高等數(shù)學考研知識點總結(jié)6

1、第六講 一元函數(shù)微積分的應用一、考試要求1、理解（了解）函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應用。2、會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點，會求水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。3、了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑（*）4、掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力、質(zhì)心等）及函數(shù)的平均值。（數(shù)三、四只要求面積、旋轉(zhuǎn)體的體積及簡單的經(jīng)濟應用）二、 導數(shù)的應用主要涉及如下幾個方面1、求曲線的切線及法線方程

2、2、判斷函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性3、研究函數(shù)的極值和最值4、證明恒等式（不等式）5、求漸進線方程6、函數(shù)作圖7、方程根的確定1、 求曲線的切線與法線方程1、切線方程 2、法線方程 注：若，切線方程為，法線方程為若，切線方程為，法線方程為例1、設(shè)是可導的偶函數(shù)，它在的某鄰域內(nèi)滿足，求曲線在點處的切線方程及法線方程。例2、（021）已知曲線與在處的切線相同，寫出此切線方程，并求極限 2、 函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值、曲線的拐點函數(shù)的單調(diào)性與極值 定理：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導， 如果在(a,b)內(nèi)，則函數(shù)y=f(x)在a,b上單調(diào)增加； 如果在(a,b)內(nèi)，則函數(shù)y=f(x)在a,

3、b上單調(diào)減少. 定理：1)(取極值的必要條件)設(shè)在達到極大或極小值，并且在的某個鄰域內(nèi)可微，則2）兩個充分條件：（1）如果存在使得(i) 在中有定義；（ii）; （iii）; 則函數(shù)在的達到極小值。類似：在的達到極大值。（2）如果存在使得(i) 在中有定義；（ii）; （iii） 則函數(shù)在的達到極大值。類似：在的達到極小值。3 函數(shù)的最大值、最小值4 函數(shù)圖形的凹凸性和拐點1）凹凸性的定義，性質(zhì)和判別方法（見第六章）； 2）拐點的定義：連續(xù)曲線上凹凸的分界點。3）求法：若(或不存在但在連續(xù))，則當在的左右兩側(cè)的某個鄰域內(nèi)符號恒保持相反時，是曲線的的拐點；當在的左右兩側(cè)的某個鄰域內(nèi)符號恒保持相同

4、時，不是曲線的的拐點。例3、已知，則當x>0時，f(x)（A） 單調(diào)遞減大于零 （B） 單調(diào)遞增大于零（C） 單調(diào)遞減小于零 （D） 單調(diào)遞增小于零例4、設(shè)函數(shù)f(t)滿足tf(t)>0(t¹0)，則函數(shù)F(x)=的單調(diào)減少區(qū)間為 例5、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則x=0處f(x)(A) 取得極大值 (B) 取得極小值 (C) 不可導 (D) 可導且例6、（031）設(shè)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(A) 一個極小值點和兩個極大值點 (B) 兩個極小值點和一個極大值點(C) 兩個極小值點和兩個極大值點 (D) 三個極小值點和一個極大值點

5、y O x例7、已知f(x)滿足，且，則 (A) f(0)是f(x)的極大值 (B) f(0)是f(x)的極小值(C) (0,f(0)是曲線y=f(x)的拐點 (D) f(0)不是極值，(0,f(0)不是拐點例8、（0512，11分） 如圖，曲線C的方程為y=f(x),點（3，2）是它的一個拐點，直線與分別是曲線C在點（0，0），（3，2）處的切線，其交點為（2，4）。設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導數(shù)，計算定積分。例9、設(shè)f(x)滿足 連續(xù) (1) 若f(x)在x=c（c¹0）處有極值，證明它是極小值； (2) 若f(x)在x=0處有極值，它是極小值還是極大值？例10、試求 的極值例1

