高等數(shù)學(xué)上冊(cè)

1、第一章：函數(shù)、極限與連續(xù)教學(xué)目的與要求 1.解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。2.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。7.了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

2、10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。所需學(xué)時(shí)：18學(xué)時(shí)（包括：6學(xué)時(shí)講授與2學(xué)時(shí)習(xí)題）第一節(jié)：集合與函數(shù)一般地我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡(jiǎn)稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因?yàn)樗脑夭皇谴_定的。我們通常用大字拉丁字母A、B、C、表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就說a屬于A，記作：aA，否則就說a不屬于A，記作：aA。 、全體非負(fù)整數(shù)組成

3、的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+或N+。、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作R。集合的表示方法、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“”括起來表示集合、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。集合間的基本關(guān)系、子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作A B（或B A）。相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時(shí)集合A中的元素與集合B中的元素完全

4、一樣，因此集合A與集合B相等，記作AB。、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個(gè)元素屬于B但不屬于A，我們稱集合A是集合B的真子集。、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作 ，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：、任何一個(gè)集合是它本身的子集。即A A、對(duì)于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本運(yùn)算、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作AB。（在求并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。

5、）即ABx|xA，或xB。、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作AB。即ABx|xA，且xB。、補(bǔ)集：全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集。通常記作U。補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集。簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作CUA。即CUAx|xU，且x A。集合中元素的個(gè)數(shù)、有限集：我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集。、用card來表示有限集中元素的個(gè)數(shù)。例如Aa,b,c，則card(A)=3。、一般地，對(duì)任意兩個(gè)集合A

6、、B，有card(A)+card(B)=card(AB)+card(AB)我的問題：1、學(xué)校里開運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)Ax|x是參加一百米跑的同學(xué)，Bx|x是參加二百米跑的同學(xué)，Cx|x是參加四百米跑的同學(xué)。學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)，請(qǐng)你用集合的運(yùn)算說明這項(xiàng)規(guī)定，并解釋以下集合運(yùn)算的含義。、AB；、AB。2、在平面直角坐標(biāo)系中，集合C(x,y)|y=x表示直線yx，從這個(gè)角度看，集合D=(x,y)|方程組：2x-y=1,x+4y=5表示什么？集合C、D之間有什么關(guān)系？請(qǐng)分別用集合語言和幾何語言說明這種關(guān)系。3、已知集合A=x|1x3，Bx|(x-1)(x-a)=0。試判斷B是不是A

7、的子集？是否存在實(shí)數(shù)a使AB成立？4、對(duì)于有限集合A、B、C，能不能找出這三個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)與交集、并集元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系呢？5、無限集合A1，2，3，4，n，B2，4，6，8，2n，你能設(shè)計(jì)一種比較這兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)多少的方法嗎？2、區(qū)間、變量的定義：我們?cè)谟^察某一現(xiàn)象的過程時(shí)，常常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對(duì)于所研究的對(duì)象是極其微小的，我們則把它看作常量。、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)

8、軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間axba，b開區(qū)間axb（a，b）半開區(qū)間axb或axb（a，b或a，b）以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：a，+)：表示不小于a的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：ax+；(-，b)：表示小于b的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：-xb；(-，+)：表示全體實(shí)數(shù)，也可記為：-x+注：其中-和+，分別讀作"負(fù)無窮大"和"正無窮大",它們不是數(shù),僅僅是記號(hào)。、鄰域：設(shè)與是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且0.滿足不等式x-的實(shí)數(shù)x的全體稱為點(diǎn)的鄰域，點(diǎn)稱為此鄰域的中心，稱為

9、此鄰域的半徑。3、復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)y=f(u)，而u又是x的函數(shù)：u=(x)，且u=(x)的函數(shù)值的全部或部分在f(u)的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)y=f(u)及u=(x)復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱復(fù)合函數(shù)，記作y=f(x)，其中u叫做中間變量。注：并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題：函數(shù)y=arcsinx與函數(shù)u=2+x2是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。因?yàn)閷?duì)于u=2+x2的定義域(-,+)中的任何x值所對(duì)應(yīng)的u值（都大于或等于2），使y=arcsinu都沒有定義。4、初等函數(shù)、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本

