高考數(shù)學(xué)參數(shù)方程和普通方程的互化練習(xí)

1、【參數(shù)方程和普通方程的互化】例1 求曲線（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）的交點(diǎn)    解：把代入    得：兩式平方相加可得    （舍去）    于是即所求二曲線的交點(diǎn)是（，）    說明：在求由參數(shù)方程所確定的兩曲線的交點(diǎn)時(shí)，最好由參數(shù)方程組求解，如果化為普通方程求交點(diǎn)時(shí)要注意等價(jià)性如該例若化為普通方程求解時(shí)要注意點(diǎn)（，）是增解例2化直線的普通方程為參數(shù)方程（其中傾斜角滿足且）解法一：因，故 設(shè)。取為參數(shù)，則得所求參數(shù)方程  &

2、#160; 解法二：如圖，（）為直線上的定點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)因動(dòng)點(diǎn)M與的數(shù)量一一對(duì)應(yīng)（當(dāng)M在的向上方向或正右方時(shí)，；當(dāng)M在的下方或正左方時(shí)，；當(dāng)M與重合時(shí)，），故取為參數(shù)過點(diǎn)M作y軸的平行線，過點(diǎn)作軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)Q（如圖）則有 即為所求的參數(shù)方程。    說明：在解法二中，不必限定，即不必限定，由此可知，無論中任意值時(shí)，所得方程都是經(jīng)過（），傾斜角為的直線的參數(shù)方程可稱它是直線參數(shù)方程的“點(diǎn)角式”或“標(biāo)準(zhǔn)式”    要充分理解解法二所示的參數(shù)的幾何意義，這對(duì)解決某些問題較為方便如果取為參數(shù)，則得直線參數(shù)方程 &#

3、160;  一般地，直線的參數(shù)方程的一般形式是     （，為參數(shù)）但只有當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，這個(gè)一般式才是標(biāo)準(zhǔn)式，參數(shù)才具有上述的幾何意義例3 求橢圓的參數(shù)方程    分析一：把與對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)，可設(shè)，也可設(shè)解法一：設(shè)（為參數(shù)），則     故    因此，所得參數(shù)方程是   （）或  （）    由于曲線（）上的點(diǎn)（，），就是曲線（）上的點(diǎn)（，），所以曲線（）上的點(diǎn)都是曲線（）上的點(diǎn)顯然橢圓的參數(shù)

4、方程是分析二：借助于橢圓的輔助圓，可明確橢圓參數(shù)方程中的幾何意義解法二：以原點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓，如圖設(shè)以軸正半軸為始邊，以動(dòng)半徑OA為終邊的變角為，過點(diǎn)A作軸于N，交橢圓于M，取為參數(shù)，則點(diǎn)M（）的橫坐標(biāo)（以下同解法一）    由解法二知，參數(shù)是點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的圓半徑OA的轉(zhuǎn)角，而不是OM的轉(zhuǎn)角，因而稱為橢圓的離角（如果以O(shè)為圓心，為半徑作圓，過M作，交圓于B，由可知也是半徑OB的轉(zhuǎn)角）    例4  用圓上任一點(diǎn)的半徑與x軸正方向的夾角為參數(shù)，把圓化為參數(shù)方程。分析：由圓的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義可把圓上任意一點(diǎn)化為的參數(shù)形式

5、。解：如圖所示，圓方程化為，設(shè)圓與x軸正半軸交于A，為圓上任一點(diǎn)，過P作軸于B，OP與x軸正半軸所成角為，則：又中，此圓的參數(shù)方程為例5  設(shè)（為參數(shù)）把普通方程化為以為參數(shù)的參數(shù)方程。解：把代入原方程，得，解得  參數(shù)方程為  （為參數(shù)）與表示的是同一曲線，所以它們是等價(jià)的，可以省略一個(gè)。所求參數(shù)方程例6  化雙曲線為參數(shù)方程。解：設(shè)，代入為，得的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）這是同學(xué)中較為常見的解法，這種解法是錯(cuò)誤的，那么錯(cuò)在哪里呢？請(qǐng)你找出來。錯(cuò)誤在于，雙曲線上x的取值范圍是不等于零的一切實(shí)數(shù)，錯(cuò)解中得到的參數(shù)方程中x的取值范圍僅僅，故錯(cuò)解中得到的參數(shù)方程

6、只表示雙曲線上一部分，不符合普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性要求，普通方程化為參數(shù)方程時(shí)關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，注意使所得參數(shù)方程與原普通方程中變量x、y的允許值范圍要保持一致。下面給出正確解法：設(shè)，代入得。的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，）例7 化參數(shù)方程（為參數(shù)）為普通方程。分析一：用代入消元法，從已知方程中解出參數(shù)，代入后消去參數(shù)。解法一：  即將它代入（1），并化簡(jiǎn)得（）分析二：用整體消參法。注意表達(dá)式的分母相同，而分子的平方和恰為原來相同的分母。解法二：得又   于是得所求普通方程為即分析三：因?yàn)?，所以。從表達(dá)式可聯(lián)想萬能公式。于是可用三角變換，然后利用三角公式再消參。

