正方體的截面問(wèn)題研究

1、學(xué)習(xí)參考研究性學(xué)習(xí)報(bào)告正方體的截面形狀【課題】正方體的截面形狀【作者】劉可歆岳新茹【摘要】探究正方體截面形狀，通過(guò)實(shí)踐和圖示證明其結(jié)果，列舉特例。【研究方法】首先經(jīng)過(guò)猜想，列舉出猜想到的截面，其次進(jìn)行畫(huà)圖和實(shí)踐等方法 證明猜想是否正確。再通過(guò)網(wǎng)絡(luò)查詢資料，尋找未猜想到的情況。【研究過(guò)程】探究1:當(dāng)截面為三角形根據(jù)一定角度過(guò)正方體的三條棱進(jìn)行截取可以得到三角形的截面，圖示如下：由上圖可知，正方體可以截得三角形截面。特別的，當(dāng)截面剛好經(jīng)過(guò)三個(gè)面的對(duì)角線時(shí)，所得的三角形截面為正三角形,圖示如下:Ol正三棱錐探究2:當(dāng)截面是四邊形1 .正方形:因?yàn)樵摿Ⅲw幾何圖形是正方體，所以用從任意位置與該正方體上下

2、底面平 行的平面進(jìn)行截取可以得到，或者和側(cè)面平行進(jìn)行截取，由下列圖示證明：由圖示可知，水平方向截取正方體，得到的截面為正方形。由圖示可知，豎直方向截取正方體，得到的截面為正方形。2 .矩形：因?yàn)檎叫我矊儆诰匦?，所以?duì)正方形的證明同適用于矩形。其次，當(dāng)長(zhǎng) 寬不等的矩形截面的圖示如下：由上圖所示可知，按不同角度截取正方體可以得到矩形3 .平行四邊形:當(dāng)平面與正方體的各面都不平行時(shí)，所得截面為平行四邊形，圖示如下:=»由上圖所示可知，當(dāng)截面不與正方體的各面平行時(shí)， 所得截面可能為平行四 邊形。4 .菱形：如下圖所示，當(dāng)A,B為所在棱的中點(diǎn)時(shí)，該截面為菱形：5 .梯形：如圖所示，當(dāng)按一定角

3、度使截面在正方體的上下底面上所存在的線段長(zhǎng) 短有異時(shí)，所得截面可能是梯形：=»»»探究3:當(dāng)截面是五邊形6 .五邊形：如圖所示，可以截得五邊形截面:探究3:當(dāng)截面是六邊形7 .六邊形：如圖所示，可以截得六邊形截面:特別的，當(dāng)平面與正方體各棱的交點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)， 截面為正六邊形,如圖所示:【拓展探究】1.正方體最大面積的截面三角形:如該圖所示可證明，由三角面對(duì)角線構(gòu)成的三角形。2 .正方體最大面積的截面四邊形：正方形、矩通過(guò)猜想及查詢資料可知，正方體截面可能得到的四邊形有: 形、梯形、平行四邊形。根據(jù)四邊形的面積公式：面積 二長(zhǎng)*寬聯(lián)系正方體圖形：得到：當(dāng)由兩條平行的面

4、對(duì)角線和兩對(duì)平行棱構(gòu)成的四邊形的長(zhǎng)最大，又因?yàn)樵诟鱾€(gè)情況下的寬不變。則由猜想得到：“最大面積的截面四邊形：由兩條平行的面對(duì)角線和兩對(duì)平行棱構(gòu)成的四邊形?！? .最大面積的截面形狀：正方體的截面可以分為：三角形、正方形、梯形、矩形、平行四邊形、五 邊形、六邊形、正六邊形。其中三角形還分為銳角三角型、等邊、等腰三角形。 梯形分為非等腰梯形和等腰梯形。首先比較三角形與五邊形和六邊形，所得這三種截面的情況有一共同特點(diǎn)： 不能完整在該截面所在平面在正方體內(nèi)所截的范圍的最大值，有部分空間空出。因此可以得到：最大面積一定是四邊形。所以最大面積的截面形狀：即最大截面四邊形（猜想）。初步推斷為如圖 所示的矩形：

5、【小結(jié)】正方體的截面圖可能出現(xiàn)的截面形狀：銳角三角型、等邊、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四邊形、非等腰梯形 等腰梯形、五邊形、六邊形、正六邊形不可能出現(xiàn)的截面形狀：鈍角三角形、直角三角形、直角梯形、正五邊形、七邊形或更多邊形正方體的截面形狀研究性學(xué)習(xí)小組2014 2 12JfT JfT JfT1.若g 31 * m v 2 vx ” ( op* c -na* ov x O- a 0a a - a z » 3. «-a j , *-a - -tf-” -f 。候6 自4 個(gè)“ 受”>?* a* ,* 3 * *»情* 持e .« e 4，* ” 假.|， * 它 at* *"白-， c «. M