清華大學(xué)2019年自主招生數(shù)學(xué)試題(2019.06)

1、清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試J2019.061 . 一個(gè)四而體棱長分別為6, 6, 6, 6, 6, 9,求外接球的半徑.2 .求值：11 (1-sin2 x)x2dx.3 .已知P為單位圓上一動點(diǎn),A(0,2), 5(0-1),求I已尸的最大值.4 .他為圓。的直徑，CO_LAB，M為AC中點(diǎn)，CH_LM8,則下列選項(xiàng)正確的是()A. AM=2OH B. AH = 2OH C. BOH BMA D.忘記5 . 5 = 1,2,3,15, 8 = 1,2,3,4,5, / 是A到5的映射，若滿足/(x) = /(y),則稱有 序?qū)?x,y)為“好對”，求“好對”的個(gè)數(shù)最小值.6 .若對TceR, ,

2、使得= c)成立,則稱函數(shù)/3)滿足性質(zhì)7,下列 a-b函數(shù)不滿足性質(zhì)了的是()A. /(x) = x3-3x2+3x B. /(x) = -J C. f(x) = ex D. f(x) = sin(2x + l) 尸+17 .已知 1。1=11=1, a b = - , (c-fl)(c-/?) = 0,若l7 cl=l,求I川的最大值. 2228.橢圓工+:=1,過產(chǎn)(2,0)的直線交橢圓于4、8兩點(diǎn)，點(diǎn)。在直線x = 3上，若62 MC為正三角形，求ABC的面枳.9 .圓/+產(chǎn)=4上一點(diǎn)(見0)處的切線交拋物線產(chǎn)=8%于4、8兩點(diǎn)，且滿足ZAOB = 90°,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

3、求工.10 .設(shè)。為44M*4各位數(shù)字和，是。的各位數(shù)字之和，c為匕的各位數(shù)字之和，求c的值.11 .實(shí)數(shù)x、y滿足/+()，2尸41,求；遭'' 的最大值和最小值.+ >,212 .在三棱柱 A3C 44G 中，已知 NA8C = 90。，AB = 6, BC = BB、=3a ,動點(diǎn)尸在 線段用。上，求4尸+ 3P最小值.13 .若集合A、8是正整數(shù)的一個(gè)二劃分，則()A.集合A中不存在三項(xiàng)等差，集合8中不存在無窮項(xiàng)等差B.集合A中不存在三項(xiàng)等比，集合8中不存在無窮項(xiàng)等比C.忘了D.忘了14 .數(shù)列4滿足：% =3, %7=片-34+4,則()A. 6單調(diào)遞增 B.

4、6無上界 C.忘了 D. limY1= 1 f仁4T15 .若正實(shí)數(shù)a、匕滿足。伏。+ 8) = 20,則。+ 3的最小值為16 .設(shè)/(x)=lx-11 + lx-31, g(A)= 2ex,求/(x) + g(x)最小值.11317 .設(shè)乂yeN,則方程+ = 一的解的個(gè)數(shù)為 x y 100?一2 7k -718 .令 q=cos j4 + isin 二二汽(i = 1,2,3,4,5 ),若=口(馬一勺)，則()55i*jA. 4避32 = 125 B. aa2a3aAa5 = 5s C. a2a =125 D. q=519.若實(shí)數(shù)、y滿足/+8./+6Q1 = 0 ,求x'y的

5、范圍.參考答案I?1 .設(shè)/W = AC = 4) = 8C = 8£> = 6, 8 = 9,易知 BCD的外接圓。半徑為八=萬,12同理可得 ACD的外接圓O2的半徑為G =方， 設(shè)外接圓的圓心為0,易知OO?=g, 則外接球半徑R =而+阻 =H ,.外接球半徑為3串.2 . j * (1 - sin2 x)x'dx =j' j+ j r': cos , 由分部積分法可知:sin 2xdx2) = ； (/ sin 2x - j 2xsin 2xdx)卜2 cos 2xdx = " x2d sin 2x =sin 2x - j=(x2 s

6、in 2x + J M cos 2x) =(x2 sin 2x + xcos 2x-j cos 2Ady) 22=；(a2 sin 2x + xcos2x-，(1 - sin v)x2v = 1(-!- + - (sin 2 + 2cos 2) = - -(sin 2 + 2cos 2)."2 3 3 23 43 .設(shè)尸(cosc,sine),在S =1 APIx| Jcos?a + Rina-ZFlcQsa + a-sina)c c /+ sinc、0/5 .、整理得：S = 8 /(廠(一一sine),V 241+-由三元均值不等式可知：S<8xU(A)3 =3x/3.當(dāng)且

