高等數(shù)學(xué)競賽試題解答理工類

1、2008年高等數(shù)學(xué)競賽試題評分參考標(biāo)準(zhǔn)（理工類）一、選擇題（本大題共5小題，每小題4分共20分） 1.設(shè)與互為反函數(shù)，則的反函數(shù)為 ； 答：（ D） 2.設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，則 一定是的一個(gè)極大值； 一定是的一個(gè)極大值； 一定是的一個(gè)極小值； 一定是的一個(gè)極小值. 答：（ D ）3.設(shè)函數(shù))與在a , b上連續(xù)且都大于零，則在區(qū)間a , b上由曲線，所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為(A) .(B) .(C) .(D) 答：（D）4. 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，是的 低階無窮??； 高階無窮??； 等價(jià)無窮??； 同階但不等價(jià)的無窮小. 答：（ B ） 答：（D）5.下列微分方程中以是任

2、意常數(shù)）為通解的是 ； ； ； . 答：（D）二、填空題（本大題共5小題，每小題4分共20分） 6.設(shè)則7.設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，且，則8. 設(shè)是二元可微函數(shù)，則 _2_9.設(shè)，且，則10.設(shè)，則.三、解答題（本大題共6小題，每小題10分共60分）11.設(shè)在的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且，求.解：當(dāng)時(shí)，所以 4分 6分 所以，.10分12.設(shè)在上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且（1）求； （2）證明：解：（1）4分（2）設(shè) 8分判別式即10分13.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可微，.若在上的最大值為，試證明：存在中的點(diǎn)，使，其中為大于1的整數(shù).證明：因?yàn)椋谏线B續(xù) ，使；2分 根據(jù)已知條件，在上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，得5分8分.10分14.設(shè)，計(jì)算，其中是由所圍成的區(qū)域.解：設(shè)圍成得區(qū)域?yàn)椋瑖傻脜^(qū)域?yàn)?根據(jù)對稱性，6分10分15.設(shè)，在橢球面的第一卦限部分求一點(diǎn)，使得該點(diǎn)處的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的四面體的體積最小.解：橢球面上處的切平面方程是2分四面體的體積為 4分問題轉(zhuǎn)化為求在條件下的最大值點(diǎn).令6分8分因?qū)嶋H問題存在最小值，因此橢球面上點(diǎn)處的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的四面體的體積最小.10分.16.設(shè)在有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且二元函數(shù)滿足（1）設(shè)，求滿足的初值問題微分方程； （2）求在上的最大值.解：（1） 2分同理