第十一章11.111.1.1空間幾何體與斜二測(cè)畫(huà)法2019(秋)數(shù)學(xué)必修第四冊(cè)人教B版(新教材)改題型

1、章立體幾何初步數(shù)學(xué)文化了解數(shù)學(xué)文化的發(fā)展與應(yīng)用幾何原本幾何原本由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德編著，大約成書(shū)于公'元前300年，距今已有2000多年的歷史.幾何原本全面：-y 聞ffll而系統(tǒng)地將遠(yuǎn)古人類(lèi)創(chuàng)造的零散數(shù)學(xué)成果進(jìn)行整理，以五大"g'c-公設(shè)為基礎(chǔ)、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S進(jìn)行層層推理、嚴(yán)格證明，先后 論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數(shù)、立體幾何，應(yīng)用豐富的數(shù)學(xué)思想： 分析法、綜合法和歸謬法進(jìn)行層層推演，其驚艷的邏輯美倫美奐，令人陶醉.這是古代文明史上的一大壯舉，遠(yuǎn)古人類(lèi)第一次用“公理系統(tǒng)”構(gòu)建起了古代的數(shù) 學(xué)大廈，對(duì)近代和現(xiàn)代數(shù)學(xué)，產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響 .幾何原

2、本的內(nèi)容與我們?cè)谥袑W(xué)階段學(xué)習(xí)的大部分幾何知識(shí)基本等同，但是， 真正寶貴的是蘊(yùn)含于其中的“數(shù)學(xué)思想”.讀圖探新發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的知識(shí)法國(guó)國(guó)防部的“法國(guó)五角大樓”，從外部看猶如一座城堡.而它的內(nèi)部圍成中庭，呈六邊形，與法國(guó)本土輪廓相似，因 而也被稱(chēng)為“巴拉爾六角大樓”.大樓的外墻可以承受導(dǎo)彈基包4 JjR 攻擊，指揮中樞位于地下，安全措施嚴(yán)密.國(guó)防部大樓也并非完全一座冷冰冰的 軍事堡壘，內(nèi)部還建有庭院、美發(fā)室、圖書(shū)館、游泳池、體育設(shè)施和餐廳，甚至 還有幼兒園.這壯觀的大樓是由幾何體組成的.問(wèn)題1:建筑中有哪些幾何體？幾何體中的點(diǎn)、 線(xiàn)、面之間又具備怎樣的關(guān)系呢？ 問(wèn)題2:多面體和旋轉(zhuǎn)體的表面積及體積怎

3、樣計(jì)算？鏈接：建筑中的幾何體有多面體和旋轉(zhuǎn)體，主要包括柱體、錐體、臺(tái)體及球體， 其中的線(xiàn)與線(xiàn)之間可能是平行、相交和異面；直線(xiàn)與平面之間有平行、相交，特 別的有直線(xiàn)與平面垂直；平面與平面也有平行或相交.表面積是各面面積之和，各幾何體的體積也有各自的計(jì)算公式.11.1空間幾何體11.1.1空間幾何體與斜二測(cè)畫(huà)法課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1 .認(rèn)識(shí)空間幾何體.2 .會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓錐、圓柱、棱柱等）的直觀圖.從實(shí)際物體中抽象出空間幾何體，畫(huà)出空間幾何體的直觀圖，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)n mi知識(shí)探究教材知識(shí)探究5度弓四隨處可見(jiàn)的建筑、公路、橋梁、工業(yè)生產(chǎn)中處處都有空間幾

4、何體.問(wèn)題 你能從中抽象出幾何體嗎？用什么方法畫(huà)出來(lái)這些幾何體的直觀圖?提示 由斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出空間圖形的直觀圖.B新知梳理1.空間幾何體如果只考慮一個(gè)物體占有的空間形狀和大小.而不考慮其他因素，則這個(gè)空間部 分通?？沙橄鬄橐粋€(gè)幾何體.2斜二測(cè)畫(huà)法立體幾何中，用來(lái)表示空間圖形的平面圖形，稱(chēng)為空間圖形的直觀圖.（2）用斜二測(cè)畫(huà)法作水平放置的平面圖形的直觀圖，步驟如下：在平面圖形上取互相垂直的x軸和y軸，作出與之相對(duì)應(yīng)的x軸和y軸，使得 它們正方向的夾角為45°（或135°）.平面圖形中與x軸平行（或重合）的線(xiàn)段畫(huà)成與x軸平行（或重合）的線(xiàn)段，且長(zhǎng) 度不變;平面圖形中與y軸平行（

