整式的乘除與因式分解全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識(shí)講解

1、整式的乘除與因式分解全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .掌握正整數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)，并能運(yùn)用它們熟練地進(jìn)行運(yùn)算；掌握單項(xiàng)式乘（或除以）單 項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘（或除以）單項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，并運(yùn)用它們進(jìn)行運(yùn)算；2 .會(huì)推導(dǎo)乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義， 能利用公式進(jìn)行 乘法運(yùn)算；3 .掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運(yùn)算，并能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法 公式簡化運(yùn)算；4 .理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運(yùn)算，掌握提公因式法 和公式法（直接運(yùn)用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一 般步驟；能夠熟練地運(yùn)用這些方

2、法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、哥的運(yùn)算1.同底數(shù)哥的乘法：二 D m, n為正整數(shù)）；同底數(shù)哥相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.2.哥的乘方:爐丫=金皿（m, n為正整數(shù)）；哥的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘3 .積的乘方：S& 二 u¥F （ n為正整數(shù)）；積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積4 .同底數(shù)哥的除法：牌44N二療科T（ a W0, m, n為正整數(shù)，并且 m n）.同底數(shù)塞相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.5 .零指數(shù)哥：a0 1 a 0 .即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1.要點(diǎn)詮釋：公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式， 還可以表示多項(xiàng)式； 靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算

3、性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡潔.要點(diǎn)二、整式的乘法和除法1. 單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.2. 單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加. 即m(a b c) ma mb mc( m, a, b,c 都是單項(xiàng)式).3. 多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加 . 即 a b m n am an bm bn .要點(diǎn)詮釋：運(yùn)算時(shí)，要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)前面的“” “”號(hào)是性質(zhì)符號(hào)， 單項(xiàng)

4、式乘以多項(xiàng)式各項(xiàng)的結(jié)果，要用 “” 連結(jié)， 最后寫成省略加號(hào)的代數(shù)和的形式根據(jù)多項(xiàng)式的乘法，能得出一個(gè)應(yīng)用比較廣泛的公式：x a x bx2a b x ab .4. 單項(xiàng)式相除把系數(shù)、相同字母的冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式.5. 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加.即： (am bm cm) m am m bm m cm m a b c要點(diǎn)三、乘法公式1. 平方差公式：(a b)(a b) a2 b2兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.要點(diǎn)詮釋：在這里，a， b 既可以是具體數(shù)字，也可

5、以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方 .2. 完全平方公式：a b 2 a2 2ab b2； (a b)2 a2 2ab b2兩數(shù)和 ( 差 ) 的平方等于這兩數(shù)的平方和加上(減去)這兩數(shù)乘積的兩倍.要點(diǎn)詮釋：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和(或差)的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加(或減)這兩數(shù)之積的2 倍 .要點(diǎn)四、因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法 , 分組分解法, 十字相乘法, 添、

6、拆項(xiàng)法等.要點(diǎn)詮釋：落實(shí)好方法的綜合運(yùn)用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項(xiàng)平方或立方，三項(xiàng)完全或十字；四項(xiàng)以上想分組，分組分得要合適; 幾種方法反復(fù)試，最后須是連乘式; 因式分解要徹底，一次一次又一次【典型例題】類型一、哥的運(yùn)算1、已知x2m 5 ,求1x6m 5的值.5【思路點(diǎn)撥】由于已知x2m的值，所以逆用哥的乘方把x6m變?yōu)椋▁2m）3,再代入計(jì)算.【答案與解析】解：: x2m 5 ,16m1 2m x 313-x5（x ）555 20.555【總結(jié)升華】本題培養(yǎng)了學(xué)生的整體思想和逆向思維能力.舉一反三：【變式】（1）已知a 224, b 96, c 512,比較a, b,c的大小.

7、(2)比較 330,920,2710大小。【答案】解：(1) b a c；(2) 330 2710 920提示：（1）轉(zhuǎn)化為同指數(shù)不同底數(shù)的情況進(jìn)行比較，指數(shù)轉(zhuǎn)化為12;（2）轉(zhuǎn)化成比較同底數(shù)不同指數(shù)，底數(shù)轉(zhuǎn)化為3.2x類型二、整式的乘除法運(yùn)算1的結(jié)果中不含x的一次項(xiàng)，則a等于（）C.2D.3【解析】先進(jìn)行化簡，得：1（6 -加,一 * 要使結(jié)果不含x的一次項(xiàng)，則x的一次項(xiàng)系數(shù)為0,即：6 2a =0.所以a 3.【總結(jié)升華】代數(shù)式中不含某項(xiàng)，就是指這一項(xiàng)的系數(shù)為0.舉一反三：1【變式】若 x m x 1的乘積中不含x的一次項(xiàng)，則 m等于3-1【答案】-；3類型三、乘法公式、計(jì)算：(1) a

8、b c d a b c d ; (2) 2x 3y 1 2x 3y 5【思路點(diǎn)撥】(1)中可以將兩因式變成 a b與c d的和差.(2)中可將兩因式變成 2 3y與2x 3的和差.【答案與解析】解：原式(a b) (c d)( a b) (c d) (a b)2 (c d)22_22_2a 2ab b c 2cd d .(2)原式 (2 3y) (2x 3)(2 3y) (2x 3)222 3y 2x 3229y2 4x2 12y 12x 5.【總結(jié)升華】(1)在乘法計(jì)算中，經(jīng)常同時(shí)應(yīng)用平方差公式和完全平方公式.(2)當(dāng)兩個(gè)因式中的項(xiàng)非常接近時(shí)，有時(shí)通過拆項(xiàng)用平方差公式會(huì)達(dá)到意想不到的效果.舉

9、一反三：【變式】計(jì)算：3(22 1)(24 1)(28 1) 1 .解：3(22 1)(24 1)(28 1) 1_2_2_4_8(21)(21)(21)(21) 1(24 1)(24 1)(28 1) 1小881616(21)(21)1 2112.2012 .0,求代數(shù)式(x y z) 的值.4、已知 x2 y2z2 2x 4y 6z 14【思路點(diǎn)撥】 將原式配方，變成幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零的形式，這樣就能解出x,y,z.【答案與解析】解：x2 y2 z2 2x 4y 6z 14 0222x 1 y 2 z 30所以 x 1, y 2, z 320122012所以(x y z) 00 .【總結(jié)升

10、華】一個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù),從理論上不可能解出方程，嘗試將原式配方過后就能得出正確答案舉一反三【變式】配方a2b2 a2 b2 1 4ab ,求a b =.【答案】解：原式=a2b2 2ab 1 a2 2ab b2 ab 1 2 a b 2 0所以a b, ab 1 ,解得a b 1所以a b i2.C5、求證：無論x, y為何有理數(shù)，多項(xiàng)式 x2 y2 2x 6y 16的值恒為正數(shù).【答案與解析】-一，、22解：原式=x 1 y 36 0所以多項(xiàng)式的值恒為正數(shù).【總結(jié)升華】 通過配方，將原式變成非負(fù)數(shù)十正數(shù)的形式，這樣可以判斷多項(xiàng)式的正負(fù)舉一反三：2b20.【變式】證明：不論a, b為何值，多項(xiàng)式 亙2 a2 b2 3ab 5的值一定小于4【答案】2 2證明：-a2 b2 3ab 542b2=(- ab 1) (a2 b2 2ab) 44zab 22=(1) a b 42,ab22 (1)0, a b 02ab 2 一2 一 (一 1)2 0, a b 02 1原式一定小于0.類型四、因式分解6、分解因式：(1 )x22 2x2222