校本課程數(shù)學(xué)建模講義new

1、校本課程數(shù)學(xué)建模講義教學(xué)目標(biāo)（1）讓學(xué)生學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型的一般方法和步驟。（2）學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，逐步鍛煉培學(xué)生開(kāi)放性的數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力。教材分析（1）重點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生開(kāi)放性的數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。（2）難點(diǎn)：開(kāi)放性的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。教學(xué)方法教師引導(dǎo)，學(xué)生探究。課時(shí)分配（6課時(shí)）數(shù)學(xué)建模概述 1課時(shí)第一節(jié) 數(shù)學(xué)建模(模型)概述主要內(nèi)容一、什么是數(shù)學(xué)建模？二、建立數(shù)學(xué)模型的方法、步驟。三、開(kāi)放性的數(shù)學(xué)思維.教學(xué)過(guò)程客房的定價(jià)問(wèn)題一個(gè)星級(jí)旅館有150個(gè)客房，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)實(shí)踐，旅館經(jīng)理得到了一些數(shù)據(jù)：每間客房定價(jià)為160元時(shí)，住房率為55

2、%，每間客房定價(jià)為140元時(shí)，住房率為65%，每間客房定價(jià)為120元時(shí)，住房率為75%，每間客房定價(jià)為100元時(shí)，住房率為85%。欲使旅館每天收入最高，每間客房應(yīng)如何定價(jià)？簡(jiǎn)化假設(shè)（1）每間客房最高定價(jià)為160元；（2）設(shè)隨著房?jī)r(jià)的下降，住房率呈線性增長(zhǎng)；（3）設(shè)旅館每間客房定價(jià)相等。建立模型設(shè)y表示旅館一天的總收入，與160元相比每間客房降低的房?jī)r(jià)為x元。由假設(shè)（2）可得，每降價(jià)1元，住房率就增加。因此由可知于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，y的最大值是多少？求解模型利用二次函數(shù)求最值可得到當(dāng)x=25即住房定價(jià)為135元時(shí)，y取最大值13668.75（元），討論與驗(yàn)證（1）容易驗(yàn)證此收入在各種已知定價(jià)對(duì)

3、應(yīng)的收入中是最大的。如果為了便于管理，定價(jià)為140元也是可以的，因?yàn)榇藭r(shí)它與最高收入只差18.75元。（2）如果定價(jià)為180元，住房率應(yīng)為45%，相應(yīng)的收入只有12150元，因此假設(shè)（1）是合理的。設(shè)計(jì)意圖與師生活動(dòng)通過(guò)一個(gè)比較簡(jiǎn)單的二次函數(shù)應(yīng)用題讓學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)建模與解應(yīng)用題的聯(lián)系。教學(xué)過(guò)程摩天大樓中電線的電阻測(cè)量問(wèn)題課題 ：在一摩天大樓里有三根電線從底層控制室通向頂樓，但由于三根電線各處的轉(zhuǎn)彎不同而有長(zhǎng)短，因此三根電線的長(zhǎng)度均未知，現(xiàn)在電工師傅為了在頂樓安裝電氣設(shè)備，需要知道這三根電線的電阻，問(wèn)如何測(cè)量？相關(guān)知識(shí)背景：伏安法測(cè)電阻1.原理：伏安法測(cè)電阻的原理是歐姆定律，只要測(cè)出通過(guò)待測(cè)電

4、阻的電流和兩端的電壓，然后根據(jù)R=U/I就可得到待測(cè)電阻的阻值.2.電路：測(cè)量電路有電流表外接法圖10-3-1（a）和電流表內(nèi)接法圖10-3-1（b）兩種選擇.圖10-3-1（1）當(dāng)用電流表外接法時(shí)，電阻測(cè)量值小于真實(shí)值；當(dāng)用電流表內(nèi)接法時(shí)，電阻測(cè)量值大于真實(shí)值.（2）若待測(cè)電阻Rx遠(yuǎn)小于電壓表的內(nèi)阻，即待測(cè)電阻Rx為小電阻時(shí)，宜采用電流表外接法；若待測(cè)電阻Rx遠(yuǎn)大于電流表的內(nèi)阻，即待測(cè)電阻Rx為大電阻時(shí)，宜采用電流表內(nèi)接法.模型假設(shè)（1）設(shè)三根電線ad,be,cf電阻分別為R1,R2,R3;如圖所示abcdef(2)摩天大樓中的三根電線長(zhǎng)度比較大，可視為待測(cè)電阻Rx遠(yuǎn)大于電流表的內(nèi)阻，即待測(cè)