5、或重合）的線(xiàn)段畫(huà)成與y軸平行（或重合）的線(xiàn)段， 且長(zhǎng)度為原來(lái)長(zhǎng)度的一半.連接有關(guān)線(xiàn)段，擦去作圖過(guò)程中的輔助線(xiàn).（3）用斜二測(cè)畫(huà)法作立體圖形直觀圖的步驟如下：在立體圖形中取水平平面，在其中取互相垂直的x軸與y軸，作出水平平面上 圖形的直觀圖（保留x軸和y軸）.在立體圖形中，過(guò)x軸與y軸的交點(diǎn)取z軸，并使z軸垂直于x軸與y軸.過(guò)x 軸與y軸的交點(diǎn)作z軸對(duì)應(yīng)的z軸，且z軸垂直于x軸.圖形中與z軸平行（或重合） 的線(xiàn)段畫(huà)成與z軸平行（或重合）的線(xiàn)段，且長(zhǎng)度不變.連接有關(guān)線(xiàn)段.擦去有關(guān)輔助線(xiàn)，并把被面遮擋住的線(xiàn)段改成虛線(xiàn)（或擦除）.教材拓展補(bǔ)遺微判斷1 .平行四邊形的直觀圖可能是梯形.（X ）提示 平行

6、的線(xiàn)段在直觀圖中仍平行，故平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形.2 .畫(huà)與平面直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系xOy時(shí)，/ xOy必須為45°.（X）提示 /xOy是45°或135°.微訓(xùn)練1.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖，對(duì)其中的線(xiàn)段說(shuō)法不正確的是（）A.原來(lái)相交的仍相交B.原來(lái)垂直的仍垂直C.原來(lái)平行的仍平行D.原來(lái)共點(diǎn)的仍共點(diǎn)解析根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，原來(lái)垂直的未必垂直.答案 B2.如圖所示為一個(gè)平面圖形的直觀圖（AD7/ BC',）則它的實(shí)際形狀四邊形ABCD為（）A.平行四邊形B.梯形C.菱形D.矩形解析 因?yàn)?DAB'=45°,

7、由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知/DAB = 90°,又因四邊形AB CD'為平行四邊形，所以原四邊形 ABCD為矩形.答案 D微思考1 .在斜二測(cè)畫(huà)法中，原圖形中兩條相等的線(xiàn)段，直觀圖中對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段還相等嗎？提示 如果兩條相等線(xiàn)段平行，則直觀圖中仍平行且長(zhǎng)度相等，若不平行則對(duì)應(yīng) 的線(xiàn)段長(zhǎng)度不確定2 .矩形的直觀圖的面積與原圖形面積有怎樣的關(guān)系? 提示 矩形直觀圖的面積是原圖形面積的 *倍.課堂互動(dòng)題型一畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖【例11 畫(huà)出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖解 畫(huà)法：(1)如圖所示，AB AB所在直線(xiàn)為x軸，AB中點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系 xO&#

8、39;y',使/xO'v'=45 ： 一， 一一 ,1以O(shè)為中點(diǎn)在x陣由上取AB'= AB,在y軸上取O'E'= 2OE,以E為中點(diǎn)回CD'/ x軸，并使 CD'= CD.(3)連接BC； DA',所得的四邊形ABC D就是水平放置的等腰梯形 ABCD的直觀圖.規(guī)律方法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖的技巧:在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫(huà)點(diǎn).（2）在直觀圖中，確定坐標(biāo)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)以及與坐標(biāo)軸平行的線(xiàn)段端點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 都比較容易，但是如果原圖中的點(diǎn)不

