圓錐曲線幾何最值專題訓(xùn)練

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題二 壓軸解答題第二關(guān) 以解析幾何中離心率、最值、范圍為背景解答題【名師綜述】解析幾何中的范圍、最值和離心率問題仍是高考考試的重點(diǎn)與難點(diǎn)，試題難度較大注意分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等的應(yīng)用，如解析幾何中的最值問題往往需建立求解目標(biāo)函數(shù)，通過函數(shù)的最值研究幾何中的最值 類型一 離心率問題典例1 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓： 的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)（在第三象限），與橢圓的右準(zhǔn)線交于點(diǎn).已知，且.（1）求橢圓的離心率；（2）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1) ；(2) .（2）由（1），右準(zhǔn)線方程為，直線的方程

2、為，所以， ，所以， ，所以， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 【名師指點(diǎn)】求橢圓、雙曲線的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定的等量關(guān)系，然后把用代換，求的值【舉一反三】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過且與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為_.【答案】類型二 最值、范圍問題典例2 已知橢圓的離心率為，圓與軸交于點(diǎn)， 為橢圓上的動點(diǎn)， ， 面積最大值為（1）求圓與橢圓的方程；（2）圓的切線交橢圓于點(diǎn)，求的取值范圍【答案】（1）圓的方程為，橢圓的方程為（2）【解析】（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為， 因為直線與圓相切，所以，即， 聯(lián)立，消去可得，令，則，所以，所以，所以

3、 當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，解得，綜上， 的取值范圍是【名師指點(diǎn)】求最值、范圍問題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個變量的目標(biāo)函數(shù)，通過求這個函數(shù)的值域確定目標(biāo)的范圍.在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題目的其他已知條件，把需要的量都用我們選用的變量表示，有時為了運(yùn)算的方便，在建立關(guān)系的過程中也可以采用多個變量，只要在最后結(jié)果中把多變量歸結(jié)為單變量即可，同時要特別注意變量的取值范圍.【舉一反三】已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，且與拋物線的焦點(diǎn)重合.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，求的最小值.【答案】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）的最小值為.【解析】（1

4、）拋物線的焦點(diǎn)為，所以，又因為，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. .易知的斜率為，所以. .當(dāng)，即時，上式取等號，故的最小值為.（ii）當(dāng)直線的斜率不存在或等于零時，易得.綜上， 的最小值為.類型三 面積問題典例3 平面直角坐標(biāo)系中，圓的圓心為.已知點(diǎn)，且為圓上的動點(diǎn)，線段的中垂線交于點(diǎn).（）求點(diǎn)的軌跡方程；（）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，拋物線： 的焦點(diǎn)為.， 是過點(diǎn)互相垂直的兩條直線，直線與曲線交于， 兩點(diǎn)，直線與曲線交于， 兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）四邊形面積的取值范圍是.（）的焦點(diǎn)為，的方程為，當(dāng)直線斜率不存在時， 與只有一個交點(diǎn)，不合題意.當(dāng)直線斜率為時，可求得，

5、，.當(dāng)直線斜率存在且不為時，方程可設(shè)為，代入得 ， ，設(shè)， ，則， ， .直線的方程為與可聯(lián)立得，設(shè)， ，則，四邊形的面積 .令，則， ，在是增函數(shù)， ，綜上，四邊形面積的取值范圍是.【名師指點(diǎn)】對于平面圖形的面積問題，可以直接表示或者可以利用割補(bǔ)的辦法，將面積科學(xué)有效表示，其中通過設(shè)直線和曲線的交點(diǎn)，利用韋達(dá)定理是解決該種問題的關(guān)鍵【舉一反三】已知是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且離心率為(1)求橢圓的方程；(2)若的角平分線所在的直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為為橢圓上的一點(diǎn),當(dāng)面積最大時,求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1) (2) 【解析】(1)由橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率,可得,解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為直線

6、的方程為,設(shè)過點(diǎn)且平行于的直線為由,整理得由,解得,因為為直線在軸上的截距,依題意, ,故解得， ，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為【精選名校模擬】1如圖，一張坐標(biāo)紙上一已作出圓及點(diǎn)，折疊此紙片，使與圓周上某點(diǎn)重合，每次折疊都會留下折痕，設(shè)折痕與直線的交點(diǎn)為，令點(diǎn)的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）若直線與軌跡交于兩個不同的點(diǎn)，且直線與以為直徑的圓相切，若，求的面積的取值范圍.【答案】(1) ；(2) .【解析】（2）與以為直徑的圓相切，則到即直線的距離：，即，由，消去，得，直線與橢圓交于兩個不同點(diǎn)， ，設(shè)， ，則， ， ，又 ， 設(shè)，則， ， ，關(guān)于在單調(diào)遞增，的面積的取值范圍是.2. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別

7、為，上頂點(diǎn)為，過與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且（）求橢圓的離心率；（）若過、三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；（）過的直線與（）中橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由【答案】（）；（）橢圓的方程為；（）存在，直線的方程為.【解析】，再借助韋達(dá)定理來解決即可.試題解析：（）由題，為的中點(diǎn)設(shè)，則，由題，即，即（）設(shè)，由題異號設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長為， 因此要使內(nèi)切圓的面積最大，只需最大，此時也最大，由題知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，由得，由韋達(dá)定理得 ，（）令，則，當(dāng)時有最大值此時，故的內(nèi)切圓的面積的

8、最大值為，此時直線的方程為3. 已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為，點(diǎn)在橢圓上，且的面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)已知直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，若在軸上存在點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】(1) ；(2) .【解析】 (2)設(shè)， 的中點(diǎn)為，點(diǎn)，使得,則.由得，由，得.，.，即，.當(dāng)時， （當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號），；當(dāng)時， （當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號），點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為.4. 已知橢圓C：的兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切（1）求橢圓的方程（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同

9、的兩點(diǎn)和,且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實數(shù)的取值范圍【答案】（1） ；（2）【解析】（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，設(shè)將直線方程代入橢圓方程得： 6分設(shè),則 8分當(dāng)k=0時，直線l的方程為y=0,此時t=0，成立，故，t=0符合題意。5. 已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（）求橢圓的方程；（）過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的直線的斜率為，且與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線， （為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，若對任意，存在實數(shù)，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】() ；() .【解析】（）設(shè)直線的方程為.由，消元可得，設(shè)， ，則， ，而 ，由，得，因為此等式對任意的都成立，所以，即.由題意得點(diǎn)在橢圓內(nèi)，故，即，解得.6

10、. 已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程：，化簡得：， ，設(shè)，則 ，7. 如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).的最大值是，的最小值是，滿足.(1) 求該橢圓的離心率；(2) 設(shè)線段的中點(diǎn)為，的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).記的面積為，的面積為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】設(shè)出橢圓方程和直線方程，兩方程聯(lián)立，消參，利用韋達(dá)定理，得到和，利用三角形相似得到所求的比例值，最后求范圍.試題解析：(1) 設(shè)，則根據(jù)橢圓性質(zhì)得而，所以有，即，因此橢圓的離心率為. （4分）8. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是圓上一動點(diǎn)，x軸于點(diǎn)D.記滿足的動點(diǎn)M的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)已知直線與軌跡交于不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)G是線段AB中點(diǎn)，射線OG交軌跡于點(diǎn)Q，且.證明：求AOB的面積S()的解析