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1、自主招生考試數(shù)學(xué)試題卷親愛的同學(xué):歡迎你參加考試!考試中請(qǐng)注意以下幾點(diǎn):1 .全卷共三大題,滿分 120分,考試時(shí)間為100分鐘。2 .全卷由試題卷和答題卷兩部分組成。試題的答案必須做在答題卷的相應(yīng)位置上。做在試題卷上無(wú)效。3 .請(qǐng)用鋼筆或圓珠筆在答題卷密封區(qū)上填寫學(xué)校、姓名、試場(chǎng)號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào),請(qǐng)勿遺漏。4 .答題過(guò)程不準(zhǔn)使用計(jì)算器。祝你成功! 一、選擇題(本題共 6小題,每小題 5分,共30分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求)1.如果一直角三角形的三邊為a、b、c,/B=90°,那么關(guān)于x的方程a(x2-1) 2cx+b(x2+1)=0的根的情況為A有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B
2、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C沒有實(shí)數(shù)根D無(wú)法確定根的情況2 .如圖,P1、P2、P3是雙曲線上的三點(diǎn),過(guò)這三點(diǎn)分別作P1A10、P2A20、P3A3O,設(shè)它們的面積分別是S1、S2、AS1S2S3S3S1S3S2DS1S2S3y軸的垂線,得三個(gè)三角形3.如圖,以BC為直徑,在半徑為2圓心角為900的扇形內(nèi)作半圓,交弦 AB于點(diǎn)D,連接CD,則陰影部分的面積是1A 兀1 B 兀2 C 2x y a 32x y 5a4 .由y 得a>3,則m的取值范圍是x ya mAm>3B m 3C m 35 .如圖,矩形 ABCG (AB<BC)與矩形 CDEF全等,點(diǎn) B、在同一條直線上,APE
3、的頂點(diǎn)P在線段BD上移動(dòng),使為直角的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是A 0 B 1 C 2 D 36 .已知拋物線 y=ax2+2ax+4(0<a<3),A (x1,y1)B(x2, y2)是拋物線上兩點(diǎn),若X1<X2,且 x1+x2=1 a,則A y1< y2 B y1= y2 C y1> y2 D y1與y2的大小不能確定7.8.9.將一個(gè)棱長(zhǎng)為8、各個(gè)面上均涂有顏色的正方體,鋸成64個(gè)同樣大小的小正方體,其中所有恰有2面涂有顏色的小正方體表面積之和為二、填空題(本題共 6小題,每小題5分,共30分.把答案填寫在題中橫線上)10.用黑白兩種顏色正方形的紙片按黑色紙片數(shù)逐漸加l的規(guī)
4、律拼成一列圖案:(1)第4個(gè)圖案中有白色紙片 張(2)第n個(gè)圖案中有白色紙片 張11.如圖所示,線段ABW CDtB是。中的弦,其中Ab 108O, AB a,CD 36O,CD b,已知,如圖四邊形 ABCD中,AB=DC, AC=BD, ADwBC,求證:四邊形 ABCD是等腰梯形.證明:過(guò)D作交EC于禺 則乙1誠(chéng)=/1'/ AB=DCf AC=DS, BC=CBy,1, Zu5J/. AABC= ZDCS/. £l = £D6,AB=DO=DE,四邊形工W口是平行四邊形:' AD/BC®BB=AD又:QWBG 二 BEBC I,點(diǎn)E、。是不同
5、的點(diǎn),ac盧月b 又.1,四邊形 如CD是等膜梯形®讀后完成下列各小題.(1)證明過(guò)程是否有錯(cuò)誤?如有,錯(cuò)在第幾步上,答: A(2)作DE / AB的目的是:.(3)判斷四邊形 ABED為平行四邊形的依據(jù)是:(4)判斷四邊形ABCD是等腰梯形的依據(jù)是.(5)若題設(shè)中沒有 ADWBC,那么四邊形 ABCD一定是等腰梯形嗎?為什么?答 .自主招生考試數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)答案、選擇題(本題共 6小題,每小題 5分,共30分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè) 符合題目要求)題號(hào)123456答案ADACCA二、填空題(本題共 6小題,每小題5分,共30分.把答案填寫在題中橫線上)7. 二J 8 . 2569
