要讓學(xué)生學(xué)會做數(shù)學(xué)

1、要讓學(xué)生學(xué)會做數(shù)學(xué) 一、人們對“什么是數(shù)學(xué)”、“什么叫做懂?dāng)?shù)學(xué)”的認(rèn)識發(fā)生了重大的變化。在過去的二十年中，數(shù)學(xué)的面貌發(fā)生了翻天覆地的變化。以信息社會和市場經(jīng)濟(jì)為基本形態(tài)的時代，全球經(jīng)濟(jì)一體化進(jìn)程急劇加快，科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，人類社會高度社會化。所有這一切都有賴于定量化研究的學(xué)術(shù)性發(fā)展?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)或?qū)⒁獫B透到科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)生活和現(xiàn)實(shí)世界中，與人類生存息息相關(guān)的各個領(lǐng)域中，“量”的概念早已突破了“數(shù)”與“形”這一歷史的局限性。“數(shù)”、“形”、“關(guān)系”、“可能性”、“數(shù)據(jù)處理”、“度量和科學(xué)觀察”、“進(jìn)行推理、演義和證明”、“形成觀與各種自然現(xiàn)象、人類行為和社會體系的數(shù)學(xué)模型”等，是人們對客觀世界進(jìn)

2、行數(shù)學(xué)把握的最基本反映。從實(shí)現(xiàn)的手段上，數(shù)學(xué)作為一種普遍使用的技術(shù)，可以幫助人們在搜集、整理、描述、探索和創(chuàng)造中建立模型，研究模型，從而解決問題，作出判斷，它為人們交流信息提供了一種簡捷有效的手段。這些變化是由于人們對“什么是數(shù)學(xué)”的認(rèn)識發(fā)生了重大的變化。現(xiàn)在是人們把數(shù)學(xué)理解為“關(guān)于模式的科學(xué)”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由真實(shí)事物或現(xiàn)象（現(xiàn)實(shí)原型）所抽象出來的數(shù)學(xué)概念、命題、問題和方法，由特殊上升到了一般，從而形成了“模式”。“模式”是指一定事物經(jīng)過“程式化”的處置，而成為同類事物的典范?！俺淌交笔侵府?dāng)思維僅僅是思維對象時，我們把它稱為“程式化”，“程式化”即模式制造?！俺淌健本哂邢鄬Κ?dú)立性，能反映一

3、類問題的共同特性，而具有超越特殊對象的普遍意義；模式不從屬于特定的事物或現(xiàn)象，也不再是為研究特殊的實(shí)際系統(tǒng)及其性態(tài)而設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。二、傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育思想傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)是教給學(xué)生現(xiàn)成的數(shù)學(xué)。荷蘭著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，“關(guān)于數(shù)學(xué)，每個數(shù)學(xué)家都知道（至少無意識地人除了現(xiàn)成的數(shù)學(xué)以外，還存在一種作為活動的數(shù)學(xué)，但是這個事實(shí)幾乎從不強(qiáng)調(diào)，非數(shù)學(xué)家更是從未意識到?！?何謂“現(xiàn)成的數(shù)學(xué)”？ 弗氏說：“現(xiàn)代數(shù)學(xué)通常只作為一個現(xiàn)成的產(chǎn)品來分析，后面再附上一個形式的綜合，結(jié)果就成為現(xiàn)成的數(shù)學(xué)?！币簿褪恰皩⒔痰膬?nèi)容作為現(xiàn)成的產(chǎn)品加以分析，在教學(xué)過程中就將分析的結(jié)果以綜合方式提供給學(xué)生?！薄敖Y(jié)果數(shù)

4、學(xué)就是根據(jù)預(yù)先建造好的演繹體系來教。” “教給學(xué)生現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，這種數(shù)學(xué)由數(shù)學(xué)家事先組合好，他們知道每個部分是如何配合的，其中每一部分的用處又是什么，但是對學(xué)生卻沒有介紹這些秘密的知識，因而在學(xué)生看來，所獲得的只是一堆毫無意義的孤立的磚塊?！彼麄儾⒉涣私狻斑@些分析的磚塊最終究竟建造什么樣的大廈?！薄皩?shù)學(xué)作為一個現(xiàn)成的產(chǎn)品來教，留給學(xué)生活動的唯一機(jī)會就是所謂的應(yīng)用，其實(shí)就是作問題。這不可能包含真正的數(shù)學(xué)，留作問題的只是一種模仿的數(shù)學(xué)，雖然已經(jīng)精心培育了一個世紀(jì)，但其最低水平就是將一般陳述中的參數(shù)代以特殊值或是至多思考一下理論的模式?！薄懊鎸ΜF(xiàn)成的數(shù)學(xué)，學(xué)生唯一能做的事就是復(fù)制。所以要使學(xué)生活動，

