平行線與相交線

1、平行線與相交線（第一講）一、知識要點(diǎn)分析1、余角、補(bǔ)角的概念和性質(zhì)（1）如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角.（2）如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補(bǔ)角.（3）已知AOOB，CODO，找出圖形中互余的角和相等的角AOC與BOC互余，BOD與BOC互余，且AOC=BOD.（4）直線AB，CD相交于O，找出圖形中兩組互補(bǔ)的角和一組相等的角AOC與BOC互補(bǔ)，BOD與BOC互補(bǔ)，且AOC=BOD.總結(jié)得：同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等2、對頂角的概念與性質(zhì)如圖所示，兩條直線相交形成了1，2，3，4，其中1與3有公共頂點(diǎn)，它們的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫對頂角。2與

2、4也是對頂角。說明：對頂角必須具備的兩個要素：1）有公共頂點(diǎn)；2）兩邊互為反向延長線。對頂角相等是對頂角的重要性質(zhì)。這個性質(zhì)比補(bǔ)角的性質(zhì)應(yīng)用得還要廣泛。3、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念要認(rèn)清、理解同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的概念，我們可以通過理解三線八角來理解這三類角。（1）同位角，如圖，1和7位于直線CD的同側(cè)，又分別在兩直線交點(diǎn)的左上方，所以稱之為同位角。在圖中，3與5，2與6，4與8都具有像1與7這樣的位置關(guān)系，所以它們都是同位角。（2）內(nèi)錯角，這里的“錯”字與“犬牙交錯”中的“錯”含義相同，指的是在截線的異側(cè)，在兩條被截線的內(nèi)部，圖中3與6，4與7都是內(nèi)錯角。（3）同旁內(nèi)角，顧名思義，

3、“同旁內(nèi)角”即兩角要在截線的同一旁且是在兩被截線的內(nèi)部。圖中3與7，4與6都是同旁內(nèi)角。（4）注意了，有時在三線八角圖形中的某條直線，甚至三條直線只有“半截”，這時辨認(rèn)同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的難度稍大一些，不過也只是大同小異。4、兩直線平行的條件兩條直線平行的條件如下：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.簡單地說就是：同位角相等，兩直線平行； 內(nèi)錯角相等，兩直線平行； 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.二、典型例題余角和補(bǔ)角例1. 已知=68

4、6;，則的余角等于_.【思路分析】 若兩個角的和為直角，則稱這兩個角互為余角，所以的余角為90°68°=22°. 解：22°例2. 已知一個角的補(bǔ)角比這個角的余角的3倍大10°，求這個角的度數(shù).【思路分析】解這類型的幾何題時，常設(shè)未知數(shù)用列方程（或方程組）的方法去解.即用代數(shù)方法解決幾何問題.解：設(shè)這個角的度數(shù)為x°根據(jù)題意，得180x=3（90x）+10解得 x=50答：這個角的度數(shù)為50°.方法與規(guī)律：解決這類問題的關(guān)鍵是能夠正確列方程（或方程組），借助方程思想來解決問題. 對頂角例3. 如圖所示，a、b、c三條直線相交

5、于一點(diǎn)，那么你認(rèn)為圖中的1、2、3從小到大的排列順序是_ _.【思路分析】本題是比較角的大小關(guān)系，實質(zhì)是考查對頂角及互余互補(bǔ)角的知識。在圖中2與70°是對頂角，所以2=70°；3與60°是對頂角，所以3=60°；在圖中2+3+1的對頂角等于180°，所以1的對頂角等于180°60°70°=50°，所以1=50°。所以1<3<2. 解：1<3<2例4. 如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，EOC=80°，OA平分EOC，求BOD的度數(shù). 【思路分析】要求BOD的度數(shù)，

6、從圖中可知：只需求出AOC的度數(shù).因為AOC與BOD是由直線AB與CD相交而構(gòu)成的對頂角.由已知：OA平分EOC，可知：AOC=EOC，而EOC已知，則BOD即可求出.解：OA平分EOC，AOC=EOC.EOC=80°，AOC=40°.BOD=AOC=40°.方法與規(guī)律：根據(jù)對頂角相等，把圖形中的對頂角相互轉(zhuǎn)換或者等量代換，以便求未知角的度數(shù). 直線平行的條件 例5. 如圖所示，已知B=40°，BCD=71°，D=31°，試探究AB與DE的位置關(guān)系. 【思路分析】在同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系是平行和相交，本題要想說明兩直線的位置關(guān)系，

