運(yùn)籌學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

1、運(yùn)籌學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽一、引言一般來(lái)說(shuō)，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽所涉及到的運(yùn)籌學(xué)模型包括數(shù)學(xué)規(guī)劃（線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃），網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化（含網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃技術(shù)），排隊(duì)模型，動(dòng)態(tài)規(guī)劃等，請(qǐng)看下表年份題號(hào)題名模型分類1994A逢山開(kāi)路網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化1995A一個(gè)飛行管理問(wèn)題數(shù)學(xué)規(guī)劃1995B天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃技術(shù)1996A最優(yōu)捕魚策略涉及數(shù)學(xué)規(guī)劃1996B節(jié)水吸引機(jī)涉及動(dòng)態(tài)規(guī)劃1997A零件的參數(shù)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)規(guī)劃1997B橫斷切割涉及數(shù)學(xué)規(guī)劃或網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化1998A投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)數(shù)學(xué)規(guī)劃1998B災(zāi)情巡視路線網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化1999B鉆井布局?jǐn)?shù)學(xué)規(guī)劃2000B鋼管的訂購(gòu)和運(yùn)輸數(shù)學(xué)規(guī)劃和網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化2001B公交車調(diào)度數(shù)學(xué)規(guī)劃

2、2002A車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)涉及數(shù)學(xué)規(guī)劃2003B露天礦生產(chǎn)的車輛安排數(shù)學(xué)規(guī)劃2004A奧運(yùn)場(chǎng)館的設(shè)計(jì)涉及數(shù)學(xué)規(guī)劃2004B電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理涉及數(shù)學(xué)規(guī)劃注：從1999年起，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽開(kāi)始設(shè)置專供大專院校學(xué)生做的C，D題。下面重點(diǎn)介紹運(yùn)籌學(xué)模型的數(shù)學(xué)規(guī)劃。二、數(shù)學(xué)規(guī)劃的一般形式線性規(guī)劃：整數(shù)規(guī)劃：非線性規(guī)劃：三、數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題舉例1 下料問(wèn)題現(xiàn)要用100×50厘米的板料裁剪出規(guī)格分別為40×40 厘米與50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。問(wèn)如何裁剪，才能最省料？解：先設(shè)計(jì)幾個(gè)裁剪方案記 A-40×40；B-50×

3、;20方案1AAB/方案2ABBB/方案3BBBBB注：還有別的方案嗎？顯然，若只用其中一個(gè)方案，都不是最省料的方法。最佳方法應(yīng)是三個(gè)方案的優(yōu)化組合。設(shè)方案i使用原材料xi件(i=1,2,3)。共用原材料f件。則根據(jù)題意，可用如下數(shù)學(xué)式子表示：這是一個(gè)整數(shù)線性規(guī)劃模型。2 運(yùn)輸問(wèn)題現(xiàn)要從兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)（發(fā)點(diǎn)）運(yùn)送庫(kù)存原棉來(lái)滿足三個(gè)紡織廠（收點(diǎn)）的需要，數(shù)據(jù)如下表，試問(wèn)在保證各紡織廠的需求都得到滿足的條件下應(yīng)采取哪個(gè)運(yùn)輸方案，才能使總運(yùn)費(fèi)達(dá)到最??？（運(yùn)價(jià)（元/噸）如下表）工廠 j倉(cāng)庫(kù)i1號(hào)2號(hào)3號(hào)庫(kù)存量（噸）1號(hào)2號(hào)2212345030需求量（噸）401525解：題意即要確定從i號(hào)倉(cāng)庫(kù)運(yùn)到j(luò)號(hào)工廠的原