5、就必須以所謂的應(yīng)用來補(bǔ)充，從理論上發(fā)展或簡化，或是對一般參數(shù)作簡單代入?！?“這就是我們所謂的違反教學(xué)法的顛倒。唯一與教學(xué)法有關(guān)的要素題材的分析被拋棄了；學(xué)生面對的只是分析的結(jié)果，或是看著知道結(jié)果的教師將被分析的內(nèi)容再放在一起?！币郧?，有很大一部分人把數(shù)學(xué)看成是處理數(shù)量、大小和形狀及其相互關(guān)系的事實(shí)和步驟，掌握了這些事實(shí)和步驟就等于懂了數(shù)學(xué)。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育工作集中于知識內(nèi)容方面，人們根據(jù)大量的學(xué)科內(nèi)容來規(guī)定學(xué)生應(yīng)該了解什么，并且根據(jù)學(xué)生掌握的內(nèi)容的多少來判定他掌握了什么知識。這種觀點(diǎn)認(rèn)為，學(xué)數(shù)學(xué)就是以某種連貫的順序掌握一系列的事實(shí)和步驟，這些內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)的主體。而這些是不對的。三、學(xué)數(shù)學(xué)就是

6、“做數(shù)學(xué)”現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)就是“做數(shù)學(xué)”，人們越來越把“做數(shù)學(xué)”看作是一種社會性的相互合作的行為。1、何謂“做數(shù)學(xué)”那么什么叫做“做數(shù)學(xué)”呢？學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就意味著“做數(shù)學(xué)”。所謂“做數(shù)學(xué)”就是把注意力從傳統(tǒng)的集中于數(shù)學(xué)內(nèi)容方面轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)過程方面。亦即強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識在人腦中形成過程和發(fā)展過程的教學(xué)。“做”，即制造、從事某種工作、活動的意思。“做數(shù)學(xué)”就是把數(shù)學(xué)教學(xué)視為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。所謂“活動”，就是在人與周圍世界的相互作用中，人一起有意識、有目的的行為改變世界，以主體作用于客體的方式來實(shí)現(xiàn)的?；顒佑梢幌盗袆幼鳂?gòu)成，代表有機(jī)體與個人的整個技能?；顒硬粌H指認(rèn)知能力，還指意向能力。數(shù)學(xué)教學(xué)看作數(shù)

7、學(xué)活動的教學(xué)，意指教學(xué)中應(yīng)把學(xué)生作為認(rèn)識的主體，讓他們與周圍的世界（包括教材、教師、同學(xué)以及客觀的現(xiàn)實(shí)世界）發(fā)生作用，親自動手去解決呈現(xiàn)在他們眼前的問題，并在這個過程中增長他們的才干，發(fā)展他們的個性?！白鰯?shù)學(xué)”不僅要反映數(shù)學(xué)活動的結(jié)果理論，而且還要反映得到這些理論的數(shù)學(xué)活動（如探索、猜測、鑒別、表達(dá)、解決、構(gòu)造、討論、反思、使用、調(diào)查、發(fā)展、預(yù)告、比較、分析、排序、抽象、符號化、一般化等）及具體的思維方式（模型設(shè)計(jì)、抽象化、最優(yōu)化、邏輯分析、數(shù)據(jù)推斷、符號運(yùn)用等）。數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)就是幫助學(xué)生數(shù)據(jù)化。2、“做數(shù)學(xué)”的特征（1）、“做數(shù)學(xué)”意指在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)把學(xué)生作為思維認(rèn)識的主體。如果可能，每

8、個人都應(yīng)參與數(shù)學(xué)，親自體驗(yàn)一下數(shù)學(xué)。參與數(shù)學(xué)在一定程度上就是積極地參與發(fā)現(xiàn)工作，并且在很大程度上是通過猜測來實(shí)現(xiàn)的。（2）、知識是在有目的的活動中聚集、發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生，而不是將數(shù)學(xué)作為一個現(xiàn)成的產(chǎn)品，教條式的灌輸給學(xué)生。這里強(qiáng)調(diào)的是發(fā)生，而不是強(qiáng)加于人。我們并不斷言，信息式的知識沒有價值。這些知識只有在有目的的活動中才是有用的，因而顯示出其價值。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)堅(jiān)持“做”比“知道”更深刻地掌握知識。3、“做數(shù)學(xué)”的本質(zhì)玻利亞對“做數(shù)學(xué)”的本質(zhì)說過這樣一段話：“對于一名積極從事數(shù)學(xué)研究的數(shù)學(xué)家來說，數(shù)學(xué)有時就是一種猜測的游戲；在你證明一條數(shù)學(xué)定理之前必須先作猜測，在你深入細(xì)致完成證明之前，也必須先對

