導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，復(fù)習(xí)中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，縱觀各地的高考試卷，大多數(shù)以一個(gè)大題的形式考察這部分內(nèi)容，內(nèi)容主要是與單調(diào)性、最值、切線這三方面有關(guān)。而其中的切線方面的求法涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，學(xué)好了它對(duì)其數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)及貫穿運(yùn)用有很大的幫助，因此在復(fù)習(xí)時(shí)，有必要再對(duì)其進(jìn)行專題復(fù)習(xí)。學(xué)生分析學(xué)生雖然已經(jīng)學(xué)完了導(dǎo)數(shù)，也對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義有了一定的認(rèn)識(shí)，但由于學(xué)生容易忽略對(duì)點(diǎn)與曲線位置關(guān)系的判斷，并對(duì)點(diǎn)在曲線外的求解方法還不能熟練掌握。因此有必要對(duì)此內(nèi)容進(jìn)行專題訓(xùn)練使學(xué)生能更好地掌握。教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何

2、意義解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。2.方法與過(guò)程：通過(guò)探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生自主探究和解決問(wèn)題的能力，鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)。3.情感與態(tài)度：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義引入問(wèn)題，利用探究題、開(kāi)放性題深化了對(duì)該知識(shí)的理解，借助于多媒體教學(xué)手段，給學(xué)生提供了思維的直觀想象。通過(guò)學(xué)生主動(dòng)參與，體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，給學(xué)生創(chuàng)造成功的機(jī)會(huì)，使他們愛(ài)學(xué)、會(huì)學(xué)、學(xué)會(huì)。教學(xué)重點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn) 過(guò)曲線外一點(diǎn)求曲線的切線方程。教學(xué)準(zhǔn)備 多媒體輔助教學(xué)（利用實(shí)物投影進(jìn)行教學(xué)）教學(xué)方法 啟發(fā)探究式（教師設(shè)問(wèn)引導(dǎo)，學(xué)生自主探究，合作解決）教學(xué)過(guò)程 求過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線方程一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

3、，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：判斷函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用判斷函數(shù)的極大（小）值求函數(shù)的最大（?。┲瞪钪械膬?yōu)化問(wèn)題求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)入：本節(jié)課重點(diǎn)復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用 設(shè)計(jì)意圖：由于學(xué)生回憶以往知識(shí)，用實(shí)物投影儀以框圖的形式給出，讓學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)有一個(gè)全面的了解，形成腦圖。引導(dǎo)學(xué)生從“整體”到“局部”再到“整體”的認(rèn)知規(guī)律，是高三專題課“整體化”的教學(xué)思想的體現(xiàn)。二、探索研究，引導(dǎo)歸納活動(dòng)一：探究求曲線上一點(diǎn)的切線方程的方法嘗試題： 課本P123例3：已知曲線y=x3 上一點(diǎn) p(2,)，求點(diǎn)p處的切線方程。分析：關(guān)鍵求切線的斜率。解法：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得y=x2，則

4、=22=4。所以，在點(diǎn)p處的切線方程是y-=4(x-2) ，即12 x-3y-16=0。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課本中的例題創(chuàng)造導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用的環(huán)境 ，為探究題作鋪墊?；顒?dòng)二：探究過(guò)曲線外一點(diǎn)求曲線方程的方法。探究題：求曲線 C:y=x3-3x過(guò)點(diǎn) P(0,16)的切線方程。分析：要注意到該點(diǎn)在曲線外，解此題的關(guān)鍵是將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在曲線上的問(wèn)題。解法一：點(diǎn)斜式（常規(guī)法）設(shè)過(guò)點(diǎn)A(0,16)且與曲線y=x3-3x相切的切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0,y0），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：=3x2-3得k=(x0)=3x02-3，由直線方程的點(diǎn)斜式得 y-16=(3x02-3)（x-0）又（x0,y0）在其上y0=x03-