4、棉數(shù)量。故設(shè)表示從i號(hào)倉(cāng)運(yùn)到j(luò)號(hào)工廠的原棉數(shù)量（噸）f表示總運(yùn)費(fèi).則運(yùn)輸模型為：一般地，對(duì)于有m個(gè)發(fā)點(diǎn)和n個(gè)收點(diǎn)的運(yùn)輸模型為其中ai為i號(hào)發(fā)點(diǎn)的運(yùn)出量，bj為j號(hào)收點(diǎn)的需求量，cij為從i號(hào)發(fā)點(diǎn)到j(luò)號(hào)收點(diǎn)的單位運(yùn)價(jià)。特別當(dāng)時(shí)，存貨必須全部運(yùn)走，故上述約束條件中的可改為等式：3 選址問(wèn)題某地區(qū)有m座煤礦，i# 礦每年產(chǎn)量為ai 噸，現(xiàn)有火力發(fā)電廠一個(gè)，每年需用煤b0噸，每年運(yùn)行的固定費(fèi)用（包括折舊費(fèi)，但不包括煤的運(yùn)費(fèi)）為h0元?，F(xiàn)規(guī)劃新建一個(gè)發(fā)電廠，m座煤礦每年開(kāi)采的原煤將全部供給這兩個(gè)電廠發(fā)電用?，F(xiàn)有n個(gè)備選的廠址。若在j#備選廠址建電廠，每年運(yùn)行的固定費(fèi)用為hj元，每噸原煤從i# 礦運(yùn)送到j(luò)

5、#備選廠址的運(yùn)費(fèi)為cij元(i=1,2,m, j=1,2n)。每噸原煤從i# 礦運(yùn)送到原有電廠的運(yùn)費(fèi)為ci0 (i=1,2,m)。試問(wèn)：1 應(yīng)把新電廠廠址選在何處？2 m座煤礦開(kāi)采的原煤應(yīng)如何分配給兩個(gè)電廠？才能使每年的總費(fèi)用（電廠運(yùn)行的固定費(fèi)用與原煤運(yùn)費(fèi)之和）為最?。磕Ｐ偷慕?1) 變量的設(shè)置為了解決問(wèn)題1，我們使用0-1變量為了解決問(wèn)題2，設(shè)從i#煤礦運(yùn)到j(luò)#備選的廠址的運(yùn)量為xij噸（i=1,2,m，j=0,1,2,n）備選廠址j煤礦i現(xiàn)有電廠 0備 選 廠 址年產(chǎn)量12jn12m年需求量(2)目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)總運(yùn)費(fèi)：（對(duì)不被選中的備選廠址運(yùn)費(fèi)xij,將由約束條件限制為0）.固定費(fèi)用 h

6、0+每年總費(fèi)用 z =(3)約束條件的表達(dá)（i）煤礦產(chǎn)量約束 （ii）舊電廠用煤量約束 （iii）新電廠用煤量約束 記 ，當(dāng)j#備選廠址被選中時(shí)，當(dāng)j#備選廠址沒(méi)被選中時(shí)，綜合表達(dá)為（iv）選址約束 由于只選一個(gè)廠址，所以 (v)非負(fù)及整數(shù)約束 綜合得數(shù)學(xué)規(guī)劃模型：4布點(diǎn)問(wèn)題某市有6個(gè)區(qū)，每個(gè)區(qū)都可建消防站，為了節(jié)省開(kāi)支，市政府希望設(shè)置的消防站最少，但必須保證在該市任何地區(qū)發(fā)生火警時(shí)，消防車能在15分鐘內(nèi)趕到現(xiàn)場(chǎng)。假定各區(qū)的消防站要建的話,就建在區(qū)的中心，根據(jù)實(shí)地測(cè)量,各區(qū)之間消防車行使的最長(zhǎng)時(shí)間如下表:(單位:分鐘)1區(qū)2區(qū)3區(qū)4區(qū)5區(qū)6區(qū)1區(qū)410162827202區(qū)10524321710

7、3區(qū)162441227214區(qū)283212515255區(qū)271727153146區(qū)20102125146請(qǐng)你為該市制定一個(gè)設(shè)置消防站的最節(jié)省的計(jì)劃。建模并求解。解：本題實(shí)際上是要確定各個(gè)區(qū)是否要建立消防站，使其既滿足要求，又最節(jié)省。這自然可引入0-1變量，故設(shè)目標(biāo)是最少。以下考慮約束條件。若1區(qū)發(fā)生火警，按照“消防車要在15分鐘內(nèi)趕到現(xiàn)場(chǎng)”的要求，則l區(qū)和2區(qū)至少應(yīng)有一個(gè)消防站，即。同理得：從而得模型為：再仔細(xì)觀察知，若滿足第一、三個(gè)約束條件，則必然滿足第二、四個(gè)約束條件，故后者是多余的，可省略。從而化簡(jiǎn)得：此模型當(dāng)然可用軟件求解，但由于比較簡(jiǎn)單,故可直接試算。若要求只有一個(gè)，則顯然不可行；若