6、.57610. (1)13(2)3n+1(3)1525011. a b或VOb12. (1)沒有錯(cuò)誤 (2)為了證明AD/BC(3) 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形(4)梯形及等腰梯形的定義(5)不一定,因?yàn)楫?dāng) AD=BC時(shí),四邊形 ABCD是矩形三、解答題(本題共 5小題,共60分.解答應(yīng)寫出必要的計(jì)算過(guò)程、推演步驟或文字說(shuō) 明) 13.(本小題10分)某公園門票每張 10元,只供一次使用,考慮到人們的不同需求,也為了吸引更多游客,該公園除保留原有的售票方法外,還推出一種“購(gòu)個(gè)人年票”的售票方法(個(gè)人年票從購(gòu)買之日起,可供持票者使用一年)。年票分A、B C三類:A類年票每張120元,
7、持票者進(jìn)人公園時(shí)無(wú)需再購(gòu)買門票;B類年票每張60元,持票者進(jìn)入公園時(shí),需再購(gòu)買門票,每次 2元;C類年票每張40元,持票者進(jìn)入該公園時(shí), 需再購(gòu)買門票,每次 3元。(5分)如果你只選擇一種購(gòu)買門票的方式,并且你計(jì)劃在一年中用 80元花在該公園的門票上,試通過(guò)計(jì)算,找出可使進(jìn)人該公園的次數(shù)最多的購(gòu)票方式;(5分) 求一年中進(jìn)人該公園至少超過(guò)多少次時(shí),購(gòu)買A類票比較合算。解;A擺次).氏幽押.=18次).匕 %8HL34次).即類年票可使進(jìn)入園林的次數(shù)最塞.£23設(shè)超過(guò)工次時(shí)購(gòu)買A類年察比較合算由題意.得1+解不等式組得40+才* 京 12口,所以至少超過(guò)30次時(shí)購(gòu)買A類年票比較合篇,1
8、4.(本小題12分)如圖1所示,在正方形 ABCN, AB=1, AC是以點(diǎn)B為圓心。AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧,點(diǎn) E是邊AD上的任意一點(diǎn)(點(diǎn) E與點(diǎn)A D不重合),過(guò)E作AC 所在圓的切線,交邊 DC于點(diǎn)F, G為切點(diǎn)。(4分) 當(dāng)Z DEF= 45°時(shí),求證點(diǎn) G為線段EF的中點(diǎn); (4分)設(shè)AE=x, FC=y ,求y關(guān)于x的函數(shù)解 , 析式;并寫出函數(shù)的定義域;(4分)圖2所示,將 DEF沿直線EF翻折后得j D1EF,當(dāng) EF=5 時(shí),討論 ADD 與 EDF 是否1相似,如果相似,請(qǐng)加以證明;如果不相似,只 要求寫出結(jié)論,不要求寫出理由。證明的為-DEF=-15°
9、;得/力FE匚時(shí)-N I)EF = 15*,所以ZDFE 上上DEF.所VI DE = JJE 乂因?yàn)锳D工,所以AE - FC.因?yàn)锳B是 園6的半存冷"/以所以AD切圜B于點(diǎn)真“司理,(刀切網(wǎng)四于點(diǎn) 匚,乂因?yàn)镋F劃回H于點(diǎn)(;,所以43 EG, FC工FG.所以EG - .即 點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn),d)解*因?yàn)镋U-八£=1.H;=CF=;v.所以ED-1-4- 1 - y在 KiZJjEF中*由EDT F”-EFJ得口一尸+門丫+ 所 以 ¥ =二匚 1 T,r.r1 r(3)解:當(dāng)EF -2時(shí).由譴)得EFEC&F(;八E+FCr十丁工:W.得
10、“ 1或 1;,即八EJ或當(dāng)AAZJi DczAEDJr*證明設(shè)苴線EF交線段D,于點(diǎn)H.如圖-3 所示.由題點(diǎn),用尸石/ E5HEF-L皿且DH=D,工因?yàn)?K ;八D=1.得八E* ER 所以 EH/ ADr ffitlZAD-ZFEP- 產(chǎn)£修, /A DJ? -Z弦H D七90丈閃為一ElhF:?/ EDF =加、所以 工行口。.所n&當(dāng)A E V時(shí) /。D與/訂3 F不相似,15.(本小題12分)二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象的一部分如圖所示。已知它的頂點(diǎn)M在第二象限,且經(jīng)過(guò)點(diǎn) A (1, 0)和點(diǎn)B (0, 1)。(1) (4分)請(qǐng)判斷實(shí)數(shù)a的取值范圍,并說(shuō)明