10、初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下：函數(shù)名稱函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù) a):不論x為何值,y總為正數(shù); b):當(dāng)x=0時(shí),y=1.對(duì)數(shù)函數(shù) a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(1,0)點(diǎn) b):當(dāng)a1時(shí),在區(qū)間(0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間(-,+)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.冪函數(shù)a為任意實(shí)數(shù)這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。 令a=m/n a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時(shí),y是偶函數(shù); b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時(shí),y是奇函數(shù); c):當(dāng)m奇n偶時(shí),y

11、在(-,0)無意義.三角函數(shù)(正弦函數(shù)) 這里只寫出了正弦函數(shù) a):正弦函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù) b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且反三角函數(shù)(反正弦函數(shù))這里只寫出了反正弦函數(shù) a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在-/2,/2上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值.、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).5、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)（補(bǔ)充）、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述)函數(shù)的名稱函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦a)：其定義域?yàn)?(-,+)；b

12、)：是奇函數(shù)；c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增雙曲余弦a)：其定義域?yàn)?(-,+)；b)：是偶函數(shù)；c)：其圖像過點(diǎn)(0,1)；雙曲正切a)：其定義域?yàn)?(-,+)；b)：是奇函數(shù)；c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了集合概念與函數(shù)概念2、掌握復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)計(jì)算方法。作業(yè)：P9.1,7,8第二節(jié)：數(shù)列的極限1、引入、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)a1，第二個(gè)數(shù)a2，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)n對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)an，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，an，為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).注：我們

13、也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=，它的定義域是全體正整數(shù) 、極限：極限的概念是求實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；依次循下去(一般把內(nèi)接正6×2n-1邊形的面積記為An)可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A1，A2，A3，An，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，An也無限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列A1，A2，A3，A

14、n， 當(dāng)n(讀作n趨近于無窮大)的極限。注：上面這個(gè)例子就是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元三世紀(jì))的割圓術(shù)。 2、數(shù)列極限的概念（1）、數(shù)列的極限：一般地，對(duì)于數(shù)列x1，x2，x3，xn，來說，若存在任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存在正整數(shù)N，使得對(duì)于nN時(shí)的一切xn不等式都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限，或者稱數(shù)xn收斂于a .記作：或注：此定義中的正數(shù)只有任意給定，不等式才能表達(dá)出xn與a無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)是有關(guān)的，它是隨著的給定而選定的。（2）、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個(gè)概念，下面我們?cè)俳o出它的一個(gè)幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列x

15、n極限為a的一個(gè)幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列x1，x2，x3，xn在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a的鄰域即開區(qū)間(a-，a+)，如下圖所示：                    因不等式與不等式等價(jià)，故當(dāng)nN時(shí)，所有的點(diǎn)xn都落在開區(qū)間(a-，a+)內(nèi)，而只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))在此區(qū)間以外。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列  1，-1，1

16、，-1，(-1)n+1，  是有界的，但它是發(fā)散的。3、數(shù)列極限的計(jì)算（課本例子）課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了數(shù)列極限概念2、掌握數(shù)列極限運(yùn)算方法。作業(yè)：P15.2第三節(jié)：函數(shù)極限的定義域計(jì)算前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取 1內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點(diǎn)x0，如果在這時(shí)，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢 ?下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極

17、限的概念!1、函數(shù)的極限(分兩種情況)a):自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)，若對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對(duì)于適合不等式 的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y=f(x)都滿足不等式那末常數(shù)A就叫做函數(shù)y=f(x)當(dāng)x時(shí)的極限，記作：下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比一下：數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義存在數(shù)列an=f(x)與常數(shù)A，任給一正數(shù)0，總可找到一正整數(shù)N，對(duì)于nN的所有an都滿足則稱數(shù)列an，當(dāng)x時(shí)收斂于A記：。存在函數(shù)y=f(x)與常數(shù)A，任給一正數(shù)0，總可找到一正數(shù)X，對(duì)于適合的一切x，都滿足，函數(shù)y=f(x)當(dāng)x時(shí)的極限為A，記