8、要求只有兩個(gè)，則有唯一可行解，故這就是最優(yōu)解，即只需在2區(qū)和4區(qū)建立消防站。附程序：c=1 1 1 1 1 1a=-1 1 0 0 0 0;0 0 1 1 0 0;0 0 0 1 1 1;0 1 0 0 1 1b=-1 1 1 1v=zeros(1,6)u=1 1 1 1 1 1x fval=linprog(c,a,b,v,u)Optimization terminated.x = 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000fval = 2.00005 配套問(wèn)題設(shè)有n個(gè)車間要生產(chǎn)m種產(chǎn)品，第j車間每天生產(chǎn)第i種產(chǎn)品至多aij 件（即全天只安排生產(chǎn)產(chǎn)品i而

9、不安排生產(chǎn)其他產(chǎn)品時(shí)的最大產(chǎn)量），假設(shè)這m種產(chǎn)品每種一件配成一套，問(wèn)如何安排生產(chǎn)任務(wù)才能使生產(chǎn)出的成套產(chǎn)品最多？（i=1,2,.,m； j=1,2,.,n）（1） 建模方法（一）設(shè)xij車間j安排用于生產(chǎn)產(chǎn)品i的數(shù)量，Z每天生產(chǎn)的成套產(chǎn)品數(shù)目，車間j產(chǎn)品i12jn全廠生產(chǎn)產(chǎn)品I的數(shù)量12i全廠每天生產(chǎn)產(chǎn)品I的總量m車間j每天生產(chǎn)產(chǎn)品I的總量車間j每天生產(chǎn)產(chǎn)品I的總量原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為以下數(shù)學(xué)模型：模型改進(jìn)為：模型問(wèn)題：沒(méi)有將一天的生產(chǎn)時(shí)間約束考慮到！2、建模方法（二）設(shè) xij 車間j安排用于生產(chǎn)產(chǎn)品i的時(shí)間（占全天的比例）Z每天生產(chǎn)的成套產(chǎn)品數(shù)目則aijxij車間j每天生產(chǎn)產(chǎn)品i的數(shù)目。例如：

10、車間2每天至多生產(chǎn)某產(chǎn)品6件，若安排1/3天時(shí)間去生產(chǎn)，則可產(chǎn)出2件），而每天全廠產(chǎn)出產(chǎn)品i的總量。車間j產(chǎn)品i12jn全廠生產(chǎn)產(chǎn)品I的數(shù)量12i全廠每天生產(chǎn)產(chǎn)品I的總量m車間j每天生產(chǎn)產(chǎn)品I的總量車間j每天生產(chǎn)產(chǎn)品I的總量于是則有模型max Z ( )(*) 其中常數(shù)1表示1天。注：(1)此模型著重考慮安排生產(chǎn)的時(shí)間；(2)從實(shí)際情況考慮，安排生產(chǎn)的時(shí)間必須是每件產(chǎn)品耗用生產(chǎn)時(shí)間的整數(shù)倍才合適。例如，每3分鐘生產(chǎn)一件產(chǎn)品，安排5分鐘，也只能生產(chǎn)1件，不能認(rèn)為生產(chǎn)了1.67件。模型（*）沒(méi)有考慮到這些因素，故是不合適的。（2）建模方法（二）改進(jìn)（*）顯然，車間j生產(chǎn)每件產(chǎn)品i的耗用時(shí)間（天）。

