孤島疾病問題的探討

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 孤島疾病問題的探討一、 摘要建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題。本文是一個孤島疾病傳播問題。首先根據(jù)孤島的自身特征方面的條件解決問題a:列出假設(shè)1、2，問題b:根據(jù)模型建立的被感染人數(shù)X與時刻t的關(guān)系，利用matlab軟件畫出dX/dt關(guān)于X的圖像。問題c:又假設(shè)感染的人數(shù)X1<N/2,畫出X關(guān)于t的圖形。在此問題的基礎(chǔ)上取X1=N/4和X1=3N/4；問題d:求解出微分方程，最后把X作為t的函數(shù)，解出前面給的模型。問題e:此模型方程是logistic模型，求出X

2、的表達式,得出當t趨于無窮大時X的極限為N。問題f:有代表的數(shù)據(jù)列出表格求解出這些數(shù)據(jù)，得出的這些數(shù)據(jù)支持該模型，估計模型中的常數(shù)并預(yù)測t=12天被感染的人數(shù)，列出關(guān)系模型。問題h:分析上述模型的優(yōu)缺點，試給出改進方案?！娟P(guān)鍵詞】孤島疾病 微分方程 關(guān)系模型 改進方案一、問題重述如何確定孤島的疾病傳播速度問題通過正確的措施進行控制并對人們的身心健康有很大的幫助，也是必不可少的?？紤]在一個人口數(shù)量為N的孤島上，一部分到島外旅游的居民回來使該島感染了一種高傳染性的疾病。請預(yù)測在某時刻t將會被感染的人數(shù)X?？紤]一下模型，其中k>0為常數(shù)：(a)     列出這個模

3、型所隱含的兩條主要假設(shè)，說明這些假設(shè)有什么依據(jù)？(b)   畫出關(guān)于X的圖形(c)    若初始被感染的人數(shù)，畫出X關(guān)于t的圖形；若初始被感染人數(shù)為，畫出X關(guān)于t的圖形。(d)   把X作為t的函數(shù)，解出前面給出的模型。(e)   由(d)，當t趨于無窮時求X的極限。(f)    設(shè)島上的人口有5000人，在傳染期的不同時刻被感染人數(shù)如下表天數(shù)t2610被感染人數(shù)X188740874853ln(X/(N-X)-0.51.53.5問這些數(shù)據(jù)能否支持所給的模型

4、？(g) 利用(f)的結(jié)果估計模型中的常數(shù)，并預(yù)測t=12天時被感染的人數(shù)。(h) 分析上述模型的優(yōu)缺點，試給出改進方案。 二、模型假設(shè)1、人口數(shù)量N不變，因為是孤島。2、人口分為健康人和被感染的病人，數(shù)量分別為X ,N-X。3、在規(guī)定的時刻內(nèi)人口變化X取整數(shù)，因為人口為整數(shù) 三、符號定義說明X（t）：t時刻被感染的人數(shù) S（t）：t時刻未被感染的人數(shù) k ：常數(shù)C1、C2：皆為參數(shù) N ：孤島上的人口總數(shù),即N=X（t）+S（t） 四、模型的建立與求解 4.1模型的建立依據(jù)(a) 列出這個模型所隱含的兩條主要假設(shè)，說明這些假設(shè)有什么依據(jù)？假設(shè)1人口數(shù)量N不變，因為是孤島。假設(shè)2人口分為健康人

5、和被感染的病人數(shù)量分別為X ,N-X。4.2模型的建立與求解(b) 畫出關(guān)于X的圖形設(shè)k=0.1X=0:0.1:1;ezplot('0.1*X*(1-X)',0,1);(c)若初始被感染的人數(shù)，畫出X關(guān)于t的圖形；若初始被感染人數(shù)為，畫出X關(guān)于t的圖形。1、取，則y=dsolve('Dy=0.1*y*(1-y)','y(0)=0.25','x');ezplot(y,0,50);2、，則y=dsolve('Dy=0.1*y*(1-y)',y(0)=0.75','x');ezplot(y,0,5

6、0);(d)把X作為t的函數(shù)，解出前面給出的模型。 syms N k:X=dsolve('DX=k*X*（N-X）') 即 (e)  由(d)，當t趨于無窮時求X的極限。(f)    設(shè)島上的人口有5000人，在傳染期的不同時刻被感染人數(shù)如下表天數(shù)t2610被感染人數(shù)X188740874853ln(X/(N-X)-0.51.53.5問這些數(shù)據(jù)能否支持所給的模型？由 可以看出為線性變化的，所以可以認為這些數(shù)據(jù)支持該模型。(g)利用(f)的結(jié)果估計模型中的常數(shù)，并預(yù)測t=12天時被感染的人數(shù)。 得到k=0.5再代入k值，得C2=1.

7、5，而N=5000，當t=4+10=14時，可以解出X的值：X= 4979確定參數(shù)C1=N/X0，則有 五、模型評估及改進5.1 模型的優(yōu)點（1）用假設(shè)分析、微分求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)、線性相關(guān)等方法，解決問題，方法簡單易懂，過程清晰且準確。（2）又利用matlab軟件處理數(shù)據(jù)簡單、準確、而且具有科學(xué)性，得到的結(jié)果更具說服力。5.2 模型的缺點（1）在問題a的問題假設(shè)1沒有考慮人口的流動量(2) 在問題a的問題假設(shè)2沒有考慮治愈問題等情況改進：將對象分為三類：病人，健康人與治愈的人。符號說明：s（t）：健康者在總?cè)藬?shù)N中占的比例i（t）：病人在總?cè)藬?shù)N中占的比例r（t）：病愈免疫的移出者在總?cè)藬?shù)N中占的比例

8、模型假設(shè)：1.總?cè)藬?shù)N不變。人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出三類，時刻t三類人在總?cè)藬?shù)N中占的比例分別記為s(t)、i(t）、r(t).2.病人的日接觸率為,日治愈率為，傳染期接觸數(shù)為模型構(gòu)成：由假設(shè)1可得知 s(t)+i(t)+r(t)=1 (1)對于病愈免疫的移出者有 (2)再記初始時刻的健康者和病人的比例分別是(>0)和(>0)(1) 、(2) 模型的方程可以寫成 (3) i(t)、s(t)圖形我們在數(shù)值計算和圖形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線討論解i（t）,s（t）的性質(zhì)。D = （s，i）| s0，i0 ， s + i 1在方程（3）中消去并注意到的定義，可得 (4)所以：

9、 (5)利用積分特性容易求出方程(4)的解為： (6)在定義域D內(nèi),(5)式表示的曲線即為相軌線,如下圖所示.其中箭頭表示了隨著時間t的增加s(t)和i(t)的變化趨si101DP4P3imP2S0P1S0 P1: s0>1/s ® i(t)先升后降至0 傳染病蔓延P2: s0<1/s ® i(t)單調(diào)降至0 傳染病不蔓延1/s閾值1.提高閾值1/sÞ降低 s(=l/m)Þ l ¯, m ­l (日接觸率)¯ Þ 衛(wèi)生水平­m(日治愈率)­ Þ 醫(yī)療水平­2.降低 s0Þ提高 r0Þ群體免疫s 的估計 參考文獻：數(shù)學(xué)模型，姜啟源編，高等教育出版社數(shù)學(xué)分析,陳紀修，于崇華,金路,高等教育出版社附錄：function y=ill(t,x)a=1