5、電阻Rx為大電阻時(shí)，采用電流表內(nèi)接法測(cè)電阻。模型建立：用導(dǎo)線連接ab端，可通過(guò)伏安法（電流表內(nèi)接法）測(cè)得電阻為Rx;用導(dǎo)線連接bc端，可通過(guò)伏安法（電流表內(nèi)接法）測(cè)得電阻為Ry;用導(dǎo)線連接ac端，可通過(guò)伏安法（電流表內(nèi)接法）測(cè)得電阻為Rz;為方便求解問(wèn)題其中用來(lái)連接電線端點(diǎn)處的導(dǎo)線由于長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于三根電線的長(zhǎng)度，故其電阻暫且忽略不計(jì)。得到方程組如下： 模型求解：用消元法求出上述方程組的解為:建立數(shù)學(xué)模型的一般方法、步驟1建模準(zhǔn)備 要了解問(wèn)題的實(shí)際背景、明確建立模型的目的，掌握對(duì)象的各種信息如統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等，弄清實(shí)際對(duì)象的特征，總之，是要做好建立模型的準(zhǔn)備工作。這一步往往要大量查閱資料，以便對(duì)問(wèn)題有

6、透徹的了解。2模型假設(shè) 根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特性和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并且用精確的語(yǔ)言做出假設(shè)，是建立模型的第二步，也可以說(shuō)是關(guān)鍵的一步。有時(shí)，假設(shè)做得過(guò)于詳細(xì)，試圖把復(fù)雜的實(shí)際現(xiàn)象的各個(gè)因素都考慮進(jìn)去，可能使你很難繼續(xù)下一步的工作。所以，要善于辨別問(wèn)題的主要和次要方面，抓住主要因素，拋棄次要因素，盡量將問(wèn)題均勻化、線性化。3建立模型 根據(jù)所做的假設(shè)，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立各個(gè)量之間的等式或不等式關(guān)系，列出表格，畫出圖形或確定其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是建立數(shù)學(xué)模型的第三步。建模時(shí)盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具，以便使更多的人了解和使用。4模型求解對(duì)以上建立的模型進(jìn)行數(shù)學(xué)上的求解，包括解方程、畫圖形、證

7、明定理以及邏輯運(yùn)算等，會(huì)用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)。5模型分析對(duì)上邊求得的模型結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。有時(shí)是根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，分析各變量之間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；有時(shí)則根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)測(cè)；有時(shí)則是給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制。6模型檢驗(yàn)這一步是把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實(shí)際對(duì)象中，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。顯而易見(jiàn)，這一步對(duì)于模型的成敗是非常重要的，并且是必不可少的。當(dāng)然，諸如核戰(zhàn)爭(zhēng)等問(wèn)題的模型就不可能要求接受實(shí)際的檢驗(yàn)。如果檢驗(yàn)結(jié)果不符合或部分不符合實(shí)際情況，那么我們必須回到建模之初，修改、補(bǔ)充假設(shè)，重新建模，即再按上述步驟做到模型檢驗(yàn)這一步；如果檢

8、驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際情況相符，則可進(jìn)行最后的工作模型應(yīng)用。如圖通過(guò)一個(gè)生活中跟物理相關(guān)的數(shù)學(xué)建模案例讓學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模可以解決很多生活中的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程問(wèn)題一：魔術(shù)師猜牌的表演過(guò)程是這樣的：表演者手里持有6張撲克牌（不含王牌和牌號(hào)數(shù)相同的牌），叫6位觀眾每人從他手里任摸1張，并囑咐摸牌時(shí)看清和記住自己的牌號(hào)數(shù)。牌號(hào)數(shù)是這樣規(guī)定的：A為1，J為11，Q為12，K為13，其余的以牌上的數(shù)值為準(zhǔn)，然后，表演者叫他們按如下的方法進(jìn)行計(jì)算：將自己的牌號(hào)數(shù)乘2加3后乘5，再減去25。把計(jì)算結(jié)果告訴表演者（要求數(shù)值絕對(duì)準(zhǔn)確），表演者便能立即準(zhǔn)確地猜出你拿的是什么牌。請(qǐng)你利用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)解釋這種現(xiàn)象。

9、問(wèn)題二：例1.某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然后他妻子開(kāi)車接他回家。有一天，他比平時(shí)提早了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來(lái)接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時(shí)提前了十分鐘到家，問(wèn)此人共步行了多長(zhǎng)時(shí)間？ 問(wèn)題三：例2.某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。問(wèn)：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時(shí)間到達(dá)該地。附：課堂師生活動(dòng)學(xué)生剛接觸到這兩個(gè)題目時(shí)感到有些無(wú)從下手：與他們平時(shí)所見(jiàn)到的應(yīng)用題最大的區(qū)別在于這兩個(gè)題目給出的條件、信息太少，有很多不確定的因素，導(dǎo)致學(xué)生提取不到相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。這時(shí)老師的啟發(fā)引導(dǎo)很重要。對(duì)于例1老

10、師引導(dǎo)學(xué)生：為了更好的分析問(wèn)題，可以作如下簡(jiǎn)單的假設(shè)：（1）假設(shè)此人平時(shí)下班總是在下午5點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)，而妻子也在下午5點(diǎn)到達(dá)A處然后接他回家。（2）此人有一天提早30分鐘，即下午4.30到達(dá)A處，而妻子仍將如平時(shí)在下午5點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)。問(wèn)題分析：假如他的妻子遇到他后仍載著他開(kāi)往會(huì)合地點(diǎn)，那么這一天他就不會(huì)提前回家了。提前的十分鐘時(shí)間從何而來(lái)？顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)，又從會(huì)合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)需開(kāi)5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達(dá)會(huì)合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十五分鐘有了例1的啟發(fā)，學(xué)生在研究例2時(shí)思維更開(kāi)放，提出了很多思考的方法：學(xué)生一： （1）假設(shè)此人第一天在t1

11、時(shí)刻從A點(diǎn)出發(fā)，速度為v1,在t2時(shí)刻到達(dá)B點(diǎn)；第二天在t3時(shí)刻從B點(diǎn)出發(fā)，速度為v2，在t4時(shí)刻到達(dá)A點(diǎn)。（2）假設(shè)此人都在兩天中的t時(shí)刻到達(dá)某點(diǎn)C從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)換成求解t的時(shí)間路程問(wèn)題，建立方程組如下： （1）從上述方程組中求解得到t的表達(dá)式 （2）對(duì)于學(xué)生一的解決思路，師生討論后發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：（1）此人從A地到達(dá)B地和從B地返回到A地的過(guò)程中速度不一定是很定不變的，即不一定是勻速運(yùn)動(dòng)，這一點(diǎn)題目條件也并沒(méi)有給出，但上述解答過(guò)程卻是在假定勻速的前提下求解的，這一種假設(shè)就很不合理。（2）按照此題求解的結(jié)果可以看出這樣的一個(gè)時(shí)刻似乎肯定存在，因?yàn)椋?）式中的t始終有解。但我們能舉出反例：如果此人第一

12、天上午8點(diǎn)從A地出發(fā)11點(diǎn)到達(dá)B地，第二天13點(diǎn)從B地出發(fā)16點(diǎn)到達(dá)A地，這種情況下此人不可能在同一時(shí)刻都到達(dá)某地。也就是說(shuō)學(xué)生一的建模方法存在問(wèn)題，如何加以改進(jìn)是師生共同探討的問(wèn)題。問(wèn)題（1）中的速度問(wèn)題教師引導(dǎo)學(xué)生可以用微積分解決變速問(wèn)題。問(wèn)題（2）中時(shí)間t的存在條件問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)過(guò)再思考又提出了如下條件： 經(jīng)過(guò)以上探討過(guò)程的啟發(fā)，又有學(xué)生提出了以下解決思路：學(xué)生二：既然此人的行進(jìn)速度不恒定，函數(shù)關(guān)系不好確定，可以從函數(shù)圖像的角度進(jìn)行定性分析：不管此人是否勻速行進(jìn)，只要滿足條件，畫兩條函數(shù)必定產(chǎn)生交點(diǎn)A(t，s1)即此人在同一時(shí)刻t兩天都到達(dá)了某處。如圖tsA教師點(diǎn)評(píng)：學(xué)生二的做法避開(kāi)了速度與路程時(shí)間的具體的函數(shù)關(guān)系式的復(fù)雜性，從圖像有交點(diǎn)的角度分析出了時(shí)刻t存在的條件，既簡(jiǎn)單又明了。學(xué)生三：既不用列方程組也無(wú)需畫圖像，只轉(zhuǎn)換了思考問(wèn)題的方式就找到了問(wèn)題的結(jié)果：把原問(wèn)題中第二天的返回改變成另一人在同一天由B去A，問(wèn)題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只要任何一人的到達(dá)時(shí)間晚于另一人的出發(fā)時(shí)間，兩人必會(huì)在途中相