11、從以上分析應(yīng)有 (?是非負(fù)整數(shù))從而令 yij=aijxij , yij是非負(fù)整數(shù),表示車間j 每天生產(chǎn)產(chǎn)品i的數(shù)目，將它代入（*）后得max Z(*) 這是一個(gè)整數(shù)線性規(guī)劃模型。注：此模型著重考慮安排生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)目。四、數(shù)學(xué)規(guī)劃在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例1 鉆井布局勘探部門在某地區(qū)找礦。初步勘探時(shí)期已零散地在若干位置上鉆井，取得了地質(zhì)資料。進(jìn)入系統(tǒng)勘探時(shí)期后，要在一個(gè)區(qū)域內(nèi)按縱橫等距的網(wǎng)格點(diǎn)來(lái)布置井位，進(jìn)行“撒網(wǎng)式”全面鉆探。由于鉆一口井的費(fèi)用很高，如果新設(shè)計(jì)的井位與原有井位重合（或相當(dāng)接近），便可利用舊井的地質(zhì)資料，不必打這口新井。因此，應(yīng)該盡量利用舊井，少打新井，以節(jié)約鉆探費(fèi)用。比如鉆一口新

12、井的費(fèi)用為500萬(wàn)元，利用舊井資料的費(fèi)用為10萬(wàn)元，則利用一口舊井就節(jié)約費(fèi)用490萬(wàn)元.設(shè)平面上有n個(gè)點(diǎn)Pi，其坐標(biāo)為(ai,bi),i=1,2,n，表示已有的n個(gè)井位。新布置的井位是一個(gè)正方形網(wǎng)格N的所有結(jié)點(diǎn)（所謂“正方形網(wǎng)格”是指每個(gè)格子都是正方形的網(wǎng)格；結(jié)點(diǎn)是指縱線和橫線的交叉點(diǎn)）。假定每個(gè)格子的邊長(zhǎng)（井位的縱橫間距）都是1單位（比如100米）。整個(gè)網(wǎng)格是可以在平面上任意移動(dòng)的。若一個(gè)已知點(diǎn)Pi與某個(gè)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)Xi的距離不超過(guò)給定誤差（=0.05單位），則認(rèn)為Pi處的舊井資料可以利用，不必在結(jié)點(diǎn)Xi處打新井。 為進(jìn)行輔助決策，勘探部門要求我們研究如下問(wèn)題： 1)假定網(wǎng)格的橫向和縱向是固定的

13、（比如東西向和南北向），并規(guī)定兩點(diǎn)間的距離為其橫向距離（橫坐標(biāo)之差絕對(duì)值）及縱向距離（縱坐標(biāo)之差絕對(duì)值）的最大值。在平面上平行移動(dòng)網(wǎng)格N，使可利用的舊井?dāng)?shù)盡可能大。試提供數(shù)值計(jì)算方法，并對(duì)下面的數(shù)值例子用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。 2)在歐氏距離的誤差意義下，考慮網(wǎng)格的橫向和縱向不固定（可以旋轉(zhuǎn)）的情形，給出算法及計(jì)算結(jié)果。 3)如果有n口舊井，給出判定這些井均可利用的條件和算法（你可以任意選定一種距離）。 數(shù)值例子n=12個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)如下表所示：I123456789101112ai0.501.413.003.373.404.724.725.437.578.388.989.50bi2.003.501.50

14、3.515.50 2.00 6.244.102.014.503.410.80問(wèn)題重述（略）問(wèn)題分析布局問(wèn)題是在一定約束條件下的最優(yōu)化問(wèn)題，勘探部門要求盡可能多地利用舊井，因此我們必須圍繞這個(gè)問(wèn)題來(lái)移動(dòng)網(wǎng)格。問(wèn)題（1）：網(wǎng)格的橫向和縱向是固定的，網(wǎng)格只能平移。如果考慮網(wǎng)格上所有的結(jié)點(diǎn)通過(guò)平移后與舊井位的距離，由于網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)數(shù)較多，運(yùn)算量較大，雖然可以解決問(wèn)題，但并非一個(gè)好的解法。因此我們從舊井位考慮，通過(guò)四舍五入法找到與其相鄰的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)（相互關(guān)系如圖所示），然后我們通過(guò)兩個(gè)控制變量（角度與距離）對(duì)這些結(jié)點(diǎn)進(jìn)行平移，使網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)盡可能多的與舊井位重合。問(wèn)題（2）：網(wǎng)格不固定移動(dòng)，需要我們考慮平移和旋轉(zhuǎn)