5、3x0 。 所以 x03-3x0=3x03-3x0=16，2x03=-16 ， x0=-2 ， 故所求切線方程為9x-y+16=0。解法二：兩點(diǎn)斜率（公式法）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0,y0）則=3x02-3，又 y0=x03-3x0 ，所以 x03-3x0-16=3x03-3x0 ， 解得x0=-2。故所求切線的方程為9x-y+16=0。設(shè)計(jì)意圖 ：探究題旨在給不同層次的學(xué)生留有學(xué)習(xí)的空間，培養(yǎng)獨(dú)立思考，善于思考的好習(xí)慣。三拓展探索，開(kāi)放思維開(kāi)放題：求曲線y=4x2上的點(diǎn)到直線y=2x-1的距離的最小值。分析:法一：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求曲線上哪一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為2。法二：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

6、的判斷以及求解問(wèn)題。法三：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值問(wèn)題。解法一（導(dǎo)數(shù)法）：設(shè)點(diǎn)（x0,y0）即（x0,4y0）到直線y=2x-1的距離最小，亦即該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為2。所以，|x=x=8x0=2,所以x0= ， y0=4x02=4×=。 又（，）到直線y=2x-1的距離d=。解法二（判別式法）：設(shè)過(guò)曲線y=4x2上的點(diǎn)且與直線y=2x-1平行的曲線的切線方程為y=2x+b(或設(shè)與直線y=2x-1平行的曲線的切線方程為y=2x+b)，由 得4x2-2 x-b=0由該直線與曲線相切得=0，即=（-2）2-4×4×（-b）=0， 4+16b=0，16b=-4， b=-，故

7、切線方程為2x-y-=0 此直線與直線2x-y-1=0間的距離為d=。解法三（公式法）：設(shè)曲線y=4x2上點(diǎn)（x0,y0）到直線y=2x-1的距離為d，則由到直線的距離公式有d=，當(dāng)x0=時(shí)，dmin=。設(shè)計(jì)意圖：此開(kāi)放性題借助數(shù)形結(jié)合，提供思維想象載體，使問(wèn)題更直觀，利用轉(zhuǎn)化思想通過(guò)不同的角度和途徑解決一個(gè)共同的研究，旨在促進(jìn)前后知識(shí)的融會(huì)貫通，發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)由師生共同完成。四、總結(jié)轉(zhuǎn)新 先由學(xué)生概括總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，然后教師補(bǔ)充。1.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求過(guò)一點(diǎn)的曲線的切線方程時(shí)，首先要判斷點(diǎn)與切線的位置關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)不在曲線上時(shí)，要注意轉(zhuǎn)化為總在曲線上的求解。2.

8、在解靈活性較強(qiáng)的問(wèn)題時(shí)，要注意選擇適當(dāng)、最優(yōu)方法來(lái)解決以便于取得最佳效果。3.導(dǎo)數(shù)時(shí)高考考查內(nèi)容，同學(xué)們要引起足夠的重視。設(shè)計(jì)意圖：使知識(shí)條理化、系統(tǒng)化。五、布置作業(yè)1.求曲線C：y=x2+x過(guò)點(diǎn)p(1,1)點(diǎn)的切線方程。2.（04 天津）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x 在x=1處取得極值。（1）討論f(1)和f(-1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值。（2）過(guò)點(diǎn)A(0,16)作曲線y=f(x)切線，求此切線方程。設(shè)計(jì)意圖：鞏固和發(fā)展所學(xué)知識(shí)。六、板書(shū)設(shè)計(jì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用求點(diǎn)在曲線上的切線方程點(diǎn)在曲線外的切線方程嘗試題開(kāi)放性題探究題七、教學(xué)反思（略）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)案例摘要 導(dǎo)數(shù)是高