7、要引一條輔助線，在BCD內(nèi)部作BCF=40°，這樣利用內(nèi)錯角相等分別來說明FCAB，F(xiàn)CDE.解：如圖所示，在BCD內(nèi)部作BCF=40°，因為B=40°（已知），所以BCF=B，所以FCAB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），又因為BCD=71°，D=31°（已知），所以DCF=BCDBCF=71°40°=31°=D，所以FCDE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），所以ABDE（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行）. 方法與規(guī)律：根據(jù)題目條件找出同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)系，以此來說明兩直線的位置關(guān)系.例6.

8、 如圖所示，ABBC于點(diǎn)B，BCCD于點(diǎn)C，1=2，那么EBCF嗎？為什么？【思路分析】根據(jù)垂直關(guān)系，可知1與3互余， 2與4互余，由互余的性質(zhì)，得出3=4，即BECF.解：EBCF，理由：因為ABBC于點(diǎn)B，BCCD于點(diǎn)C（已知），所以ABC=BCD=90°（垂直的概念），即1+3=2+4=90°，因為1=2（已知），所以3=4（等角的余角相等），所以EBCF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）. 例7. 如圖所示，已知1=2，請你添上一個適當(dāng)?shù)臈l件，使ABCD. 【思路分析】本題答案不惟一，判定兩條直線平行，要緊扣兩條直線被第三條直線所截形成的同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

9、等條件進(jìn)行說明. 解：EBD=FDN三、檢測試題（一）、選擇題1. 下列說法中正確的是（ ）A. 任何一個角都有余角 B. 一個角的余角一定是銳角C. 一個角的余角可能是銳角，也可能是鈍角 D. 以上答案都不對2. 下列說法中正確的是（ ）A. 有公共頂點(diǎn)的角是對頂角 B. 相等的角是對頂角C. 對頂角必相等 D. 不是對頂角的角不相等3. 如圖所示，同位角共有（ ）A. 6對 B. 8對 C. 10對 D. 12對4. 如圖所示，1與2是內(nèi)錯角的是（ ）5. 若一個角的補(bǔ)角是這個角的余角的3倍，則這個角是（ ）A. 30° B. 45° C. 60° D. 75

10、°6. 如圖，12，那么2與（12）之間的關(guān)系是（ ） A. 互余 B. 互補(bǔ) C. 和為45° D. 和為22.5°7. 如圖所示，與C互為同旁內(nèi)角的角有（ ）A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個8. 如圖所示，下列條件中不能判定DEBC的是（ ）A. 1=C B. 2=3 C. 1=2 D. 2+4=180°9. 如圖所示，點(diǎn)E在AD的延長線上，下列條件中能判斷BCAD的是（ ）A. 3=4 B. A+ADC=180° C. 1=2 D. A=510. 在一場足球賽中，一隊員帶球經(jīng)過兩次拐彎躲過防守后，仍在原來方向上平行前進(jìn)，那么

11、該隊員這兩次拐彎的角度可能是A. 先向左拐45°，后向右拐45° B. 先向左拐45°，后向右拐135°C. 先向左拐45°，后向左拐45° D. 先向左拐45°，后向左拐135°（二）、沉著冷靜耐心填11. 如果A35°18，那么A的余角等于 . 12. 如圖，若12，則_，理由是_；若14，則_，理由是_；若2_180°，則cd，理由是_.13. 如圖所示，DCB和ABC是直線_和_被直線_所截而成的_角.14. 如圖所示，A=105°，B=75°，則_，理由是_. 15. 如圖所示，1=2，則_，理由是_. 16. 如圖所示，已知A=1，D=2，則AB與CD的位置關(guān)系是_. 17. 如圖所示，請?zhí)顚懸粋€你認(rèn)為恰當(dāng)?shù)臈l件：_，使ADBC. 18. 據(jù)圖填空. 2條直線相交 3條直線相交于一點(diǎn) 4條直線相交于一點(diǎn) n條直線相交于一點(diǎn)對頂角有_對 對頂角有_對 對頂角共有_對 對頂角共有_對（用含n的式子表示）（三）、神機(jī)妙算用心做19. 如圖，直線AB、CD相交于O，已知AOC75°，OE把BOD分成兩部分，且