11、理由;(2) (4分)設(shè)此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 C,.5 當(dāng)A AMC0積等為八ABC面積的4倍時(shí),求a的值。(3) (4分)是否存在實(shí)數(shù) a,使得 ABC為直角三角形.若 存在,t#求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。.解由圖象可知也因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)所以因?yàn)閽佄?線過(guò)點(diǎn)(1/人所以0,4丁1 = 0,即6 =一口-1由圖象知,當(dāng)1二一1所以也一人+ 1仇所以5+ u L I * 所以血一1.實(shí)敏山的取值射圉為一(抬由“)易知,此函數(shù)的表達(dá)式為-(a+l)r+1 ,項(xiàng)點(diǎn)M的縱.“Au la-(rH-l)- U-1)- ru 小匚 _ c坐標(biāo)為'l二日一,因?yàn)?皿 13_,聞工
12、,所以- ("I止=I.都理.得/十3& + 1 - Q.由此可求得m二Aa 422_ 2(3)由一1vav0,設(shè)/ ABC為直角,由 AC AB BC ,得1 2(1 -)2a解得 a1(1 )a1 ,不合題意.所以不存在。16.(本小題12分)如圖所示,a是海面上一條南北方向的海防警戒線,在 a上點(diǎn)A處有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn),另兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)B , C分別在A的正東方20 km處和54 km處。某時(shí)刻,監(jiān)測(cè)點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波,8s后監(jiān)測(cè)下,聲波在水中的傳播速度是1.5 km/so點(diǎn)A , 20 s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)C相繼收到這一信號(hào)。 在當(dāng)時(shí)氣象條件(1) (6分)設(shè)A到P的距
13、離為x km ,用x表示B,C到P的距離,并求x值;(2) (6分)求靜止目標(biāo) P到海防警戒線a的距離(結(jié)果精確到 0.01 km)。 解:依題意,PAPB=1.5 X 8=12 (km), PCPB=1.5 x 20=30 ( km ).因此 PB= (x 12) km, PC= (18+x) km.在 PAB 中,AB= 20 km ,COS PAB_ 2_ 22PA AB PB2PA AB2_2_2_x 20 (x 12) 3x 322x 205x同理,在 PAC中,cos PAC72 x3x由于 cos PAB cos PAC即"35x72 x3x解得x132(km).(2)
14、作PD a,垂足為 D.在RtAPDA中,PD =PAcos / APD=PAcos / PAB =3x 325x132 ”3217.71 (km).答:靜止目標(biāo) P到海防警戒線a的距離約為17.71 km.17.(本小題14分)已知AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn) C與點(diǎn)A 不重合),以O(shè)C為直徑的半圓 M與半圓O交于點(diǎn)D , / DCB的平分線與半圓 M交于點(diǎn)E。(1) (4分)求證:CD是半圓O的切線(圖1);(2) (5分)作EFXAB于點(diǎn)F (圖2),猜想EF與已有的哪條線段的一半相等,并加 以證明;(3) (5分)在上述條件下,過(guò)點(diǎn) E作CB的平行線交CD于點(diǎn)N,當(dāng)
15、NA與半圓O 相切時(shí)(圖3),求/ EOC的正切值。圖1圖2圖3猜想證法一:如圖,連結(jié) OD、OE,延長(zhǎng)OE交CD于點(diǎn)K,作EG LCD于點(diǎn)G,則EG/OD。證法二:如圖,以O(shè)C為直徑作。M ,延長(zhǎng)EF交。M于點(diǎn)P,連結(jié)OD。.EFXCOEO PO. CE 平分/ DCB/ DCE= / ECODE OEOD EP. CE 平分/ DCB . MEFA MOH. CE 平分/ DCB ./ OCE= Z KCEEF± AB.EG=EF,. OC是半圓M的直徑,E為半圓M上的一點(diǎn)/ CEO= / CEK=90EF EG1 -OD 21 -OA 2EF PF1 -EP, 2.OD=EP證法三:如圖,連結(jié) OD、ME, OD、ME相交于點(diǎn)H,. OC為半圓M的直徑/ CDO=90.CD是半圓O的切線。 CE為公共邊OE=KE EG/OD.,.COEACKE.DG=GK1 EF OD 21 OA2. / EMF= Z OMH , ME=MO(1)證明:如圖1,連結(jié)OD,則OD為半圓O的半徑1 EF OA。2DE OE.EFXCO/ MFE= / MHO=90 MEXOD, OH1 OD21”,EF=OH. EF OD2(3)解:如圖3,延長(zhǎng)OE交CD于點(diǎn)K設(shè)
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