高數(shù)極限求解方法與技巧總結(jié)

1、第一章 極限論極限可以說(shuō)是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的核心，貫穿高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。因?yàn)橛嘘P(guān)函數(shù)的可積、連續(xù)?？蓪?dǎo)等性質(zhì)都是用極限來(lái)定義的。毫不夸張地說(shuō)，所謂高數(shù)，就是極限。衡量一個(gè)人高等數(shù)學(xué)的水平只需看他對(duì)極限的認(rèn)識(shí)水平，對(duì)極限認(rèn)識(shí)深刻，有利于高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，本章將介紹數(shù)列的極限、函數(shù)的極限以及極限的求解。重點(diǎn)是求極限。一、求極限的方法1.利用單調(diào)有界原理單調(diào)有界原理：若數(shù)列具有單調(diào)性、且有有界性，也即單調(diào)遞增有上界、單調(diào)遞減有下界，則該數(shù)列的極限一定存在?？梢哉f(shuō)，整個(gè)高等數(shù)學(xué)是從該結(jié)論出發(fā)來(lái)建立體系的。利用該定理一般分兩步：1、證明極限存在。2、求極限。說(shuō)明：對(duì)于這類問(wèn)題，題中均給出了數(shù)列的第項(xiàng)和第項(xiàng)的

2、關(guān)系式，首先用歸納法或作差法或作商法等證明單調(diào)性，再證明其有界性（或先證有界、再證單調(diào)性），由單調(diào)有界得出極限的存在性，在最終取極限。例1 設(shè)證的極限存在，并求其極限。分析：本題給出的是數(shù)列前后兩項(xiàng)的關(guān)系，所以應(yīng)該用單調(diào)有界原理求解。解：由基本不等式，所以可知數(shù)列有下界；下面證單調(diào)性，可知當(dāng)時(shí)，有，則單調(diào)遞減。綜合可得，則單調(diào)遞減有下界，所以存在；令，帶入等式解得。評(píng)注：對(duì)于該題，再證明有界性的過(guò)程中用到基本不等式；特別是在證明單調(diào)性的過(guò)程中并沒(méi)有用傳統(tǒng)的作差或作商的方法，而是用了這一代換（原因是正是數(shù)列的極限值，這正是本題的高明之處，在以后的證明過(guò)程中可以借鑒，掌握這一套路。例2設(shè)，證明的極

3、限存在。分析：本題給出的是數(shù)列的通項(xiàng)，看似很難下手，其實(shí)應(yīng)該注意到的原函數(shù)就是，而且正好可以與定積分的和式掛鉤，這就是本題的突破口。證：可視為高（長(zhǎng)）度為，寬度為1的矩形的面積和。由于在上單調(diào)遞減且恒大于0，則由定積分的幾何意義可知，所以有所以，下證單調(diào)性 由式（1.1）和（1.2）可知，數(shù)列單調(diào)遞減有下界，所以存在。得證。評(píng)注：本題以的原函數(shù)就是，而且可視為定積分的和式這一突破口，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性運(yùn)用定積分的幾何意義構(gòu)造不等式進(jìn)行有界性，單調(diào)性的證明。對(duì)于單調(diào)性的證明，也可其本質(zhì)上是一樣的。前面，我們討論的數(shù)列都是單調(diào)的，但有時(shí)候數(shù)列本身不單調(diào)，而其奇、偶子列單調(diào)且其有相同的極限值，則原數(shù)列

4、也有極限。下面以例子說(shuō)明。例3 設(shè)證明收斂，并求之。分析：首先可知，可知并不單調(diào)，但可以考慮奇子列和偶子列。證明：用數(shù)歸法證明單調(diào)性。（1） 由，知成立。（2） 假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立（3） 則有當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)也成立。其奇子列單調(diào)遞減。由于，而，且，所以有。則其奇子列單調(diào)遞減且有下界。同理可證，偶子列單調(diào)遞增且有上界，由單調(diào)有界原理可知，奇、偶子列的極限均存在，不妨設(shè)為和。則有 ，解得評(píng)析：在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明單調(diào)性的過(guò)程中用到了是增函數(shù)這一性質(zhì)，當(dāng)然，數(shù)學(xué)歸納法證明單調(diào)性也并不是唯一的方法，下面用作差法證明：所以可知與的符號(hào)相同，由于,則；同理，則。即奇子列單調(diào)遞減，偶子列單調(diào)遞增。這樣的討論顯

