中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)項(xiàng)匯編專(zhuān)題相似三角形的存在性

1、專(zhuān)題26相似三角形的存在性破解策略探究?jī)蓚€(gè)三角形相似時(shí)，一般情況下首先尋找一組對(duì)應(yīng)角相等，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例分兩種情況列方程.掌握一些相似的基本模型有助于快速解決問(wèn)題，相似三角形的基本模型有：1 . " A'字形已知：在 ABW.點(diǎn)Q在AB上，點(diǎn)E在AC上.DRII BC.結(jié)論： AB6 AADE2.反“ A字形(1)已知：在 ABC中，點(diǎn) 結(jié)論： AB6 ABD.D在AB上一點(diǎn)E在AC上，/ AED= / ABD.(2)已知：在 ABC43,點(diǎn) 結(jié)論： AB6 AA (: D.8 / 83 . “8”字形已知：在 ABCK 點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn) E在BA的延長(zhǎng)線上，D

2、B BC.結(jié)論： ABB AE2>.4 .反“8”字形已知：在 ABCK 點(diǎn) D在CA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn) E在BA的延長(zhǎng)線上，/ ADE= /ABD.結(jié)論： AB6AADEE5 .雙垂直已知： ABC / BAG= 90°, AD為斜邊BC上的高.結(jié)論： AB(C DBJA AB(Co DA(C AABID CA).6 . 一線三等角B E ACD 900.(1)已知 Rt ABOT RtACED B, C, E 三點(diǎn)共線, 結(jié)論： ABR CED.E ACD 900.(2)已知 ABCACDE B, C E三點(diǎn)共線， B 結(jié)論： ABB CE2).B E ACD 900.(3)已

3、知 ABCACED B, C E三點(diǎn)共線, 結(jié)論： ABR CED.例題講解例 1 如圖，已知 A(1, 0), B (4, 0), C (2, 6)三點(diǎn),G是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重合）.若ABG與ABC!似，求點(diǎn) G的坐標(biāo).解：設(shè)直線AC的表達(dá)式為y把A, C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得0 s ts2,解得62stt2所以直線AC的表達(dá)式為y 2x 2.設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(k, 2k 2),因?yàn)辄c(diǎn)G與點(diǎn)C不重合，所以 ABGWABCf似只有 AGBoABCH種情況.所以AG AB.AB AC所以3 4,53.5而 AB= 5,ACJ(21)2( 6)23芯,AGJ(k1)2( 2k2)2V5|k1

4、,5. 一 28 .一,斛仔 ki , k2 (舍).333所以點(diǎn)G的坐標(biāo)（23,例2如圖，拋物線y （x 2）（x 4）與x軸交于點(diǎn) A, B （點(diǎn)A在B的左側(cè)），與y軸交于 8點(diǎn)C, CD/ x軸交拋物線于點(diǎn)D. P是拋物線上一點(diǎn)，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P,使以P, A, B為頂點(diǎn)的三角形與 ABM似（ PAB與4ABD不重合）？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.解：存在.因?yàn)辄c(diǎn)A （2, 0）, B （4, 0）, C （0,也），過(guò)點(diǎn)D （2, 我）作DEAB于點(diǎn)E,由勾股定理得AD 372, BD 76 -如圖，當(dāng) P1AB c/dAABD寸,P1B AB ,所以 PB 6庭. 過(guò)

5、點(diǎn)P作P1M i ± AB于點(diǎn)Mi , AB BDPM 1 DE 所以 一,解得 pM 16/2 .P1BBD BM1 = -BE- , BM1 12 , 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（一8, 6J2）,P1B BD因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)P1不在拋物線上，所以此種情況不存在.當(dāng) .p2AB st BDM P2B = AB ,所以 p2B = 6J2 .過(guò)點(diǎn)P2作P2M2，AB于點(diǎn)M2 ,AB ADP2M 2 DEBM2 AE所以=,解得 P2M 2 = 2J2 .因?yàn)?,所以 BM 2 8 ,P2B ADP2B AD所以點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（一4, 2J2）,將x=4代入拋物線的.表達(dá)式得y=2j2,所以點(diǎn)P2在