15、，對(duì)于旋轉(zhuǎn)我們同樣從舊井位出發(fā)，通過(guò)舊井位與網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的相對(duì)關(guān)系，不難得出：舊井位的旋轉(zhuǎn)是網(wǎng)格旋轉(zhuǎn)的逆過(guò)程，因此我們利用舊井位旋轉(zhuǎn)來(lái)替代網(wǎng)格的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，然后，根據(jù)問(wèn)題（1）的方法，再解決網(wǎng)格平移問(wèn)題，這樣就將網(wǎng)格的移動(dòng)問(wèn)題簡(jiǎn)化成為舊井位的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題和網(wǎng)格的平移問(wèn)題。問(wèn)題（3）：以上兩個(gè)問(wèn)題都是在正方形網(wǎng)格情況下進(jìn)行的求解，在此問(wèn)中我們不妨假設(shè)網(wǎng)格是長(zhǎng)方形的，通過(guò)調(diào)整長(zhǎng)和寬的比例關(guān)系使n個(gè)舊井位都可以被利用。因此問(wèn)題（3），就是在問(wèn)題（2）的基礎(chǔ)上，使n個(gè)舊井位都可以被利用的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬比例問(wèn)題。具體實(shí)現(xiàn)方法如下：把目標(biāo)函數(shù)值定為12，通過(guò)對(duì)問(wèn)題（2）的反向求解來(lái)確定長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬比例。模型假設(shè)和

16、符號(hào)說(shuō)明模型假設(shè)：1 若一個(gè)舊井位與某個(gè)網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)不超過(guò)0.05單位，則視為重合；2 網(wǎng)格是足夠大且平鋪的；3 模型采用直角坐標(biāo)系，在網(wǎng)格未移動(dòng)時(shí)，網(wǎng)格的橫向和縱向就是直角坐標(biāo)系的兩坐標(biāo)軸方向。4 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)；5 長(zhǎng)方形網(wǎng)格的長(zhǎng)是1單位。符號(hào)說(shuō)明：ii舊井位,i=1,2,12;Pi第i個(gè)舊井位;ai,bi第i個(gè)舊井位的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo);Ai,Bi第i個(gè)舊井位旋轉(zhuǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo);Wi與第i個(gè)舊井位相鄰的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn);xi,yi與第i個(gè)舊井位相鄰的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo);xli,yli與第i個(gè)舊井位相鄰的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)移動(dòng)后的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo);di第i個(gè)舊井位與其相鄰的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)距離;s網(wǎng)格

17、平移長(zhǎng)度;an網(wǎng)格平移角度;bn舊井位點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度;pi第i個(gè)舊井位到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離;qi第i個(gè)舊井位與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的傾角;T可被利用的舊井位數(shù);ti第i個(gè)舊井位數(shù)是否被利用的函數(shù)(1表示可被利用;0表示不可被利用);c長(zhǎng)方形的寬與長(zhǎng)的比例;um, tm分別為寬與長(zhǎng)之比的上、下線.模型的建立我們的目標(biāo)是使舊井位利用數(shù)最多的T, 它由ti(d)決定，即T=。而由要求知 ti(d)= (1)d(i)的表達(dá)式在下面給出。由于問(wèn)題（1）是問(wèn)題（2）的特殊情況，所以這里只給出問(wèn)題（2）的模型。我們先將舊井位進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。第i個(gè)舊井位到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為p(i)=. (2)第i個(gè)舊井位與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的傾角為q(i