5、然比較繁瑣，有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的方法呢？當(dāng)然有，下面再討論。2.壓縮映象原理其實(shí)應(yīng)用壓縮映象原理求極限的基礎(chǔ)實(shí)質(zhì)上就是極限的定義。下面介紹該原理：定理：設(shè)和是兩個(gè)常數(shù)，是一個(gè)給定的數(shù)列，只要滿足下列兩個(gè)條件之一：,.那么必收斂，并在第二種條件下，有證明：由，則有，由級(jí)數(shù)的比較審斂法，可知收斂，則有收斂，所以也收斂，則其部分和的極限存在，并設(shè)為。則有 兩邊同時(shí)取極限，可知，得證.由，則當(dāng)充分大時(shí)，有由極限的定義可知，有。特別的，雖然說(shuō)證明是認(rèn)為從開(kāi)始時(shí)滿足上述條款1,2.但事實(shí)上從某一項(xiàng)開(kāi)始滿足上述兩條款也是成立的。下面我們運(yùn)用壓縮映象原理再證例3由于，則有，所以有可知其滿足條款1，所以存在。顯然，沒(méi)

6、有對(duì)比就沒(méi)有差距，第二種方法要簡(jiǎn)單很多，這正是壓縮映象原理的魅力。3.夾逼定理夾逼定理實(shí)際上就是運(yùn)用數(shù)列極限的性質(zhì)求極限，其實(shí)質(zhì)上就是掌握不等式的放縮技巧，做到放縮有度。例4.求【法一】設(shè) ，因?yàn)椋瑒t有 將式（1.3）與式（1.4）兩邊相乘，則有，有，由夾逼定理，則有當(dāng)然，夾逼定理能證明，但是世界總是多元的，方法也當(dāng)然不只是一種?？煽吹剑苍S我們可以很快想到【法二】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求，求該極限值也有兩種方法1. 由修正后的積分中值定理可知2. 注意到當(dāng)（即）時(shí)，必有，所以必須在這一點(diǎn)處開(kāi)始分段，取為一充分小的正數(shù)，將分為，兩個(gè)區(qū)間對(duì)于第一項(xiàng)，由于在上單調(diào)遞增，則有 （當(dāng)時(shí)，有）對(duì)于第二項(xiàng)，由于在

7、上單調(diào)遞增，則有 將式（1.5）與（1.6）相加，則有由極限的定義可知，有評(píng)注：法一與法二的求解明了高等數(shù)學(xué)的整體性，他們都是高等數(shù)學(xué)最基本的套路，應(yīng)該重點(diǎn)掌握。為了更進(jìn)一步理解和熟悉運(yùn)用夾逼定理，在對(duì)上述例4求解的基礎(chǔ)上，我們更一般的衍生出更一般的例5。例5.求解：設(shè)，在例4的基礎(chǔ)上，已知，則必有，而，而左邊為0，所以不能用夾逼定理，原因是左邊放縮過(guò)度，放縮得太小，必須重新放縮。則有所以有，而，由雙邊夾逼定理，則有.評(píng)注：總結(jié)例4和例5，可知運(yùn)用雙邊夾逼定理求極限的基礎(chǔ)是掌握不等式的放縮，下面總結(jié)一些常用的不等式。1. 2.3.當(dāng)時(shí)， 4.5. 6.7. 8.9. 特別的，當(dāng)時(shí)，有10.4.Stolze定理1.（型）設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增，且，如果存在或?yàn)?，則有.2.（型）設(shè)數(shù)列單調(diào)遞減，且，如果存在或?yàn)?，則有.若（常數(shù)），運(yùn)用Stolze定理不難得到下面結(jié)論1. 2.3.由1,2,3可知，若一個(gè)數(shù)列的極限存在，則其前項(xiàng)的算術(shù)平均值，幾何平均值，調(diào)和平均值均存在且相等。對(duì)于此定理，只要求讀者會(huì)應(yīng)用，并不要求掌握其證明。例65.等價(jià)無(wú)窮小例76.中值定理對(duì)于此類求極限問(wèn)題，主要是指用微分、積分中值定理和夾逼定理綜合求極限，對(duì)于此類極限問(wèn)題的求解，關(guān)鍵要弄清楚中值定理中的函數(shù)以