6、拋物線上.由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知：點(diǎn) P2與點(diǎn)P3關(guān)于直線x= 1對(duì)稱(chēng)，所以P3的坐標(biāo)為（6, 2J2）.當(dāng)點(diǎn)P4位于點(diǎn)C處時(shí)，兩個(gè)三角形全等，所以點(diǎn)P4的坐標(biāo)為（0, -J2）.綜上所得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4, 272）, （6, 2版）或（0,-魚(yú)）時(shí)，以P, A, B為頂點(diǎn) 的三角形與 AB/目似.例3如圖，已知直線y x 3與x軸、y軸分別交于A, B兩點(diǎn)，拋物線y x2 bx c經(jīng)過(guò)A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA上，從點(diǎn)O出發(fā)，向點(diǎn)A以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上，從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B以J2個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，連接 PQ設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.設(shè)拋物線頂點(diǎn)為 M連接BP

7、BM MQ問(wèn)：是，.否存在t的值，使以B, QM為頂點(diǎn)的三角形與以 O B, P為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.將 A (3, 0), B (0, 3)代入2x bx9 3b c 0c 3,解得所以拋物線的解析式為2x 3(x 1)2M的坐標(biāo)為（1,4）,MB所以 BM 2 3 4 AB2 AM 2 ,oMBA 90 .如圖，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則OP= t,BQ(3t)K當(dāng) BO團(tuán) QBMf,MB BQOP OB(3t)' 233t(3 t)2t進(jìn)階訓(xùn)練所以當(dāng)t9時(shí)，以B, Q M為頂點(diǎn)的三角形與以41.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y而32 4

8、 1 3 0,所以此種情況不存在;MB BQOB OP 'B 1,0兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.(1)求拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱(chēng)軸；(2)若P是線段OA上的一點(diǎn)(不與點(diǎn) Q A重合)，Q是AC上一點(diǎn)，且 PQ PA在x軸上 是否存在點(diǎn)D,使彳ACDWAPQt目似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn) D的坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理由.解：(,1)拋物線的表達(dá)式為(2)存在.點(diǎn)D的坐標(biāo)為D, A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，此時(shí)點(diǎn) D的坐標(biāo)為4,0 ;如圖1,當(dāng)AD為底邊時(shí),圖i圖278,02.如圖，設(shè)拋物線 y ax2bx 2與x軸交于不同的點(diǎn)A 1,0 , B m,0，與y軸交于點(diǎn)y-x29x 3,對(duì)稱(chēng)軸為x -4424,0 ,

9、 ,0 .8提示(2)由題意知 APQ等腰三角形，如果 ACDWAPQ!似，那么 ACD&是等腰 三角形.C,已知 ACB= 90 .(1)求m的值和拋物線的表達(dá)式；(2)已知點(diǎn)D 1,n在拋物線上，過(guò)點(diǎn) A的直線y x 1交拋物線與另一點(diǎn) E.若點(diǎn)P在x軸上，是否存在這樣的點(diǎn) P,使得以點(diǎn)P, B, D為頂點(diǎn)的三角形與 AEBf似?解：2. (1) m 4 ,拋物線的表達(dá)式為(2)存在點(diǎn)P的坐標(biāo)為-,0或 7【提示】(1)由已知條件可得 OA= 1, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式即可求得.1 2 y -x222,0-x 2 ； 25OC= 2,易證 AO(C ACOB從而m OB= 4,再

10、將 A(2)易求得點(diǎn)D 1, 3 , E 6,7 ,分別過(guò)點(diǎn)D, E作x軸的垂線，垂足分別為 H, G易證EAG= DBH所以 PBDAEBf似存在兩種情況:如圖1,當(dāng) ABa BPD寸，有2B -BP ,AE BD得點(diǎn)P的坐標(biāo)為13,07如圖2,當(dāng) ABa BDP寸，有 JABAEBD,得點(diǎn)P的坐標(biāo)為-22,0 .BP52 x3.如圖，拋物線y2x3與x軸交于A, B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,直線l經(jīng)過(guò)A C兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線位于y軸左側(cè)部分上運(yùn)動(dòng)，直線 m經(jīng)過(guò)B, Q兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)N,與直線l交于點(diǎn)G問(wèn)：是否存在直線 m使得直線l , m與x軸圍成的三 角形和直線l , m與y軸圍成的三角形相似 (不包括全等)？若存在，求出直線