18、)=arctan(b(i)/a(i). (3)所以第i個(gè)舊井位旋轉(zhuǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別為A(i)=p(i)cosq(i)+bn(i), B(i)=p(i)sinq(i)+bn(i) (4)(bn舊井位點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度)。然后用四舍五入法求舊井位的相鄰網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：x(i)=A(i)+0.5, y(i)=B(i)+0.5 (5)由此得出網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)平移后的坐標(biāo)為xl(i)=x(i)+s*cos(an), yl(i)=y(i)+s*sin(an) (6)所以，網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)與舊井位的誤差距離為d(i)= (7)綜上所述，本問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可表示為：目標(biāo)函數(shù)： maxT= 約束條件是滿足(1)-(7)式。注：以上模型

19、說(shuō)明：當(dāng)bn=0, d(i)=max|xl(i)-A(i)|, |yl(i)-B(i)|時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的解即為問(wèn)題（1）的解。模型的求解我們的目標(biāo)是使目標(biāo)函數(shù)最大化，這是一個(gè)有約束的優(yōu)化問(wèn)題，我們采用窮舉法來(lái)求它的極值。所謂窮舉法就是逐點(diǎn)確定尋優(yōu)方向，然后利用固定的步長(zhǎng)，進(jìn)行搜索的方法。為使目標(biāo)函數(shù)值最大，我們列出主要步驟如下：1定一個(gè)能包含所有解的初始范圍與固定的搜索步；2據(jù)運(yùn)行時(shí)間，再對(duì)搜索步長(zhǎng)用窮舉法進(jìn)行精度調(diào)整。根據(jù)這種方法我們得到了問(wèn)題答案：?jiǎn)栴}（1）：最多可利用的舊井位數(shù)t=4, 網(wǎng)格的平移方向an0=5.400000(弧度)，網(wǎng)格的平移距離s0=0.583000(單位)；問(wèn)題（2）

20、：最多可利用的舊井位數(shù)t=6, 網(wǎng)格的平移方向an0=2.760000(弧度)，網(wǎng)格的平移距離s0=0.230000(單位), 網(wǎng)格旋轉(zhuǎn)角度：bn0=-0.780000(弧度)（舊井點(diǎn)的相對(duì)旋轉(zhuǎn)角度為：5.500000弧度）。模型的改進(jìn)降落傘的選擇一、問(wèn)題的重述：為向?yàn)?zāi)區(qū)空投一批救災(zāi)物資共2000kg，需選購(gòu)一些降落傘。已知空投高度為500m，要求降落傘落地時(shí)的速度不能超過(guò)20m/s，降落傘的傘面是半徑為r的半球面，用每根長(zhǎng)L共16根繩索連接的重m位于球心正下方球面處，如下圖：每個(gè)降落傘的價(jià)格由三部分組成，傘面費(fèi)用C1由傘的半徑r決定，見(jiàn)下表；繩索費(fèi)用C2由繩索總長(zhǎng)度及單價(jià)4元每米決定，固定費(fèi)

21、用C3為200元。r22.533.54C1651703506601000降落傘在降落過(guò)程中除受到重力外，還受到空氣的阻力，可以認(rèn)為與降落的速度和傘的面積的乘積成正比。為了確定阻力系數(shù)，用半徑r=3m，載重m=300kg的降落傘從500m高度作降落試驗(yàn)，測(cè)得各個(gè)時(shí)刻的高度x見(jiàn)下表：t(s)036912151821242730x(m)500470425372317264215160108551試確定降落傘的選購(gòu)方案，即共需多少個(gè)傘，每個(gè)傘的半徑多大（在給定半徑的傘中選），在滿足空投要求的條件下，使費(fèi)用最低。二、問(wèn)題的分析：根據(jù)題意，每種傘的價(jià)格是確定的。要確定降落傘的選購(gòu)方案，即共需多少個(gè)傘，每個(gè)