7、僅當(dāng)sina ='時(shí)，等號成立，則IAPIxQpF的最大值為36. 24 ,設(shè)圓。的半徑為2,易知8河=府，BH =與,AM =CM =&, BC = 20 Vio16 + 10 ? 4 "I- - OH"在08”與中，由余弦定理可知：cos48M= 一二-=一嗎8710 衛(wèi)Vio2解得：OH=-=, AM2OH,選項(xiàng)A錯(cuò)誤,在AC中，由中線定理可知：AH?+2 =點(diǎn)+ 4,解得：AH =。 1U 1Uyjj則A" = 2O".選項(xiàng)B正確,j?。 RH CH 9而= =y ：XBOHs4BMA,選項(xiàng)C正確，綜上：選B, C.BM BA M

8、A 曬35 .情形一：當(dāng)只對應(yīng)8中1個(gè)元素時(shí)，此時(shí)“好對”有15x15 = 225對，情形二：當(dāng)只對應(yīng)8中2個(gè)元素時(shí)，設(shè)有q組/(x) = ,f(y),乙組/'(x) = /(y)，則此時(shí) “好對”有。：十月對，且4+7=15,則由柯西不等式可知：/+月2(/”=生, 22情形三:當(dāng)只對應(yīng)8中3個(gè)元素時(shí)，設(shè)有二組f(x) = /(y),仇組x) = /(y),。2組f(x) = /( y),則此時(shí)“好對”有6+C；對，且+&+心=15，則由柯西不等式可知：W+療+72"，+ "：31=75,依次可得：易知當(dāng)對應(yīng)8中5個(gè)元素時(shí)，此時(shí)“好對”的最小值為45,當(dāng)且

9、僅當(dāng)A中每3 個(gè)元素對應(yīng)8中一個(gè)元素時(shí)，等號成立，則“好對”的個(gè)數(shù)的最小值為45.6 . VVceR,全力，使得J ) “")= c),則“外的值域是廣(x)值域的子集， a-bA 選項(xiàng)：/z(x) = 3x2-6.r + 30,+oo), /(x) e R ,滿足題意，?r1B 選項(xiàng)：/(注)=5y,令 x = tana,則 g(a) = -sin 2a(1 + cosZz),(a +1)2當(dāng)sin2a, cos%>0時(shí)，則由四元均值不等式可知：sin2 2a(1 + cos2 2a) = 27x(1+cos26Z)i -Cos2a) <27x(-)4, 34當(dāng)且僅當(dāng)c

10、os2a = g時(shí)，等號成立，./。)曰手，手,/(x)£(0刀，滿足題意,C選項(xiàng)：f(x) = ex+, /(x)eR, ff(x)eR,不滿足題意，D 選項(xiàng)：/'(x) = 2cos(2x + l),r(x)e2,2,不滿足題意,綜上：選A, B.7 .建立平而直角坐標(biāo)系，且。= (1,0), /； = (1,半)，易知點(diǎn)2的終點(diǎn)的軌跡方程為 (x-)2+(y-)2=l,又.,.此時(shí)面需=曰 + ； + 1 =苧.x = my + 28 .設(shè)直線/:x = /y + 2, A(再,M)，4(x”力), AB 中點(diǎn)、為 E ,聯(lián)立，r+3)廣=6整理可得：(/+3)/+4廳

11、一2 = 0,則A5=26(/+ D,廠+3 io I1r 1O 6 , 3(W +l)jw +1 ,.AB 2nu EA = Jl t-x 13-Xr-1= Jl hx 13 1=；, ifu =V nr E V m2機(jī)2+3"+3)|7| EA 小解得：,2=i, .s正xA82=dlx6 = 上£,則ABC的面積為生.A 44229 . NAO3 = 90。，直線45恒過定點(diǎn)(&0),而切線方程為岫：x“+ »。=4 , 則8凡=4,解得：=；.10 . V10004<44444+h<100004444,則3x4444< 1g444

12、4的 < 4 x 4444 , 則。<9x(4444 x 4 + 1)x9 = 159993,情形一：當(dāng)。的位數(shù)為6,則6<1+4+9x4 = 41,情形二：當(dāng)。的位數(shù)小于6,則。<5x9 = 45,由情形一和情形二可知：b<45,情形三：當(dāng)。的位數(shù)為2位時(shí)，則c<3+9 = 12，情形四：當(dāng)。的位數(shù)1位數(shù)時(shí)，則cS9,由情形三和情形四可知：c<2,又4444 三7(mod9), 73 = l(mod9),貝IJ4444”14 三74144 三產(chǎn) x7 三7(mod9), 而 4444"" =a = b = c = 7(mod 9), /. c = 7 .11 .情形一：當(dāng)x = 0時(shí)，此時(shí)尸= -= = 6, Jx2 + V