6、1、求函數(shù)f(x)=的最大值和最小值例12、（102）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.3、利用導數(shù)證明不等式例13、求證：當時， 例14、 (99 1) 試證：當x>0 時，例15、 (99 4) 證明：當例16、（0412）設(shè)，證明本題也可設(shè)輔助函數(shù)為或，再用單調(diào)性進行證明即可。4、函數(shù)作圖(漸近線) 作圖步驟：y=f(x) (1) 確定定義域； (2) 求; (3) 求單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間；極值、拐點； (4) 求漸近線； (5) 描點作圖。曲線的漸近線 1）如果（常數(shù)），則是曲線的一條水平漸近線； 2）如果，則是曲線的一條垂直漸近線； 3）如果（常數(shù)），且（常數(shù)），則是曲線的一條斜漸近線；注

7、 上述極限都可以換為單邊極限。例17、運用導數(shù)的知識作函數(shù) 的圖形。 例18、（0034）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值及該函數(shù)圖形的漸近線。例19 （07數(shù)1-2）曲線的漸近線的條數(shù)-（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. 5 求曲線的曲率，曲率半徑 設(shè)y=f(x): , 或曲線，曲率半徑 例20（092）若不變號，且曲線在點上的曲率圓為，則在區(qū)間內(nèi)（ ） （A）有極值點，無零點. （B）無極值點，有零點.（C）有極值點，有零點. （D）無極值點，無零點.【答案】 應選B【詳解】 由題意可知，是一個凸函數(shù)，即，且在點處的曲率，而，由此可得，在上，即單調(diào)減少，沒有極值點。由拉格朗日中值定理 ，

8、所以，而，由零點定理知，在內(nèi)有零點，故應選（B）.二、定積分的應用 (1) 平面圖形的面積： 1) y=f(x)與x軸()所圍圖形的面積 2) 3) (2) 空間立體的體積： 1) 已知平行截面面積的立體體積 2) 旋轉(zhuǎn)體的體積 (3)(數(shù)一二) 平面曲線的弧長： 1) , 2) (4) (數(shù)一)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積： (5) 函數(shù)在區(qū)間的平均值（數(shù)三，四）： (6)（數(shù)一） 定積分的物理應用（變力作功、引力、壓力）：用微元法分析，其基本步驟為： 第一步，建立坐標系，選定積分變量，并確定其變化區(qū)間； 第二步，在a,b內(nèi)任取小區(qū)間x,x+dx,設(shè)想產(chǎn)生該整體量Q的某物理量是不變的， 求出的近似值； 第

9、三步，計算1 利用定積分求面積與體積例21、設(shè)在區(qū)間a,b上函數(shù), 令, 則 (A) (B) (C) (D) .例22、設(shè)f(x),g(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且g(x)<f(x)<m(m為常數(shù))，則曲線y=g(x),y=f(x), x=a及x=b所圍平面圖形繞直線y=m旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為 (A) (B) (C) (D) 例23、已知曲線上點A作切線，使該切線與曲線及x軸所圍成的平面圖形的面積為3/4（1）求A的坐標。（2）求陰影部分分別繞x軸與直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所的旋轉(zhuǎn)體的體積。例24、已知點A與B的直角坐標為(1,0,0)與(0,1,1), 線段AB繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)

10、曲面為S，求由S及兩平面z=0,z=1所圍成的立體體積。 o12yxA例25 設(shè)平面圖形所確定，求圖形A繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。2 旋轉(zhuǎn)體表面積計算（數(shù)一，二）例26 設(shè)有曲線，過原點作其切線，求由此曲線、切線及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.3 函數(shù)平均值計算（數(shù)三）例27 函數(shù)在區(qū)間上的平均值為 4 物理及經(jīng)濟應用例28、（031）某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進土層. 汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功. 設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比（比例系數(shù)為k,k>0）.汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M地下a m. 根據(jù)設(shè)計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)r(0<r<1). 問(1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進地下多深？(2) 若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下多深？（注：m表示長度單位米.）【分析】 本題屬變力做功問題，可用定積分進行計算，而擊打次數(shù)不限，相當于求數(shù)列的極限.【詳解】 (1) 設(shè)第n次擊打后，樁被打進地下，第n次擊打時，汽錘所作的功為. 由題設(shè)，當樁被打進地下的深度為x時，土層對樁的阻力的大小為，所以 ， 由可得 即 由可得 ，從而 ，即汽錘