18、：。從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么 ？試思考之b):自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限。我們先來看一個(gè)例子.例：函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)如何？函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對(duì)實(shí)數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個(gè)有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個(gè)點(diǎn)，為此我們把x1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)用表列出,如下圖:注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因?yàn)槲覀冎挥懻搙x0的過程，與x=x0出的情況無關(guān)。此定義的核心問題是：對(duì)給出的，是否存在正數(shù)，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。有些時(shí)候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為 A，其證明方法是怎樣的呢？     a):先任取0； 

19、60;   b):寫出不等式；    c):解不等式能否得出去心鄰域0，若能；    d):則對(duì)于任給的0，總能找出，當(dāng)0時(shí)，成立，因此2、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則   若已知xx0(或x)時(shí)，.則：               推論：

20、60;    在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來求極限。例題：求解答：例題：求此題如果像上題那樣求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。解答：注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。3、左右極限定義定義：如果x僅從左側(cè)(xx0)趨近x0時(shí)，函數(shù)f(x)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)時(shí)的左極限.記：如果x僅從右側(cè)(xx0)趨近x

21、0時(shí)，函數(shù)f(x)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)時(shí)的右極限.記：注：只有當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)f(x)的左、右極限存在且相等，方稱f(x)在xx0時(shí)有極限課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了函數(shù)數(shù)列極限概念2、掌握函數(shù)數(shù)列極限運(yùn)算方法。作業(yè)：P23.1，2第四節(jié)：極限性質(zhì)1、數(shù)列極限的性質(zhì)定理1(極限的唯一性) 數(shù)列xn不能收斂于兩個(gè)不同的極限. 證明: 假設(shè)同時(shí)有及, 且a<b. 按極限的定義, 對(duì)于>0, 存在充分大的正整數(shù)N, 使當(dāng)n>N時(shí), 同時(shí)有|xn-a|< 及|xn-b|<, 因此同時(shí)有 及,這是不可能的. 所以只能有a=b. 數(shù)列的有界性: 對(duì)于數(shù)列xn

22、，如果存在著正數(shù)M，使得對(duì)一切xn都滿足不等式 |xn|£M,則稱數(shù)列xn是有界的; 如果這樣的正數(shù)M不存在，就說數(shù)列xn是無界的定理2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列xn收斂, 那么數(shù)列xn一定有界. 證明: 設(shè)數(shù)列xn收斂, 且收斂于a, 根據(jù)數(shù)列極限的定義, 對(duì)于e =1, 存在正整數(shù)N, 使對(duì)于n>N 時(shí)的一切xn , 不等式|xn-a|<e =1都成立. 于是當(dāng)n>N時(shí), |xn|=|(xn -a)+a| £| xn-a|+|a|<1+|a|.取M=max|x 1|, |x 2|, × × ×, |x N |,

23、1+| a |, 那么數(shù)列xn中的一切xn都滿足不等式|xn|£ M.這就證明了數(shù)列xn是有界的. 定理3（收斂數(shù)列的保號(hào)性) 如果數(shù)列xn收斂于a, 且a>0(或a<0), 那么存在正整數(shù)N, 當(dāng)n>N時(shí), 有xn>0(或xn<0).證 就a>0的情形證明. 由數(shù)列極限的定義, 對(duì), $NÎN+, 當(dāng)n>N時(shí), 有,從而.推論 如果數(shù)列xn從某項(xiàng)起有xn³0(或xn£0), 且數(shù)列xn收斂于a, 那么a³0(或a£0).證明 就xn³0情形證明. 設(shè)數(shù)列xn從N1項(xiàng)起, 即當(dāng)n&g

24、t;N 1時(shí)有xn³0. 現(xiàn)在用反證法證明, 或a<0, 則由定理3知, $N 2ÎN+, 當(dāng)n> N 2時(shí), 有xn<0. 取N=max N 1, N 2 , 當(dāng)n>N時(shí), 按假定有x n ³0, 按定理3有x n<0, 這引起矛盾. 所以必有a ³0. 子數(shù)列: 在數(shù)列xn中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序, 這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列xn的子數(shù)列.例如, 數(shù)列xn: 1, -1, 1, -1, × × ×, (-1)n+1× × ×的一子數(shù)列