9、在坐標(biāo)軸上或不在與坐標(biāo)軸平行的線(xiàn)段上， 就需要我們經(jīng)過(guò)這些點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的線(xiàn)段，將其轉(zhuǎn)化到與坐標(biāo)軸平行的線(xiàn)段 上來(lái)確定.同一個(gè)圖形選取坐標(biāo)系的角度不同，得到的直觀圖可能不同【訓(xùn)練1】 用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)邊長(zhǎng)為4 cm的水平放置的正三角形（如 圖）的直觀圖.解（1）如圖所示，以BC邊所在的直線(xiàn)為x軸，以BC邊上的高線(xiàn)AO所在的直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（2）畫(huà)對(duì)應(yīng)的x軸、y軸，使/xOy'= 45°.1在x軸上截取O B = OC 2 cm,在y軸上截取OA = /OA,連接AB , AC ,則三角形ABC即為正三角形ABC的直觀圖，如圖所示.題型二 空間幾何體的直觀圖【例2

10、】 用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出正六棱錐的直觀圖.解（1）畫(huà)六棱錐P ABCDEF的底面的直觀圖.在正六邊形ABCDEF中，取對(duì)角線(xiàn)AD所在直線(xiàn)為x軸，取與AD垂直的對(duì)稱(chēng) 軸MN為y軸，兩軸相交于點(diǎn)O,建立直角坐標(biāo)系（如圖（1）所示）.H IN CU)(2)畫(huà)相應(yīng)的x軸和y軸，兩軸交于點(diǎn)O',使/xO'y'= 45°.以。'為AD及M'N'的中點(diǎn)，在x軸上取AD'= AD, 1 .在y軸上取M N = MN,以點(diǎn)N'為中點(diǎn)畫(huà)BC平行于x軸，并且等于BC,再以點(diǎn)M'為中點(diǎn)畫(huà)EF'平行于x軸，并且等于EF.連接AB； C

11、D', DE； FA；則得到水平放置的正六邊形 ABCDEF的直觀圖 ABC'DEF'.在直觀圖中畫(huà)六棱錐的頂點(diǎn).連接OP,以O(shè)P所在直線(xiàn)為z軸過(guò)O作與z軸對(duì) 應(yīng)的z軸，在O'z上取點(diǎn)P',使OP'= OP.連接 PA', PB', PC', PD； PE', PF'如圖(2)所示).擦去x軸、y軸、z軸，被面遮才3住的線(xiàn)段 AF； EF', PF改成虛線(xiàn)，便得到正六棱錐P ABCDEF的直觀圖P -ABC'DEF'如圖(3)所示).規(guī)律方法 1.畫(huà)空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測(cè)畫(huà)

12、法畫(huà)出水平放置的平面圖形，再畫(huà)z軸，并確定豎直方向上的相關(guān)的點(diǎn)，最后連點(diǎn)成圖便可.2.直觀圖畫(huà)法口訣可以總結(jié)為：“一斜、二半、三不變.”【訓(xùn)練2】 畫(huà)出底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱均相等且高為3的四棱錐的直 觀圖.解畫(huà)法：畫(huà)軸.Ux 軸、y 軸、z軸，/xOy= 45 (或 135 ), / xOz= 90 °,如圖(1).(2)畫(huà)底面.以。為中心在xOy平面內(nèi)，畫(huà)出邊長(zhǎng)為2的正方形水平放置的直觀圖 ABCD.(3)畫(huà)頂點(diǎn)：在z軸上截取OP,使OP = 3.(4)成圖：順次連接PA, PB, PC, PD,并擦去輔助線(xiàn)，被面遮擋住的線(xiàn)段 AD,PD, CD改成虛線(xiàn)，得四棱錐的直觀圖如

13、圖(2).題型三直觀圖的還原與計(jì)算【例3】如圖，一個(gè)平面圖形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面圖形的面積為()A./a2B.2 2a2C.a2D.2a2解析 由直觀圖還原出原圖，如圖，所以 S= a2>J2a= 2V2a2.答案 B規(guī)律方法由直觀圖還原平面圖形關(guān)鍵有兩點(diǎn):(1)平行于x軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度擴(kuò)大為原來(lái)的2倍；(2)對(duì)于相鄰兩邊不與x', y軸平行的頂點(diǎn)可通過(guò)作 x軸、y軸的平行線(xiàn)，變換確定其在xOy中的位置.若平面圖形的面積為S原，用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖面積為 S直，則S直=W2S原.【訓(xùn)練3】 已知 ABC的平面直觀圖 ABC

