非線性方程數(shù)值解法及其應(yīng)用

1、非線性方程數(shù)值解法及其應(yīng)用 摘要:數(shù)值計(jì)算方法主要研究如何運(yùn)用計(jì)算機(jī)去獲得數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解的理論和算法。本文主要介紹非線性方程的數(shù)值解法以及它在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用。是直接從方程出發(fā)，逐步縮小根的存在區(qū)間，或逐步將根的近似值精確化，直到滿足問(wèn)題對(duì)精度的要求。我將從二分法、Steffensen加速收斂法、Newton迭代法、弦截法來(lái)分析非線性方程的解法及應(yīng)用。 關(guān)鍵字：非線性方程;二分法；Steffensen加速收斂法；代數(shù)Newton法；弦截法1、 前言隨著科技技術(shù)的飛速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算越來(lái)越顯示出其重要性?？茖W(xué)計(jì)算的應(yīng)用之廣已遍及各行各業(yè)，例如氣象資料的分析圖像，飛機(jī)、汽車(chē)及輪船的外形設(shè)計(jì)，高科技研

2、究等都離不開(kāi)科學(xué)計(jì)算。因此經(jīng)常需要求非線性方程 f(x) = O的根。方程f(x) = O 的根叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn)。由連續(xù)函數(shù)的特性知：若f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且f(a)f(b)O，則f(x) = O在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。這時(shí)稱a,b為方程f(x) = O的根的存在區(qū)間。本文主要是對(duì)在區(qū)間1.2的根的數(shù)值解法進(jìn)行分析，介紹了非線性方程數(shù)值解法的四種方法，從而得到在實(shí)際問(wèn)題中遇到非線性方程根的求解問(wèn)題的解決方法。2、 非線性方程的數(shù)值解法1、 二分法 二分法的基本思想是將方程根的區(qū)間平分為兩個(gè)小區(qū)間，把有根的小區(qū)間再平分為兩個(gè)更小的區(qū)間，進(jìn)一步考察根在哪個(gè)更小的區(qū)間內(nèi)。

3、如此繼續(xù)下去，直到求出滿足精度要求的近似值。 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)O，則a,b是方程f(x)=O 的根的存在區(qū)間，設(shè)其內(nèi)有一實(shí)根，記為。取區(qū)間a,b的中點(diǎn)，并計(jì)算，則必有下列三種情況之一成立：(1) = O,就是方程的根；(2)f(a)f()O，方程的根位于區(qū)間a,之中，此時(shí)令，；(3)f()f(b)0) disp; return;else tol=1;fa=subs(sym(f),findsym(sym(f),a);fb=subs(sym(f),findsym(sym(f),b);root=a-(b-a)*fa./(fb-fa); while (toleps)

4、 r1=root; fx=subs(sym(f),findsym(sym(f),r1); s=fx*fa; if(s=0) root=r1; else if(s0) root=b-(r1-b)*fb/(fx-fb); else root=a-(r1-a)*fa/(fx-fa); end end tol=abs(root-r1)endend(2) 弦截法的MATLAB實(shí)現(xiàn)及分析:采用弦截法求方程在區(qū)間1,2上的根。首先編寫(xiě)程序:function f=f(x) f=2*x3+4*x2-10; 在命令窗口輸入：root=Secant(f,1,2,0.00001)，得結(jié)果x=1.0929.(3) 弦截

5、法的手算: ，可以得以下手算過(guò)程：k0123456121.051.0733967331.0935728171.0929214981.092930127-119-0.47957-0.222145244四、四種方法的比較分析 當(dāng)方程在上有唯一實(shí)根時(shí)二分法肯定是收斂，程序簡(jiǎn)單，且易于估計(jì)誤差的大小。但它的缺點(diǎn)是不能求方程具有偶重根和復(fù)根。從計(jì)算結(jié)果可以看出，Steffensen加速收斂法、代數(shù)Newton法、弦截法的結(jié)果都比之前的二分法要精確。Steffensen加速收斂法的收斂速度是最快的，最慢的是二分法。從整體上看，Steffensen加速收斂法的方法最快有比較精確，Steffensen加速收斂

6、法相對(duì)其他方法是最好的方法。Stefensen加速收斂法：優(yōu)點(diǎn)是不收斂的迭代函數(shù)一般經(jīng)加速后也能獲得收斂，加速效果較為明顯；缺點(diǎn)是要先將其變形，在使用時(shí)不方便。代數(shù)Newton法：優(yōu)點(diǎn)是加速效果明顯，同樣可使不收斂的迭代格式獲得收斂，速度快；缺點(diǎn)是這種方法至少要是二階收斂的，而在重根附近是線性收斂的且重根收斂速度較慢，當(dāng)選取時(shí)要選在某根的附近時(shí)才能收斂到這個(gè)根，有時(shí)會(huì)發(fā)生一個(gè)根跳向另一個(gè)根附近的情況。5、 總結(jié) 在實(shí)際工程應(yīng)用或者“計(jì)算方法”課程的學(xué)習(xí)中，往往會(huì)遇到大量的非線性方程的求解。在理論上有解而又無(wú)法用手工計(jì)算的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在科學(xué)研究和工程技術(shù)中都要用到各種計(jì)算方法。例如在地質(zhì)勘探、汽車(chē)制造、橋梁設(shè)計(jì)、天氣預(yù)報(bào)和漢字設(shè)計(jì)中都有計(jì)算方法的蹤影。通過(guò)對(duì)非線性方程的數(shù)值解法的分析得知：非線性方程的數(shù)值解法是直接從方程出發(fā)，逐步縮小根的存在區(qū)間，或逐步將根的近似值精確化，直到滿足問(wèn)題對(duì)精度的要求。因此對(duì)于非線性方程的數(shù)值解法具有相當(dāng)強(qiáng)的實(shí)際意義。6、 參考文獻(xiàn) 1 劉玲，王正盛. 數(shù)值計(jì)算方法M.科學(xué)出版社，2010. 2 李慶揚(yáng)，關(guān)治，白峰杉. 數(shù)值計(jì)