25、為x2n: -1, -1, -1, × × ×, (-1)2n+1× × × 定理3(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列xn收斂于a, 那么它的任一子數(shù)列也收斂, 且極限也是a . 證明: 設(shè)數(shù)列是數(shù)列xn的任一子數(shù)列. 因?yàn)閿?shù)列xn收斂于a, 所以"e >0, $NÎN+, 當(dāng)n>N時(shí), 有|xn-a|<e .取K=N, 則當(dāng)k>K時(shí), nk³k>K=N. 于是|-a|<e . 這就證明了.2、函數(shù)極限的性質(zhì)定理1(函數(shù)極限的唯一性)如果極限存在, 那么這極限唯一

26、. 定理2(函數(shù)極限的局部有界性) 如果f(x)®A(x®x0), 那么存在常數(shù)M>0和d, 使得當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí), 有|f(x)|£M. 證明 因?yàn)閒(x)®A(x®x0), 所以對(duì)于e =1, $d>0, 當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí), 有|f(x)-A|<e =1, 于是 |f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|+|A|<1+|A|.這就證明了在x0的去心鄰域x| 0<|x-x0|<d 內(nèi), f(x)是有界的. 定理3(函數(shù)極限的局部保號(hào)性) 如果f(x

27、)®A(x®x0), 而且A>0(或A<0), 那么存在常數(shù)d>0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d時(shí), 有f(x)>0(或f(x)<0). 定理3¢ 如果f(x)®A(x®x0)(A¹0), 那么存在點(diǎn)x0的某一去心鄰域, 在該鄰域內(nèi), 有. 推論 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)³0(或f(x)£0), 而且f(x)®A(x®x0), 那么A³0(或A£0). 證明: 設(shè)f(x)³0. 假設(shè)上述論斷不成立, 即設(shè)A<0

28、, 那么由定理1就有x0的某一去心鄰域, 在該鄰域內(nèi) f(x)<0, 這與f(x)³0的假定矛盾. 所以A³0. 定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) 如果當(dāng)x®x0時(shí)f(x)的極限存在, xn為f(x)的定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)列, 且滿足xn ¹x0(nÎN+), 那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列f(x n)必收斂, 且. 證明 設(shè)f(x)®A(x®x0), 則"e >0, $d >0, 當(dāng)0<|x-x0|<d 時(shí), 有|f(x)-A|<e . 又因?yàn)閤n®x0(n®

29、¥), 故對(duì)d >0, $NÎN+, 當(dāng)n>N時(shí), 有|xn-x0|<d . 由假設(shè), xn ¹x0(nÎN+). 故當(dāng)n>N時(shí), 0<|x n-x 0|<d , 從而|f(x n)-A|<e . 即課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了極限的相關(guān)定理與函數(shù)列相關(guān)定理作業(yè)：P30.8第五節(jié)：兩個(gè)重要的極限1、準(zhǔn)則I 如果數(shù)列xn 、yn及zn滿足下列條件: (1)yn£xn£zn(n=1, 2, 3, × × ×), (2), , 那么數(shù)列xn 的極限存在, 且. 證明: 因

30、為, , 以根據(jù)數(shù)列極限的定義, "e >0, $N 1>0, 當(dāng)n>N 1時(shí), 有|y n-a|<e ; 又$N 2>0, 當(dāng)n>N 2時(shí), 有|z n-a|<e . 現(xiàn)取N=maxN 1, N 2, 則當(dāng) n>N 時(shí), 有|y n-a|<e , |z n-a|<e 同時(shí)成立, 即a-e<yn<a+e , a-e<z n<a+e , 同時(shí)成立. 又因yn£xn£zn , 所以當(dāng) n>N 時(shí), 有a-e<yn£x n£z n<a+e , 即 |

31、x n-a|<e . 這就證明了. 簡(jiǎn)要證明: 由條件(2), "e >0, $N >0, 當(dāng)n>N 時(shí), 有 |y n-a|<e 及|z n-a|<e , 即有 a-e<yn<a+e , a-e<z n<a+e , 由條件(1), 有 a-e<y n£x n£z n<a+e , 即 |x n-a|<e . 這就證明了. 注意： 準(zhǔn)則I¢ 如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件: (1) g(x)£f(x)£h(x); (2) lim g(x)=A