14、是邊長(zhǎng)為a的正三角形，那么原 ABC的面積為（）A.-a2B.-43a2C.6a2D. j'6a2解析 直觀圖是邊長(zhǎng)為a的正三角形，所以S直=43a2,則S原= 2/2s直=2答案 C Ii!H '! 全面提升，一、素養(yǎng)落地1 .通過(guò)從實(shí)際物體中抽象出空間幾何體，畫(huà)出空間幾何體的直觀圖，培養(yǎng)學(xué)生的 直觀想象素養(yǎng).2 .用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的關(guān)鍵是確定直觀圖中的頂點(diǎn)或其他關(guān)鍵點(diǎn)，因此應(yīng)盡量把頂點(diǎn)或其他關(guān)鍵點(diǎn)放在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)上.3 .將水平放置的平面圖形的直觀圖還原成實(shí)際圖形的過(guò)程，是畫(huà)直觀圖的逆過(guò) 程，即平行于x軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

15、.4 .斜二測(cè)畫(huà)法是聯(lián)系直觀圖和原圖形的橋梁， 可根據(jù)它們之間的可逆關(guān)系尋找它們的聯(lián)系；在求直觀圖的面積時(shí)，可根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，畫(huà)出直觀圖，從而確定其S直局和底邊等，而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形.兩者之間的關(guān)系為S原=24 .5.斜二測(cè)畫(huà)法保留了原圖形的三個(gè)性質(zhì)：平行性不變，即原圖形中平行的線(xiàn)在 直觀圖中仍平行，共點(diǎn)性不變，即在原圖形中相交的直線(xiàn)仍相交，平行于x軸或z軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度不變.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1 .關(guān)于用斜二測(cè)畫(huà)法得直觀圖，下列說(shuō)法正確的是 （）A.等腰三角形的直觀圖仍為等腰三角形B.正方形的直觀圖為平行四邊形C.梯形的直觀圖可能不是梯形D.正三角形的直觀圖一定為等腰三角形解析 用

16、斜二測(cè)畫(huà)法時(shí)保持平行性不變，但線(xiàn)段的長(zhǎng)度、角度不確定 答案 BOABC'2 .一梯形的直觀圖是一個(gè)如圖所示的等腰梯形，且梯形的面積為啦，則原梯形的面積為()A.2B. . 2C.2.2D.4解析 原梯形上、下兩底長(zhǎng)度與直觀圖中上、下兩底的長(zhǎng)度分別對(duì)應(yīng)相等，但高不同.原梯形的高OC是直觀圖中OC長(zhǎng)度的2倍，OC'的長(zhǎng)度是直觀圖中梯形的高的/倍,由此知原梯形的高OC的長(zhǎng)度是直觀圖中梯形高的2亞倍，故原梯形面積是梯形 OABC面積的2血倍，又梯形OABC'的面積為表，所以原梯形的面積是4.答案 D3 .如圖，平行四邊形OPQR是四邊形OPQR的直觀圖，若OP'了=3,

17、 OR'= 1,則原四邊形OPQR的周長(zhǎng)為.解析 由四邊形OPQR的直觀圖可知原四邊形 OPQR是矩形，且OP=3, OR=2,所以原四邊形OPQR的周長(zhǎng)為2X(3+2)=10.答案 104 .如圖所示的直觀圖 AOB',其平面圖形的面積為 .解析 由直觀圖可知其對(duì)應(yīng)的平面圖形 AOB中, /AOB= 90°, OB=3, OA= 4,. C1 S>aaob = OA OB = 6.答案 6課后作業(yè)X后提高基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)、選擇題1用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的 ABC時(shí)，若/A的兩邊平行于x軸、y軸，且/A= 90°,則在直觀圖中/ A等于（）A.450B.135

18、0D.900C.45 或 135°解析 在畫(huà)直觀圖時(shí)，/A的兩邊依然分別平行于 x軸、y軸，而/xO'y'= 45°或 135 ；故/A'= 45 或 135 :答案 C2 .如圖為一平面圖形的直觀圖的大致圖形，則此平面圖形可能是解析 根據(jù)該平面圖形的直觀圖，該平面圖形為一個(gè)直角梯形, 行于y軸的邊在其原圖中與底邊垂直.答案 C且在直觀圖中平3 .如圖所示是水平放置的三角形的直觀圖，AB7/ y軸，則原圖中 ABa（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.任意三角形解析. AB'/ y',由斜二測(cè)畫(huà)法可知原圖形中 BA

