馬文蔚第五版物理第8章作業(yè)題解

1、8 6一鐵心上繞有線圈100匝，已知鐵心中磁通量與時(shí)間的關(guān)系為，求在時(shí)，線圈中的感應(yīng)電動勢分析由于線圈有N 匝相同回路，線圈中的感應(yīng)電動勢等于各匝回路的感應(yīng)電動勢的代數(shù)和，在此情況下，法拉第電磁感應(yīng)定律通常寫成，其中稱為磁鏈解線圈中總的感應(yīng)電動勢當(dāng) 時(shí)，8 10如圖（）所示，把一半徑為R 的半圓形導(dǎo)線OP 置于磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場中，當(dāng)導(dǎo)線以速率v 水平向右平動時(shí)，求導(dǎo)線中感應(yīng)電動勢E 的大小，哪一端電勢較高？分析本題及后面幾題中的電動勢均為動生電動勢，除仍可由求解外（必須設(shè)法構(gòu)造一個(gè)閉合回路），還可直接用公式求解在用后一種方法求解時(shí)，應(yīng)注意導(dǎo)體上任一導(dǎo)線元l 上的動生電動勢.在一般情況下，

2、上述各量可能是l 所在位置的函數(shù)矢量（v ×B）的方向就是導(dǎo)線中電勢升高的方向解1如圖（）所示，假想半圓形導(dǎo)線OP 在寬為2R 的靜止形導(dǎo)軌上滑動，兩者之間形成一個(gè)閉合回路設(shè)順時(shí)針方向?yàn)榛芈氛?，任一時(shí)刻端點(diǎn)O 或端點(diǎn)P 距 形導(dǎo)軌左側(cè)距離為x，則即由于靜止的 形導(dǎo)軌上的電動勢為零，則E 2RvB式中負(fù)號表示電動勢的方向?yàn)槟鏁r(shí)針，對OP 段來說端點(diǎn)P 的電勢較高解2建立如圖（c）所示的坐標(biāo)系，在導(dǎo)體上任意處取導(dǎo)體元l，則由矢量（v ×B）的指向可知，端點(diǎn)P 的電勢較高解3連接OP 使導(dǎo)線構(gòu)成一個(gè)閉合回路由于磁場是均勻的，在任意時(shí)刻，穿過回路的磁通量常數(shù).由法拉第電磁感應(yīng)定律

3、可知，E 0又因 E EOP EPO即 EOP EPO 2RvB由上述結(jié)果可知，在均勻磁場中，任意閉合導(dǎo)體回路平動所產(chǎn)生的動生電動勢為零；而任意曲線形導(dǎo)體上的動生電動勢就等于其兩端所連直線形導(dǎo)體上的動生電動勢上述求解方法是疊加思想的逆運(yùn)用，即補(bǔ)償?shù)姆椒? 11長為L的銅棒，以距端點(diǎn)r 處為支點(diǎn)，以角速率繞通過支點(diǎn)且垂直于銅棒的軸轉(zhuǎn)動.設(shè)磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場與軸平行，求棒兩端的電勢差分析應(yīng)該注意棒兩端的電勢差與棒上的動生電動勢是兩個(gè)不同的概念，如同電源的端電壓與電源電動勢的不同在開路時(shí)，兩者大小相等，方向相反（電動勢的方向是電勢升高的方向，而電勢差的正方向是電勢降落的方向）本題可直接用積分法求

4、解棒上的電動勢，亦可以將整個(gè)棒的電動勢看作是OA 棒與OB 棒上電動勢的代數(shù)和，如圖（）所示而EO A 和EO B 則可以直接利用第 2 節(jié)例1 給出的結(jié)果解1如圖（）所示，在棒上距點(diǎn)O 為l 處取導(dǎo)體元l，則因此棒兩端的電勢差為當(dāng)L 2r 時(shí)，端點(diǎn)A 處的電勢較高解2將AB 棒上的電動勢看作是OA 棒和OB 棒上電動勢的代數(shù)和，如圖（）所示其中,則8 12如圖所示，長為L 的導(dǎo)體棒OP，處于均勻磁場中，并繞OO軸以角速度旋轉(zhuǎn)，棒與轉(zhuǎn)軸間夾角恒為，磁感強(qiáng)度B 與轉(zhuǎn)軸平行求OP 棒在圖示位置處的電動勢分析如前所述，本題既可以用法拉第電磁感應(yīng)定律 計(jì)算（此時(shí)必須構(gòu)造一個(gè)包含OP導(dǎo)體在內(nèi)的閉合回路，