9、中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，復(fù)習(xí)中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，縱觀近年來(lái)各地的高考試題，大多數(shù)以一個(gè)大題的形式考察這部分內(nèi)容，內(nèi)容主要與單調(diào)性、最值、切線這三個(gè)方面有關(guān)。本文通過(guò)一個(gè)“求過(guò)一點(diǎn)的曲線的切線方程”的問(wèn)題，學(xué)生圍繞這個(gè)問(wèn)題，自主學(xué)習(xí)、合作探究、親自嘗試接受問(wèn)題的挑戰(zhàn)，充分展示自己的觀點(diǎn)和見(jiàn)解，提高學(xué)生利用以學(xué)知識(shí)去主動(dòng)獲取知識(shí)的能力。組織學(xué)生參與“提出問(wèn)題辨析問(wèn)題探索解決總結(jié)歸納拓展升華”的學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程，利用多媒體演示、變式練習(xí)等激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神，有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新

10、意識(shí)和實(shí)踐能力。關(guān)鍵句 教學(xué)案例 導(dǎo)數(shù) 應(yīng)用 自學(xué)預(yù)習(xí) 實(shí)踐能力 多媒體 變式訓(xùn)練 開(kāi)放性題一、 案例1. 提出問(wèn)題，誘發(fā)思考師 同學(xué)們好，今天我們接著學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，首先嘗試練習(xí)這道題：求曲線C：y=x2+x過(guò)P（1,1）點(diǎn)的切線方程。哪位同學(xué)上臺(tái)板演呢？（一個(gè)學(xué)生上臺(tái)板演，學(xué)生動(dòng)手求解，求解中允許與周圍同學(xué)討論，幾分鐘后）。2. 問(wèn)題辨析，喚起回憶。師 大家解出來(lái)了么？解出來(lái)的同學(xué)請(qǐng)看黑板，是否和這位同學(xué)意見(jiàn)一樣。生 我和他的想法不一樣，我認(rèn)為點(diǎn)p不在該曲線C上,所以不能用過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線方程的求法來(lái)解。師 很好，請(qǐng)同學(xué)們看大屏幕。（用多媒體演示點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系的情形）師 那你是怎么解

11、的？生 我思考了半天，但沒(méi)有解出來(lái)。師 你剛才的思路很好，是否能把此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“求曲線上一點(diǎn)的切線方程的方法來(lái)求解呢？”請(qǐng)大家認(rèn)真觀察圖像。（用多媒體演示點(diǎn)從曲線上到曲線外的過(guò)程）3. 探索解決，分組探究。師 請(qǐng)同學(xué)們分組探究一下該問(wèn)題（學(xué)生按小組開(kāi)始交流討論，共同探究，過(guò)幾分鐘后）師 哪位同學(xué)上臺(tái)來(lái)修改（兩個(gè)學(xué)生主動(dòng)上臺(tái)板演，教師在巡視中發(fā)現(xiàn)，教師的提示起到了重要的作用，臺(tái)上這兩位學(xué)生求解過(guò)程如下：）生1 設(shè)切點(diǎn)為(x1,y1),因?yàn)?2x+1,所以切線斜率為k=|x=x=2x1+1故切線方程為y-y1=(2x1=1)（x-x1）.則1-（x12+x1）=(2x1+1)(1-x1)解得， x

12、1=0或x1=2 故所求方程為y=x及y=5x-4生2 設(shè)切點(diǎn)為（x0,y0）,因?yàn)?2x+1，所以切線斜率為k=|x=x=2x0+1又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)（x0,y0），與（1，1）兩點(diǎn)的斜率k=,所以2x0+1=整理得2x02-x0=y0,又由y0=x02+ x0得2x02-x0= x02+ x0,解得 x0=0或x0=2 ，故所求切線方程為y=x或y=5x-4 。（教師讓這兩個(gè)同學(xué)把各自的求解思路作匯報(bào)后，作出點(diǎn)評(píng)4.總結(jié)歸納，鞏固加深 師 在解此類題時(shí)，應(yīng)先判斷該點(diǎn)是否在曲線上，若點(diǎn)不在曲線上則轉(zhuǎn)化為在曲線上的問(wèn)題來(lái)解決，本題可用常規(guī)法解，也可用公式法求解。下面請(qǐng)同學(xué)們?cè)囎鲞@道變式訓(xùn)練題， 求曲線