19、7;AC,故4ABC是直角三角形.答案 B4 .如圖所示， ABC是水平放置的 ABC的直觀圖，則在原 ABC的三邊及中線(xiàn)AD中，最長(zhǎng)的線(xiàn)段是（A.ABB.ADC.BCD.AC解析 還原ABC,即可看出4ABC為直角三角形，故其斜邊 AC最長(zhǎng).答案 D5 .對(duì)于一個(gè)底邊在x軸上的三角形，采用斜二測(cè)畫(huà)法作出其直觀圖，其直觀圖面A.2倍積是原三角形面積的（）1、D.2倍解析 底邊在x軸上，則在直觀圖中底邊長(zhǎng)不變，設(shè)為 a,又高h(yuǎn)在直觀圖中變?yōu)槠絟， S 直觀圖=2ax *h=* a h =*S 原.答案 B二、填空題6水平放置的 ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知 A'C'= 3,

20、 BC'= 2,則AB邊上的中線(xiàn)的實(shí)際長(zhǎng)度為 .解析 由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形且 /ACB = 90°,且AC = A'C'= 3, BC = 2B'C'= 4,計(jì)算得AB=5,所求中線(xiàn)長(zhǎng)為 2.5.答案 2.57 .利用斜二測(cè)畫(huà)法得到：三角形的直觀圖是三角形；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；正方形的直觀圖是正方形；菱形的直觀圖是菱形.以上結(jié)論中，正確的是 （填序號(hào)）.解析 斜二測(cè)畫(huà)法得到的圖形與原圖形中的線(xiàn)線(xiàn)相交、相對(duì)線(xiàn)線(xiàn)平行關(guān)系不會(huì)改 變，因此三角形的直觀圖是三角形，平行四邊形的直觀圖是平行四邊形 答案8 .一個(gè)水平放置的平面圖形

21、的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形 ABCD, 如圖所示，/ ABC = 45°, AB = AD = 1, DCXBC,則原平面圖 形的面積為.解析過(guò)A作AEXBC,垂足為E,又DCBC 且 AD/ BC, .ADCE 是矩形， .EC=AD=1,由/ABC = 45°, AB = AD = 1 知 BE=g,2二原平面圖形是直角梯形且上、下兩底邊長(zhǎng)分別為1和1+,，圖為2,原平面圖形的面積為2x 1 + 1+，x2=2+32.%答案2 +方三、解答題9 .如圖， ABC是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，將其 恢復(fù)成原圖形.解（1）在已知圖形中畫(huà)坐標(biāo)系xOy；使/xOy'

22、= 45°,CA在x軸上，C與O重合，如圖（1）;（2）畫(huà)直角坐標(biāo)系xOy,在x軸上取OA= OA',即CA= C'A',如圖（2）所示;在圖中過(guò)B作BD7/ y軸，交x軸于D'在圖（2）中，在x軸上取OD=O'D',過(guò) D 作 DB / y 軸，并使 DB = 2D'B'連接AB, BC,則4ABC即為原圖形，如圖（2）所示.10 .用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)棱長(zhǎng)為2 cm的正方體ABCD ABCD '的直觀圖.解 畫(huà)法：畫(huà)軸.如圖，畫(huà)x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn) O,使/xOy= 45°, /xOz= 90&

23、#176;.畫(huà)底面.以點(diǎn)。為中點(diǎn)，在x軸上取線(xiàn)段MN,使MN = 2 cm；在y軸上取線(xiàn)段PQ,使PQ= 1 cm.分別過(guò)點(diǎn)M和N作y軸的平行線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)P和Q作x軸的平行 線(xiàn)，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為 A, B, C, D,則四邊形ABCD就是正方體的底面ABCD. （3）畫(huà)側(cè)棱.過(guò)A, B, C, D各點(diǎn)分別作z軸的平行線(xiàn)，并在這些平行線(xiàn)上分別截取2 cm長(zhǎng)的線(xiàn)段AA； BB ； CC ； DD成圖.順次連接A', B； C； D；并加以整理（去掉輔助線(xiàn)，將被面遮擋的線(xiàn)段AD, CD, DD改為虛線(xiàn)），就得到正方體的直觀圖，如圖 .能力提升11 .如圖所示的是水平放置的三角形 ABC的直觀圖，D'是 A' BC中BC邊的中點(diǎn)，且 AD7/ y軸，那么A