22、傘的半徑多大（在給定半徑的傘中選），在滿足空投要求的條件下，使費(fèi)用最低。首先，必須知道每種傘在滿足空投要求的條件下最大的載重量M(r)，然后就是一個(gè)線性整數(shù)規(guī)劃了。欲得到M(r)，必須先求出空氣阻力系數(shù)k，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程得出M(r)。最后運(yùn)用分支定界法求解線性整數(shù)規(guī)劃，得出問(wèn)題要求的解。三、基本假設(shè)：1救災(zāi)物資2000kg可任意分割；2降落傘落地時(shí)的速度不能超過(guò)20m/s；3降落傘與繩索的質(zhì)量可以忽略；4降落傘下落過(guò)程中，只受到重力和空氣阻力的作用；5空氣阻力的阻力系數(shù)k是定值，與其他因素?zé)o關(guān)。四、符號(hào)說(shuō)明：M(r)- 半徑為r的傘在滿足空投要求的條件下最大的載重量；t- 降落傘從開(kāi)始下降開(kāi)

23、始記時(shí)的時(shí)間；k-空氣阻力系數(shù)H(t)-降落傘從降落位置到t時(shí)刻所下降的距離；m-降落傘負(fù)重重量；g-重力加速度；s-降落傘傘面面積；nr-選購(gòu)的半徑為r的降落傘的個(gè)數(shù)五、模型的建立與求解1、計(jì)算每種傘的單價(jià)如下：?jiǎn)挝粸樵?，C2=半徑r22.533.54C1651703506601000C2181.0193226.2742271.5290316.7838362.0387C3200200200200200C446596.3821.51176.81562C(取整)446596822117715622、 定空氣阻力系數(shù)k。對(duì)給定的r=3m，m=300kg，取g=9.8m/s2，s=2r2，有數(shù)據(jù)t(

24、s)036912151821242730x(m)500470425372317264215160108551處理得：t(s)036912151821242730H(m)5003075128183236285340392445499作出H(m)t(s)的關(guān)系圖1:圖1從圖1可看出：一方面，H(m)t(s)在后階段基本是線性關(guān)系，即降落傘作勻速運(yùn)動(dòng)。從mg=kVs有又由于若在500米的物體做勻速運(yùn)動(dòng)，則，代回mg=kVs中，估算出 k=2.9。另一方面，根據(jù)題意，物體在降落過(guò)程中一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)是不可能的。題中注意到：降落傘在下降過(guò)程中只受到重力和空氣阻力的作用，而且初速度為0，由牛頓第二定理知

25、：， （1）解得: （2）由（2）式，并代入k=2.9，r=3m，m=300kg，取g=9.8m/s2，s=2r2，作出下圖2圖2從圖2可以看出當(dāng)時(shí)，V(t)迅速增長(zhǎng)，但由于負(fù)項(xiàng)是成負(fù)指數(shù)衰減的，所以很快就接近極限值mg/ks。當(dāng)時(shí)，所以9秒以后可以看作近似的勻速運(yùn)動(dòng)。下面就9秒以后的數(shù)據(jù)運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行線性擬合。設(shè)H(t)=Vt+b+，其中服從正態(tài)分布。Matlab程序如下：x=9 12 15 18 21 24 27 30;H=128 183 236 285 340 392 445 499;P=polyfit(x,H,1)從而得到p=17.5794 29.2976，所以V=17.5794(

26、m/s)，并由mg=kVs得到k=2.9575。3、 瞬時(shí)速度與高度設(shè)降落傘從降落位置到t時(shí)刻所下降的距離為H (t)，則有 V(t) V(t) S0 t0 t S=H(t0)= （3）積分求得 （4）4、求半徑為r的降落傘在滿足空投要求的條件下最大的載重量M(r).與直接相關(guān)，也與相關(guān)。越大，則越大。由（2）式知：V(m)是關(guān)于m的增函數(shù)。當(dāng)最大時(shí)，也達(dá)到最大，即為最大的載重量。特別的，在給定從500m的高空空投時(shí)，降落傘落地瞬間的速度在給定g, k, s后又有等式約束H(t)=500，即的情況下，V(m)是關(guān)于m的增函數(shù)；反之，其反函數(shù)也是關(guān)于V的增函數(shù)。所以要求半徑為r的降落傘在滿足空投要求的條件下最大的載重量M(r)，就是要在V取最大值時(shí)取得，即取V=20m/s時(shí)求出指定半徑r的M(r)，于是得到如下方程組： （5）由此導(dǎo)出： （6）如前所述，取H(t)=500，V=20m/s，得到方程：