5、 如直角三角形導(dǎo)體回路OPQO），也可用來計(jì)算由于對稱性，導(dǎo)體OP 旋轉(zhuǎn)至任何位置時(shí)產(chǎn)生的電動勢與圖示位置是相同的解1由上分析，得由矢量的方向可知端點(diǎn)P 的電勢較高解2設(shè)想導(dǎo)體OP 為直角三角形導(dǎo)體回路OPQO 中的一部分，任一時(shí)刻穿過回路的磁通量為零，則回路的總電動勢顯然，EQO 0，所以由上可知，導(dǎo)體棒OP 旋轉(zhuǎn)時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)切割的磁感線數(shù)與導(dǎo)體棒QP 等效后者是垂直切割的情況8 17半徑為R 2.0 cm 的無限長直載流密繞螺線管，管內(nèi)磁場可視為均勻磁場，管外磁場可近似看作零若通電電流均勻變化，使得磁感強(qiáng)度B 隨時(shí)間的變化率為常量，且為正值，試求：（1） 管內(nèi)外由磁場變化激發(fā)的感生電場

6、分布；（2） 如，求距螺線管中心軸r 50 cm處感生電場的大小和方向分析變化磁場可以在空間激發(fā)感生電場，感生電場的空間分布與場源變化的磁場（包括磁場的空間分布以及磁場的變化率 等）密切相關(guān)，即.在一般情況下，求解感生電場的分布是困難的但對于本題這種特殊情況，則可以利用場的對稱性進(jìn)行求解可以設(shè)想，無限長直螺線管內(nèi)磁場具有柱對稱性，其橫截面的磁場分布如圖所示由其激發(fā)的感生電場也一定有相應(yīng)的對稱性，考慮到感生電場的電場線為閉合曲線，因而本題中感生電場的電場線一定是一系列以螺線管中心軸為圓心的同心圓同一圓周上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度Ek 的大小相等，方向沿圓周的切線方向圖中虛線表示r R和r R 兩個(gè)區(qū)域的電

7、場線電場線繞向取決于磁場的變化情況，由楞次定律可知，當(dāng)時(shí)，電場線繞向與B 方向滿足右螺旋關(guān)系；當(dāng) 時(shí)，電場線繞向與前者相反解如圖所示，分別在r R 和r R 的兩個(gè)區(qū)域內(nèi)任取一電場線為閉合回路l（半徑為r 的圓），依照右手定則，不妨設(shè)順時(shí)針方向?yàn)榛芈氛颍?） r R，r R， 由于，故電場線的繞向?yàn)槟鏁r(shí)針（2） 由于r R，所求點(diǎn)在螺線管外，因此將r、R、的數(shù)值代入，可得，式中負(fù)號表示Ek的方向是逆時(shí)針的8 19截面積為長方形的環(huán)形均勻密繞螺繞環(huán)，其尺寸如圖（）所示，共有N 匝（圖中僅畫出少量幾匝），求該螺繞環(huán)的自感L分析如同電容一樣，自感和互感都是與回路系統(tǒng)自身性質(zhì)（如形狀、匝數(shù)、介質(zhì)等）

8、有關(guān)的量求自感L 的方法有兩種：1設(shè)有電流I 通過線圈，計(jì)算磁場穿過自身回路的總磁通量，再用公式計(jì)算L2讓回路中通以變化率已知的電流，測出回路中的感應(yīng)電動勢EL ，由公式計(jì)算L式中EL 和都較容易通過實(shí)驗(yàn)測定，所以此方法一般適合于工程中此外，還可通過計(jì)算能量的方法求解解用方法1 求解，設(shè)有電流I 通過線圈，線圈回路呈長方形，如圖（）所示，由安培環(huán)路定理可求得在R1 r R2 范圍內(nèi)的磁場分布為由于線圈由N 匝相同的回路構(gòu)成，所以穿過自身回路的磁鏈為則若管中充滿均勻同種磁介質(zhì)，其相對磁導(dǎo)率為r ，則自感將增大r倍8 21有兩根半徑均為a 的平行長直導(dǎo)線，它們中心距離為d試求長為l的一對導(dǎo)線的自感

9、（導(dǎo)線內(nèi)部的磁通量可略去不計(jì)）分析兩平行長直導(dǎo)線可以看成無限長但寬為d 的矩形回路的一部分設(shè)在矩形回路中通有逆時(shí)針方向電流I，然后計(jì)算圖中陰影部分（寬為d、長為l）的磁通量該區(qū)域內(nèi)磁場可以看成兩無限長直載流導(dǎo)線分別在該區(qū)域產(chǎn)生的磁場的疊加解在如圖所示的坐標(biāo)中，當(dāng)兩導(dǎo)線中通有圖示的電流I 時(shí)，兩平行導(dǎo)線間的磁感強(qiáng)度為穿過圖中陰影部分的磁通量為則長為l 的一對導(dǎo)線的自感為如導(dǎo)線內(nèi)部磁通量不能忽略，則一對導(dǎo)線的自感為L1 稱為外自感，即本題已求出的L，L2 稱為一根導(dǎo)線的內(nèi)自感長為l的導(dǎo)線的內(nèi)自感，有興趣的讀者可自行求解8 23如圖所示，一面積為4.0 cm2 共50 匝的小圓形線圈A，放在半徑為2

10、0 cm 共100 匝的大圓形線圈B 的正中央，此兩線圈同心且同平面設(shè)線圈A 內(nèi)各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度可看作是相同的求：（1） 兩線圈的互感；（2） 當(dāng)線圈B 中電流的變化率為50 A·1 時(shí)，線圈A 中感應(yīng)電動勢的大小和方向分析設(shè)回路中通有電流I1 ，穿過回路的磁通量為21 ，則互感M M21 21I1 ；也可設(shè)回路通有電流I2 ，穿過回路的磁通量為12 ，則 雖然兩種途徑所得結(jié)果相同，但在很多情況下，不同途徑所涉及的計(jì)算難易程度會有很大的不同以本題為例，如設(shè)線圈B 中有電流I 通過，則在線圈A 中心處的磁感強(qiáng)度很易求得，由于線圈A 很小，其所在處的磁場可視為均勻的，因而穿過線圈A 的磁通

11、量BS反之，如設(shè)線圈A 通有電流I，其周圍的磁場分布是變化的，且難以計(jì)算，因而穿過線圈B 的磁通量也就很難求得，由此可見，計(jì)算互感一定要善于選擇方便的途徑解（1） 設(shè)線圈B 有電流I 通過，它在圓心處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度穿過小線圈A 的磁鏈近似為則兩線圈的互感為（2）互感電動勢的方向和線圈B 中的電流方向相同8 24如圖所示，兩同軸單匝線圈A、C 的半徑分別為R 和r，兩線圈相距為d若r很小，可認(rèn)為線圈A 在線圈C 處所產(chǎn)生的磁場是均勻的求兩線圈的互感若線圈C 的匝數(shù)為N 匝，則互感又為多少？解設(shè)線圈A 中有電流I 通過，它在線圈C 所包圍的平面內(nèi)各點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度近似為穿過線圈C 的磁通為則兩線圈

12、的互感為若線圈C 的匝數(shù)為N 匝，則互感為上述值的N 倍8 25如圖所示，螺繞環(huán)A 中充滿了鐵磁質(zhì)，管的截面積S 為2.0 cm2 ，沿環(huán)每厘米繞有100 匝線圈，通有電流I1 4.0 ×10 2 A，在環(huán)上再繞一線圈C，共10 匝，其電阻為0.10 ，今將開關(guān) 突然開啟，測得線圈C 中的感應(yīng)電荷為2.0 ×10 3 C求：當(dāng)螺繞環(huán)中通有電流I1 時(shí)，鐵磁質(zhì)中的B 和鐵磁質(zhì)的相對磁導(dǎo)率r分析本題與題 相似，均是利用沖擊電流計(jì)測量電磁感應(yīng)現(xiàn)象中通過回路的電荷的方法來計(jì)算磁場的磁感強(qiáng)度線圈C 的磁通變化是與環(huán)形螺線管中的電流變化相聯(lián)系的解當(dāng)螺繞環(huán)中通以電流I1 時(shí)，在環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的

13、磁感強(qiáng)度則通過線圈C 的磁鏈為設(shè)斷開電源過程中，通過C 的感應(yīng)電荷為qC ，則有由此得相對磁導(dǎo)率8 27一無限長直導(dǎo)線，截面各處的電流密度相等，總電流為I試證：單位長度導(dǎo)線內(nèi)所貯藏的磁能為分析本題中電流激發(fā)的磁場不但存在于導(dǎo)體內(nèi)當(dāng)r R 時(shí)，而且存在于導(dǎo)體外當(dāng)r R 時(shí)，由于本題僅要求單位長度導(dǎo)體內(nèi)所儲存的磁能，故用公式計(jì)算為宜，因本題中B 呈柱對稱性，取單位長度，半徑為r，厚為r 的薄柱殼（殼層內(nèi)處處相同）為體元V，則該體元內(nèi)儲存的能量，積分即可求得磁能證根據(jù)以上分析單位長度導(dǎo)線內(nèi)貯存的磁能為上述結(jié)果僅為單位長度載流導(dǎo)線內(nèi)所具有的磁場能量，它是總磁場能量的一部分，總能量還應(yīng)包括導(dǎo)線外磁場所儲

