知AB是半圓O的直徑，點C在BA的延長線上運動（點 C與點A 不重合），以OC為直徑的半圓 M與半圓O交于點D , / DCB的平分線與半圓 M交于點E。（1） （4分）求證：CD是半圓O的切線（圖1）;（2） （5分）作EFXAB于點F （圖2）,猜想EF與已有的哪條線段的一半相等，并加 以證明；（3） （5分）在上述條件下，過點 E作CB的平行線交CD于點N,當

15、NA與半圓O 相切時（圖3）,求/ EOC的正切值。圖1圖2圖3猜想證法一：如圖，連結(jié) OD、OE,延長OE交CD于點K,作EG LCD于點G,則EG/OD。證法二：如圖，以OC為直徑作。M ,延長EF交。M于點P,連結(jié)OD。.EFXCOEO PO. CE 平分/ DCB/ DCE= / ECODE OEOD EP. CE 平分/ DCB . MEFA MOH. CE 平分/ DCB ./ OCE= Z KCEEF± AB.EG=EF,. OC是半圓M的直徑,E為半圓M上的一點/ CEO= / CEK=90EF EG1 -OD 21 -OA 2EF PF1 -EP, 2.OD=EP證法三：如圖，連結(jié) OD、ME, OD、ME相交于點H,. OC為半圓M的直徑/ CDO=90.CD是半圓O的切線。 CE為公共邊OE=KE EG/OD.,.COEACKE.DG=GK1 EF OD 21 OA2. / EMF= Z OMH , ME=MO(1)證明：如圖1,連結(jié)OD,則OD為半圓O的半徑1 EF OA。2DE OE.EFXCO/ MFE= / MHO=90 MEXOD, OH1 OD21”，EF=OH. EF OD2(3)解：如圖3,延長OE交CD于點K設