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1、2008年高等數(shù)學(xué)競賽試題評分參考標(biāo)準(zhǔn)(理工類)一、選擇題(本大題共5小題,每小題4分共20分) 1.設(shè)與互為反函數(shù),則的反函數(shù)為 ; 答:( D) 2.設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo),且,則 一定是的一個(gè)極大值; 一定是的一個(gè)極大值; 一定是的一個(gè)極小值; 一定是的一個(gè)極小值. 答:( D )3.設(shè)函數(shù))與在a , b上連續(xù)且都大于零,則在區(qū)間a , b上由曲線,所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為(A) .(B) .(C) .(D) 答:(D)4. 設(shè),則當(dāng)時(shí),是的 低階無窮??; 高階無窮??; 等價(jià)無窮??; 同階但不等價(jià)的無窮小. 答:( B ) 答:(D)5.下列微分方程中以是任
2、意常數(shù))為通解的是 ; ; ; . 答:(D)二、填空題(本大題共5小題,每小題4分共20分) 6.設(shè)則7.設(shè)是的一個(gè)原函數(shù),且,則8. 設(shè)是二元可微函數(shù),則 _2_9.設(shè),且,則10.設(shè),則.三、解答題(本大題共6小題,每小題10分共60分)11.設(shè)在的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo),且,求.解:當(dāng)時(shí),所以 4分 6分 所以,.10分12.設(shè)在上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且(1)求; (2)證明:解:(1)4分(2)設(shè) 8分判別式即10分13.設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可微,.若在上的最大值為,試證明:存在中的點(diǎn),使,其中為大于1的整數(shù).證明:因?yàn)椋谏线B續(xù) ,使;2分 根據(jù)已知條件,在上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理,得5分8分.10分14.設(shè),計(jì)算,其中是由所圍成的區(qū)域.解:設(shè)圍成得區(qū)域?yàn)椋瑖傻脜^(qū)域?yàn)?根據(jù)對稱性,6分10分15.設(shè),在橢球面的第一卦限部分求一點(diǎn),使得該點(diǎn)處的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的四面體的體積最小.解:橢球面上處的切平面方程是2分四面體的體積為 4分問題轉(zhuǎn)化為求在條件下的最大值點(diǎn).令6分8分因?qū)嶋H問題存在最小值,因此橢球面上點(diǎn)處的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的四面體的體積最小.10分.16.設(shè)在有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且二元函數(shù)滿足(1)設(shè),求滿足的初值問題微分方程; (2)求在上的最大值.解:(1) 2分同理
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