14、存的磁能8 30在真空中，若一均勻電場中的電場能量密度與一0.50 的均勻磁場中的磁場能量密度相等，該電場的電場強(qiáng)度為多少？解,按題意，當(dāng)時(shí)，有，則8 31設(shè)有半徑R 0.20 m 的圓形平行板電容器，兩板之間為真空，板間距離d 0.50 cm，以恒定電流I 2.0 A 對電容器充電求位移電流密度（忽略平板電容器的邊緣效應(yīng)，設(shè)電場是均勻的）分析盡管變化電場與傳導(dǎo)電流二者形成的機(jī)理不同，但都能在空間激發(fā)磁場從這個(gè)意義來說，變化電場可視為一種“廣義電流”，即位移電流在本題中，導(dǎo)線內(nèi)存在著傳導(dǎo)電流Ic，而在平行板電容器間存在著位移電流Id，它們使電路中的電流連續(xù)，即解忽略電容器的邊緣效應(yīng)，電容器內(nèi)電

15、場的空間分布是均勻的，因此板間位移電流，由此得位移電流密度的大小8 7有兩根相距為d 的無限長平行直導(dǎo)線，它們通以大小相等流向相反的電流，且電流均以的變化率增長若有一邊長為d 的正方形線圈與兩導(dǎo)線處于同一平面內(nèi)，如圖所示求線圈中的感應(yīng)電動勢分析本題仍可用法拉第電磁感應(yīng)定律來求解由于回路處在非均勻磁場中，磁通量就需用來計(jì)算（其中B 為兩無限長直電流單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B1 與B2 之和）為了積分的需要，建立如圖所示的坐標(biāo)系由于B 僅與x 有關(guān)，即，故取一個(gè)平行于長直導(dǎo)線的寬為x、長為d 的面元S，如圖中陰影部分所示，則，所以，總磁通量可通過線積分求得（若取面元，則上述積分實(shí)際上為二重積分）本

16、題在工程技術(shù)中又稱為互感現(xiàn)象，也可用公式求解解1穿過面元S 的磁通量為因此穿過線圈的磁通量為再由法拉第電磁感應(yīng)定律，有解2當(dāng)兩長直導(dǎo)線有電流I 通過時(shí)，穿過線圈的磁通量為線圈與兩長直導(dǎo)線間的互感為當(dāng)電流以變化時(shí)，線圈中的互感電動勢為試想：如線圈又以速率v 沿水平向右運(yùn)動，如何用法拉第電磁感應(yīng)定律求圖示位置的電動勢呢？此時(shí)線圈中既有動生電動勢，又有感生電動勢設(shè)時(shí)刻t，線圈左端距右側(cè)直導(dǎo)線的距離為，則穿過回路的磁通量，它表現(xiàn)為變量I和的二元函數(shù)，將代入 即可求解，求解時(shí)應(yīng)按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，注意，其中，再令d 即可求得圖示位置處回路中的總電動勢最終結(jié)果為兩項(xiàng)，其中一項(xiàng)為動生電動勢，另一項(xiàng)為感生電動勢8

17、 14如圖（）所示，在“無限長”直載流導(dǎo)線的近旁，放置一個(gè)矩形導(dǎo)體線框，該線框在垂直于導(dǎo)線方向上以勻速率v 向右移動，求在圖示位置處，線框中感應(yīng)電動勢的大小和方向分析本題亦可用兩種方法求解其中應(yīng)注意下列兩點(diǎn)：1當(dāng)閉合導(dǎo)體線框在磁場中運(yùn)動時(shí)，線框中的總電動勢就等于框上各段導(dǎo)體中的動生電動勢的代數(shù)和如圖（）所示，導(dǎo)體eh 段和fg 段上的電動勢為零此兩段導(dǎo)體上處處滿足，因而線框中的總電動勢為其等效電路如圖（）所示2用公式求解，式中是線框運(yùn)動至任意位置處時(shí)，穿過線框的磁通量為此設(shè)時(shí)刻t 時(shí)，線框左邊距導(dǎo)線的距離為，如圖（c）所示，顯然是時(shí)間t 的函數(shù)，且有在求得線框在任意位置處的電動勢E（）后，再令

18、d，即可得線框在題目所給位置處的電動勢解1根據(jù)分析，線框中的電動勢為由Eef Ehg 可知，線框中的電動勢方向?yàn)閑fgh解2設(shè)順時(shí)針方向?yàn)榫€框回路的正向根據(jù)分析，在任意位置處，穿過線框的磁通量為相應(yīng)電動勢為令d，得線框在圖示位置處的電動勢為由E 0 可知，線框中電動勢方向?yàn)轫槙r(shí)針方向8 16有一磁感強(qiáng)度為B 的均勻磁場，以恒定的變化率在變化把一塊質(zhì)量為m 的銅，拉成截面半徑為r的導(dǎo)線，并用它做成一個(gè)半徑為R 的圓形回路圓形回路的平面與磁感強(qiáng)度B 垂直試證：這回路中的感應(yīng)電流為式中 為銅的電阻率，d 為銅的密度解圓形回路導(dǎo)線長為，導(dǎo)線截面積為，其電阻R為在均勻磁場中，穿過該回路的磁通量為，由法拉第電磁感應(yīng)定律可得