7、解法三：， 可令（，）又于是得得  即，（）（）即，普通方程是（）說明：解法一是用代入法消參，解法二是整體消參法，解法三是運(yùn)用萬能公式，三角變換消參，三種解法中都應(yīng)注意的限制條件，使參數(shù)方程化為普通方程時(shí)保持等價(jià)性。例8將下列參數(shù)方程（其中，為參數(shù)）化為普通方程。（1）    （2）   （3）解：（1） （）為所求。（2）由，得（）將它代入，并化簡(jiǎn)得（）另解：并整理得（）（3）且所求普通方程為說明：（1）小題是用三角公式變形后用代入法消參，（2）是用代入（消元）法消參變形后整體消參，（3）小題是通過代數(shù)變換法消參。但都應(yīng)特別注意等價(jià)

8、性。例9  對(duì)于方程（a，b為常數(shù)）（1）當(dāng)t為常數(shù)，為參數(shù)時(shí)，方程表示何種曲線；（2）當(dāng)t為參數(shù)，為常數(shù)時(shí)，方程表示何種曲線解：（1）當(dāng)t為常數(shù)，原方程可變形為    兩式平方相加得即這是以（a，b）為圓心，為半徑的圓。（2）當(dāng)為常數(shù)時(shí)，由第一式得代入第二式得即這是過點(diǎn)（a，b），斜率為的一條直線小結(jié)：同一參數(shù)方程，由于參數(shù)不同，所表示的曲線也不同，消去參數(shù)化為普通方程后，曲線的類型也就顯現(xiàn)出來。例10 已知直線過點(diǎn)P（2，0），斜率為。直線和拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M。求：（1）線段PM的長(zhǎng)；（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）線段AB的長(zhǎng)解：如

9、圖。（1）由直線過點(diǎn)P（2，0），斜率為。設(shè)其傾斜角為，則有可得直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為：（其中為參數(shù)）設(shè)直線上兩點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)參數(shù)、，由方程組：消去可得：有 ，由M為AB的中點(diǎn)， （2）設(shè)M點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為，則有 M點(diǎn)坐標(biāo)為：M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）（3）由分別代入，可得 點(diǎn)撥：利用直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何含義，在解決諸如直線上的兩點(diǎn)距離、某兩點(diǎn)的中點(diǎn)以及與此相關(guān)的一些問題時(shí)，顯得很方便和簡(jiǎn)捷。例11 已知橢圓上的一個(gè)點(diǎn)P（），求的最值。解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，）        ，（其中） 即的最大值是，最小值是。 &#

10、160;  點(diǎn)撥：這個(gè)題雖然很簡(jiǎn)單，但它說明了一個(gè)道理：曲線的參數(shù)方程不僅表示了曲線，同時(shí)也表示了曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)當(dāng)曲線的參數(shù)方程表示曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，實(shí)際上起到了消元的作用，即用一個(gè)參數(shù)表示了    、，因此，在求某些幾何量的最值時(shí)，參數(shù)方程可以起到一元化即消元的作用例12 過點(diǎn)M（2，1）作曲線（為參數(shù)）的弦AB，若M為AB的三等分點(diǎn)，求AB直線方程。解：設(shè)AB的方程為（t為參數(shù)），將x，y代入曲線（為參數(shù)）即，整理、化簡(jiǎn)得，           &

11、#160;            點(diǎn)M在AB的內(nèi)部        。將、代入上式有。解得，則AB的方程為小結(jié)：本題是首先設(shè)出過定點(diǎn)的參數(shù)方程，然后和橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理及直線參數(shù)方程中t的意義，求得斜率，用點(diǎn)斜式寫出直線方程。例13   圓O內(nèi)一定點(diǎn)A，過A任作兩互相垂直的弦，求證這兩弦長(zhǎng)的平方和為定值。證明：以圓心O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓的方程，過定點(diǎn)互相垂直的兩弦PQ、RS的方程分別為即分別代入圓方程，得，其二根為、，其二根為、，故有兩弦平方和為定值小結(jié)：涉及圓的弦長(zhǎng)問題，可利用直線參數(shù)方程來解。例14 已知是拋物線的一動(dòng)弦，O為原點(diǎn)。當(dāng)恒為直角時(shí)，如圖求弦的中點(diǎn)P的軌跡方程。分析 點(diǎn)P是的中點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)與，的坐標(biāo)，、相關(guān)，如果選取，、作為參數(shù)，則要列出，、有關(guān)的五個(gè)方程，最后消去參數(shù)，、就可以得到P點(diǎn)的軌跡方程。解 設(shè)P（），（，），（，）P是的中點(diǎn)  ，在拋物上又恒為直角，即由×：由：把、式代入得： P點(diǎn)的軌跡方程是 &