高等數(shù)學(xué)等價(jià)無窮小替換極限的計(jì)算

1、講義 無窮小 極限的簡(jiǎn)單計(jì)算【教學(xué)目的】1、理解無窮小與無窮大的概念； 2、掌握無窮小的性質(zhì)與比較 會(huì)用等價(jià)無窮小求極限；3、不同類型的未定式的不同解法?！窘虒W(xué)內(nèi)容】1、無窮小與無窮大；2、無窮小的比較； 3、幾個(gè)常用的等價(jià)無窮小 等價(jià)無窮小替換； 4、求極限的方法。【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)是掌握無窮小的性質(zhì)與比較 用等價(jià)無窮小求極限。難點(diǎn)是未定式的極限的求法?！窘虒W(xué)設(shè)計(jì)】首先介紹無窮小和無窮大的概念和性質(zhì)（30分鐘），在理解無窮小與無窮大的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生重點(diǎn)掌握用等價(jià)無窮小求極限的方法（20分鐘）。最后歸納總結(jié)求極限的常用方法和技巧（25分鐘），課堂練習(xí)（15分鐘）?！臼谡n內(nèi)容】一、無窮

2、小與無窮大1.定義前面我們研究了數(shù)列的極限、（、）函數(shù)的極限、（、）函數(shù)的極限這七種趨近方式。下面我們用表示上述七種的某一種趨近方式，即定義：當(dāng)在給定的下，以零為極限，則稱是下的無窮小，即。例如, 【注意】不能把無窮小與很小的數(shù)混淆；零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)，任何非零常量都不是無窮小。定義： 當(dāng)在給定的下，無限增大，則稱是下的無窮大，即。顯然，時(shí)，都是無窮大量，【注意】不能把無窮大與很大的數(shù)混淆；無窮大是極限不存在的情形之一。無窮小與無窮大是相對(duì)的，在不同的極限形式下，同一個(gè)函數(shù)可能是無窮小也可能是無窮大，如 ， ，所以當(dāng)時(shí)為無窮小，當(dāng) 時(shí)為無窮大。2無窮小與無窮大的關(guān)系：在自變量的同一變

3、化過程中，如果為無窮大，則為無窮?。环粗?，如果為無窮小，且，則為無窮大。小結(jié)：無窮大量、無窮小量的概念是反映變量的變化趨勢(shì)，因此任何常量都不是無窮大量，任何非零常量都不是無窮小，談及無窮大量、無窮小量之時(shí)，首先應(yīng)給出自變量的變化趨勢(shì)。3.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:定理1 其中是自變量在同一變化過程（或）中的無窮小.證：（必要性）設(shè)令則有（充分性）設(shè)其中是當(dāng)時(shí)的無窮小，則 【意義】（1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);（2）3.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理2 在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.【注意】無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. 定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.如：

4、，推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.二、無窮小的比較例如，觀察各極限：不可比.極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.1定義: 設(shè)是自變量在同一變化過程中的兩個(gè)無窮小，且 例1 證：例2 解2常用等價(jià)無窮小:（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（7） （8） （9）用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:例如3等價(jià)無窮小替換定理：證：例3 （1）； （2） 解: （1） 故原極限= 8（2）原極限=例4 錯(cuò)解: =0正解: 故原極限【注意】和、差形式一般不能進(jìn)行等價(jià)無窮小替換

5、，只有因子乘積形式才可以進(jìn)行等價(jià)無窮小替換。例5 解: 原式三、極限的簡(jiǎn)單計(jì)算1. 代入法：直接將的代入所求極限的函數(shù)中去，若存在，即為其極限，例如；若不存在，我們也能知道屬于哪種未定式，便于我們選擇不同的方法。例如，就代不進(jìn)去了，但我們看出了這是一個(gè)型未定式，我們可以用以下的方法來求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子（分母）有理化法例如， 又如，4. 化無窮大為無窮小法例如，實(shí)際上就是分子分母同時(shí)除以這個(gè)無窮大量。由此不難得出又如，（分子分母同除）。再如，（分子分母同除）。5. 利用無窮小量性質(zhì)、等價(jià)無窮小量替換求極限例如，（無窮小量乘以有界量）。又如，解：商的法則不能用由無

6、窮小與無窮大的關(guān)系,得再如，等價(jià)無窮小量替換求極限的例子見本節(jié)例3例5。6. 利用兩個(gè)重要極限求極限（例題參見§1.4例3例5）7. 分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求極限例如，解: 左右極限存在且相等, 【啟發(fā)與討論】思考題1：解： 無界， 不是無窮大結(jié)論：無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.思考題2：若，且，問：能否保證有的結(jié)論？試舉例說明.解：不能保證. 例 思考題3：任何兩個(gè)無窮小量都可以比較嗎？解：不能例如當(dāng)時(shí)都是無窮小量但不存在且不為無窮大，故當(dāng)時(shí)和不能比較.【課堂練習(xí)】求下列函數(shù)的極限（1）；解：原極限=（2）求【分析】 “”型，拆項(xiàng)。解：原極限=（3） ； 【分析

7、】“抓大頭法”，用于型解：原極限=，或原極限（4）；【分析】分子有理化解：原極限=（5）【分析】型，是不定型，四則運(yùn)算法則無法應(yīng)用，需先通分，后計(jì)算。解：=（6）【分析】“”型，是不定型，四則運(yùn)算法則失效，使用分母有理化消零因子。 解：原極限=6（7）解: 先變形再求極限.【內(nèi)容小結(jié)】一、無窮?。ù螅┑母拍顭o窮小與無窮大是相對(duì)于過程而言的.1、主要內(nèi)容: 兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意:(1) 無窮?。?大）是變量,不能與很小（大）的數(shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2） 無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3） 無界變量未必是無窮大.二、無窮小的比較:1.反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較。高(低)階無窮小; 等價(jià)無窮小; 無窮小的階。2.等價(jià)無窮小的替換: