高中數(shù)學(xué)必做100題--數(shù)學(xué)4(16題)

1、高中數(shù)學(xué)必做100題-數(shù)學(xué)11. 試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）函數(shù)的函數(shù)值的集合； （2）與的圖象的交點(diǎn)集合.解：（1） （3分） ，（5分）故所求集合為.（6分）（2）聯(lián)立，（8分）解得，（10分）故所求集合為.（12分）2. 已知集合，求、. （P14 10）解：，（3分），（6分），（9分）.（12分）3. 設(shè)全集，. （P12 例8改編）（1）求，； 解：，（1分），（2分），（3分）.（4分）（2）求， ， ，；解：，（5分），（6分），（7分）. （8分）（3）由上面的練習(xí)，你能得出什么結(jié)論？請(qǐng)結(jié)合Venn圖進(jìn)行分析.解：，（9分）. （10分）Venn圖略. （12分）4

2、. 設(shè)集合，. （P14 B 4改編）（1）求，； 解：當(dāng)時(shí)，故，；（2分）當(dāng)時(shí)，故，；（4分）當(dāng)且時(shí)，故，. （6分）（2）若，求實(shí)數(shù)a的值；解：由（1）知，若，則或4. （8分）（3）若，則的真子集共有 個(gè), 集合P滿足條件，寫出所有可能的集合P.解：若，則，故，此時(shí)的真子集有7個(gè). （10分）又，滿足條件的所有集合有、. （12分）5. 已知函數(shù).（1）求的定義域與值域（用區(qū)間表示） （2）求證在上遞減.解：（1）要使函數(shù)有意義，則，解得. （2分）所以原函數(shù)的定義域是.（3分），（5分）所以值域?yàn)?（6分）（2）在區(qū)間上任取，且，則（8分），（9分）又，（10分），（11分）函數(shù)在上遞

3、減. （12分）6. 已知函數(shù)，求、的值.（P49 B4）解：，（3分），（6分）.（12分）7. 已知函數(shù). （P16 8題）（1）證明在上是減函數(shù);（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值. 解：（1）證明：在區(qū)間上任取，且，則有（1分），（3分），（4分）即（5分），所以在上是減函數(shù)（6分）（2）由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以（12分）8. 已知函數(shù)其中（P84 4）（1）求函數(shù)的定義域； （2）判斷的奇偶性，并說明理由；（3）求使成立的的集合. 解：（1）.若要上式有意義，則，即. （3分）所以所求定義域?yàn)?（4分）（2）設(shè)，則.（7分）所以是偶函數(shù). （8分）（3），即 ，.當(dāng)時(shí)，上述不等式

4、等價(jià)于，解得.（10分） 當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得.（12分）綜上所述, 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.9. 已知函數(shù). （P37 例2）（1）判斷的奇偶性； （2）若，求a，b的值.解：（1）定義域?yàn)镽，故是奇函數(shù). （6分）（2）由，則.（8分）又log3(4a-b)=1，即4a-b=3. （10分）由，解得a=1，b=1. （12分）10. 對(duì)于函數(shù). （1）探索函數(shù)的單調(diào)性；（2）是否存在實(shí)數(shù)a使得為奇函數(shù). （P91 B3）解: (1) 的定義域?yàn)镽, 設(shè),則=,（3分）, ,（5分）即,所以不論為何實(shí)數(shù)總為增函數(shù). （6分）（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使為奇函數(shù), （7

5、分）即,（9分） 解得: （12分） 11. （1）已知函數(shù)圖象是連續(xù)的，有如下表格，判斷函數(shù)在哪幾個(gè)區(qū)間上有零點(diǎn). （P40 9）x21.510.500.511.52 f (x)3.511.022.371.560.381.232.773.454.89（2）已知二次方程的兩個(gè)根分別屬于(-1,0)和(0,2),求的取值范圍. 解：（1）由，（3分）得到函數(shù)在（2，1.5）、（0.5，0）、（0，0.5）內(nèi)有零點(diǎn). （6分）（2）設(shè)=，則=0的兩個(gè)根分別屬于(-1,0)和(1,2).所以，（8分）即， （10分） （12分）12. 某商場經(jīng)銷一批進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品，銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系

6、如下表：銷售單價(jià)/元50515253545556日均銷售量/個(gè)48464442403836為了獲取最大利潤，售價(jià)定為多少時(shí)較為合理？ （P49 例1）解：由題可知，銷售單價(jià)增加1元，日均銷售量就減少2個(gè). 設(shè)銷售單價(jià)定為x元，則每個(gè)利潤為（x40）元，日均銷量為個(gè).由于，且，得.（3分）則日均銷售利潤為，.（8分）易知，當(dāng)，y有最大值. （11分）所以，為了獲取最大利潤，售價(jià)定為57元時(shí)較為合理. （12分）13. 家用冰箱使用的氟化物的釋放破壞了大氣上層臭氧層. 臭氧含量Q呈指數(shù)函數(shù)型變化，滿足關(guān)系式，其中是臭氧的初始量. （1）隨時(shí)間的增加，臭氧的含量是增加還是減少？ （2）多少年以后將會(huì)

7、有一半的臭氧消失？（P44 9）解：（1） ， 為減函數(shù). （3分） 隨時(shí)間的增加，臭氧的含量是減少. （6分）（2）設(shè)x年以后將會(huì)有一半的臭氧消失，則，即，（8分） 兩邊去自然對(duì)數(shù)，（10分）解得.（11分） 287年以后將會(huì)有一半的臭氧消失. （12分）14. 某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件，為了以后估計(jì)每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)據(jù)為依據(jù). 用一個(gè)函數(shù)模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量與月份數(shù)的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)（其中為常數(shù)，且）或指數(shù)型函數(shù)（其中為常數(shù)），已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請(qǐng)問用上述哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由.（P5

8、1 例2）解：當(dāng)選用二次函數(shù)的模型時(shí)，由，有， 解得，（4分） .（5分）當(dāng)選用指數(shù)型函數(shù)的模型時(shí)， 由 有 ，解得， （9分） .（10分）根據(jù)4月份的實(shí)際產(chǎn)量可知，選用作模擬函數(shù)較好. （12分）xyOBAx=t15. 如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線左側(cè)的圖形的面積為. 試求函數(shù) 的解析式,并畫出函數(shù)的圖象. （P126 B2）解：（1）當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)直線與分別交于、兩點(diǎn)，則，又，（4分）（2）當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)直線與分別交于、兩點(diǎn)，則，又， （8分）（3）當(dāng)時(shí)，. （10分）（12分）16. 某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線. （1）寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(t)；（2）據(jù)進(jìn)一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)，治療疾病有效.