高數導數的應用習題及答案

1、一、是非題： 函 數 在 上 連 續(xù) ，且，則 至 少 存 在 一 點 ，使錯誤 不滿足羅爾定理的條件。若函數在的某鄰域內處處可微，且，則函數必在處取得極值錯誤 駐點不一定是極值點，如：，是其駐點，但不是極值點。若函數在處取得極值，則曲線在點處必有平 行 于軸的切線錯誤 曲線在點有平行于軸的切線，但不是極值點。函數在內無極值正確 ，函數在內單調增，無極值。若函數在內具有二階導數，且，則曲線在內單調減少且是向上凹正確 二、填空： 設（為常數）在處有極值，則（），（） ，當時， ，解之得函數的極值點是（） ，令，得。又，； ，函數在取得極小值。曲線的拐點是（） ，令，得。又，；，函數的拐點是。曲線

2、的凸區(qū)間是（） ，使無意義的點為。當時，曲線的凸區(qū)間是。若，則（1），（1），即 又當時，。三、選擇填空：下列函數中，在區(qū)間上滿足羅爾定理條件的是（ c ） a b c d 在端點的值不相等；在區(qū)間上不連續(xù)； 對在不可導； 在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件。c是正確的。 羅爾定理的條件是其結論的（a ） a充分條件 b必要條件c充要條件函數在區(qū)間上（ a ） a滿足拉格朗日定理條件b不滿足拉格朗日定理條件 ， 函數在連續(xù)，函數在上連續(xù)。，函數在可導，函數在上可導。函數在上滿足拉格朗日定理條件，因而a是正確的。設在有二階導數， ，則在處( a ) a不能確定有無極值b有極大值c有極小值設函數在具有二階

3、導數，且，則在內是（a） a單調增加的 b單調減少的 （）在內是單調增加的，因而a是正確的。函數的連續(xù)但不可導的點（ d ）a一定不是極值點b一定是極值點c一定不是拐點d一定不是駐點四、計算題：解 2解 解 解 解 原式解 解 解 解 10 求函數的極值解 定義域為R對函數兩邊取自然對數得（不妨設）所以令，得；，為不可導點列表 不存在0不存在拐點極大值極小值所以極大值為，極小值為11若直角三角形的一直角邊與斜線之和為常數，求有最大面積的直角三角形解 設兩直角邊分別為、，則面積（）設常數為由，得所以（），令，得，所以駐點唯一，故當兩直角邊分別為，時直角三角形的面積最大12求乘積為常數，且其和為最小的兩個正數解 設其中一正數為、則另一正數為；設這兩個正數之和為 （） ，令，得駐點唯一，故當兩個正數均為時其和為最小13設圓柱形有蓋茶缸V為常數，求表面積為最