9、證明的思想作出猜測。”因此“做數(shù)學(xué)”的實(shí)質(zhì)是認(rèn)知發(fā)現(xiàn)活動，而不是吸納性活動。”“做數(shù)學(xué)”的方法遠(yuǎn)非只是計(jì)算或演繹，還包括觀察模式、驗(yàn)證猜想和評估結(jié)果?！白鰯?shù)學(xué)”的實(shí)質(zhì)是把重點(diǎn)從“教”轉(zhuǎn)向“學(xué)”，從教師的行為轉(zhuǎn)向?qū)W生的活動，并且從感覺效應(yīng)轉(zhuǎn)向運(yùn)動效應(yīng)。4、怎樣“做數(shù)學(xué)”所謂“做數(shù)學(xué)”就是從做中學(xué)，不僅要注意數(shù)學(xué)的內(nèi)容方面，更要注意數(shù)學(xué)的過程方面。在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意：一、知識結(jié)構(gòu)的建立、推廣、發(fā)展的過程；二、數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程，解題思路的探索過程，解題方法、規(guī)律的概括、發(fā)展過程，在過程中展開學(xué)生的思維，并加以正確的引導(dǎo)。具體的講，在概念教學(xué)時，或者從實(shí)際例子出發(fā)，經(jīng)過分析逐步抽象

10、出概念來，或者是通過所學(xué)概念，與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某個適當(dāng)概念，通過同化來學(xué)習(xí)概念。前者要經(jīng)歷辨別、分化、抽象、概括等心理過程，后者要體現(xiàn)新舊知識的相互作用與相互聯(lián)系。不管采用哪種方式學(xué)習(xí)概念，分化都是必要的步驟。在數(shù)學(xué)定理教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生搞清它們的來源，分清它們的條件和結(jié)論，弄清抽象、概括或證明的過程，了解它們呢的用途、應(yīng)用的范圍，以及應(yīng)用時應(yīng)注意的問題。對于基本技能的訓(xùn)練，也要有個過程，即由簡單到復(fù)雜，由單一到綜合，循序漸進(jìn)地發(fā)展，并要隨著學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解不斷加深，逐步提高基本技能的熟練程度。對于能力的培養(yǎng)，特別注意使學(xué)生逐步學(xué)會怎樣從實(shí)際例子和已知知識中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，怎樣進(jìn)行

11、分析、綜合、抽象、概括，怎樣進(jìn)行判斷、推理和解決問題，使學(xué)生的能力逐步提高。5、“做數(shù)學(xué)”的目的“做數(shù)學(xué)”的目的最終是要讓學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)化”。弗賴登塔爾認(rèn)為，人們用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界，分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以整理和組織，以發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，這個過程就是“數(shù)學(xué)化”。簡言之，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過程就是“數(shù)學(xué)化”。弗氏特別指出，數(shù)學(xué)本身同樣屬于現(xiàn)實(shí)世界，因而在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，我們自然要面對數(shù)學(xué)自身的“數(shù)學(xué)化”。 數(shù)學(xué)教育中的“數(shù)學(xué)化”是一種由現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)問題，由具體問題到抽象概念的認(rèn)識轉(zhuǎn)化活動，是人類發(fā)現(xiàn)活動在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的具體表現(xiàn)。 現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育中所說的“數(shù)學(xué)化”泛指學(xué)習(xí)者從一個具體的情景問題開始，到得到一個抽象數(shù)學(xué)概念的教育全過程。這里所說的數(shù)學(xué)概念是把所研究的數(shù)學(xué)問題的共同點(diǎn)門本質(zhì)特征）抽出來，加以概括。 應(yīng)當(dāng)通過“數(shù)學(xué)化”的途徑來進(jìn)行數(shù)學(xué)的教與學(xué)。牢記弗氏的名言：“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化；與其說是學(xué)習(xí)公理系統(tǒng)，還不如說是學(xué)習(xí)公理化；與其說是學(xué)習(xí)形式體系，還不如說是學(xué)習(xí)形式化?！眰ゴ蟮慕逃铱涿兰~斯有句名言：“教一個活動的