13、C: y=x3-3x,過(guò)p(0,16)點(diǎn)的切線方程（學(xué)生動(dòng)手解答，教師巡回指導(dǎo)，過(guò)幾分鐘后） 師 哪位同學(xué)上臺(tái)展示一下你的思路和過(guò)程？（一個(gè)同學(xué)上臺(tái)講解）生甲由題可判斷P點(diǎn)不在曲線C上，若設(shè)切點(diǎn)為（x0,y0）,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線斜率k=3x02-3,又由直線方程的點(diǎn)斜式得，切線方程為y-16=(3x02-3)(x-0) 因?yàn)椋▁0,y0）在該曲線上，所以y0=x03-3x0,于是得 x03-3x0= (3x02-3)x0=16,解得x0=-2,進(jìn)而求出所求切線方程為9x-y+16=0師 非常好，同學(xué)們還有其它解法嗎？（另一個(gè)同學(xué)主動(dòng)上臺(tái)）生乙 因?yàn)辄c(diǎn)p不在曲線C上，可設(shè)切點(diǎn)為（x0,y0

14、），由=3x2-3,得斜率k=3x02-3,又過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式得k=所以= 3x02-3，所以x03-3x0-16=3x03-3x0. 解得x0=-2, 故所求切線方程為9x-y+16=0 師 真棒，大家掌聲鼓勵(lì)一下這兩位同學(xué)（教室里一片掌聲）5拓展延伸，升華提高師 下面請(qǐng)同學(xué)們?cè)倬毩?xí)一道開(kāi)放性題：求曲線y=4x2 上的點(diǎn)到直線y=2x-1 的距離的最小值。請(qǐng)同學(xué)們分組討論，相互交流（教室中學(xué)生按小組交流討論，共同探究，過(guò)幾分鐘后）師 每小組用你們自己的方法試一下組1（設(shè)點(diǎn)（x0,y0）即（x0,4y0）到直線y=2x-1的距離最小，亦即該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為2。所以，|x=x=8x0=2,所以x0

15、= ， y0=4x02=4×=。 又（，）到直線y=2x-1的距離d=。組2 設(shè)過(guò)曲線y=4x2上的點(diǎn)且與直線y=2x-1平行的曲線的切線方程為y=2x+b(或設(shè)與直線y=2x-1平行的曲線的切線方程為y=2x+b)，由 得4x2-2 x-b=0由該直線與曲線相切得=0，即=（-2）2-4×4×（-b）=0， 4+16b=0，16b=-4， b=-，故切線方程為2x-y-=0 此直線與直線2x-y-1=0間的距離為d=。組3設(shè)曲線y=4x2上點(diǎn)（x0,y0）到直線y=2x-1的距離為d，則由到直線的距離公式有d=,當(dāng)x0=時(shí)，dmin=.師 棒極了，大家注意到了沒(méi)

16、有？第一組：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求曲線上哪一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為2。第二組：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷以及求解問(wèn)題。第三組：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值問(wèn)題。此類題解法靈活多樣，同學(xué)們要注意選擇適當(dāng)、最優(yōu)的方法來(lái)解題，以便取得最佳效果。（學(xué)生概括總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，然后教師補(bǔ)充說(shuō)明）二、 案例分析與反思1. 教學(xué)案例以探究為主線，采用問(wèn)題教學(xué)模式，讓他們自己去體驗(yàn)探索的艱辛和體會(huì)成功的喜悅，真正將學(xué)生置于教育教學(xué)的主體地位，充分發(fā)揮每個(gè)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造潛能，并引導(dǎo)學(xué)生討論探索性問(wèn)題，符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，體現(xiàn)了新課程“倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式”，為學(xué)生形式積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式創(chuàng)造有利的條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣等教學(xué)理念。2. 本課的重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。為了培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，借鑒布魯納的發(fā)