32、, lim h(x)=A; 那么lim f(x)存在, 且lim f(x)=A. 注 如果上述極限過程是x®x0, 要求函數(shù)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義, 上述極限過程是x®¥, 要求函數(shù)當(dāng)|x|>M時(shí)有定義, 準(zhǔn)則I 及準(zhǔn)則I¢ 稱為夾逼準(zhǔn)則. 2、第一重要極限下面根據(jù)準(zhǔn)則I¢證明第一個(gè)重要極限: . OCADB1x 證明 首先注意到, 函數(shù)對(duì)于一切x¹0都有定義. 參看附圖: 圖中的圓為單位圓, BCOA, DAOA. 圓心角ÐAOB=x (0<x<). 顯然 sin x=CB, x=, tan x=A

33、D. 因?yàn)?SDAOB<S扇形AOB<SDAOD , 所以sin x<x<tan x, 即 sin x<x<tan x. 不等號(hào)各邊都除以sin x, 就有, 或 . 注意此不等式當(dāng)-<x<0時(shí)也成立. 而, 根據(jù)準(zhǔn)則I¢, . 簡(jiǎn)要證明: 參看附圖, 設(shè)圓心角ÐAOB=x (). 顯然 BC< AB <AD, 因此 sin x< x < tan x, 從而 (此不等式當(dāng)x<0時(shí)也成立). 因?yàn)? 根據(jù)準(zhǔn)則I¢, . 應(yīng)注意的問題: 在極限中, 只要a(x)是無窮小, 就有.這是因?yàn)?

34、令u=a(x), 則u ®0, 于是., (a(x)®0). 例1. 求. 解: . 例2. 求. 解: = . .3、準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 如果數(shù)列x n滿足條件x 1£x 2£x 3£ × × × £x n£x n+1£ × × ×,就稱數(shù)列x n是單調(diào)增加的; 如果數(shù)列x n滿足條件x 1³x 2³x 3³ × × × ³x n³x n+1³ 

35、15; × ×,就稱數(shù)列x n是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列. 在第三節(jié)中曾證明: 收斂的數(shù)列一定有界. 但那時(shí)也曾指出: 有界的數(shù)列不一定收斂. 現(xiàn)在準(zhǔn)則II表明: 如果數(shù)列不僅有界, 并且是單調(diào)的, 那么這數(shù)列的極限必定存在, 也就是這數(shù)列一定收斂. 準(zhǔn)則II的幾何解釋: 單調(diào)增加數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動(dòng), 或者無限向右移動(dòng), 或者無限趨近于某一定點(diǎn)A, 而對(duì)有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生. 4、第二重要極限 根據(jù)準(zhǔn)則II, 可以證明極限存在. 設(shè), 現(xiàn)證明數(shù)列xn是單調(diào)有界的. 按牛頓二項(xiàng)公式, 有 , . 比較x n , x n+1的展開式,

36、 可以看出除前兩項(xiàng)外, x n的每一項(xiàng)都小于x n+1的對(duì)應(yīng)項(xiàng), 并且x n+1還多了最后一項(xiàng), 其值大于0, 因此 x n < x n+1 , 這就是說數(shù)列xn是單調(diào)有界的.這個(gè)數(shù)列同時(shí)還是有界的. 因?yàn)閤n的展開式中各項(xiàng)括號(hào)內(nèi)的數(shù)用較大的數(shù)1代替, 得.根據(jù)準(zhǔn)則II, 數(shù)列xn必有極限. 這個(gè)極限我們用e 來表示. 即. 我們還可以證明. e是個(gè)無理數(shù), 它的值是e=2.× × ×. 指數(shù)函數(shù)y=e x 以及對(duì)數(shù)函數(shù)y=ln x 中的底e 就是這個(gè)常數(shù). 在極限中, 只要a(x)是無窮小, 就有. 這是因?yàn)? 令, 則u ®¥, 于是

37、. , (a(x)®0). 例3. 求. 解: 令t=-x, 則x ®¥時(shí), t ®¥. 于是 . 或 .課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了兩個(gè)重要極限2、了解單調(diào)有界準(zhǔn)則3、綜合運(yùn)用夾逼準(zhǔn)則作業(yè)：P38.1,2,3第六節(jié)：無窮小與無窮大1、無窮小 如果函數(shù)f(x)當(dāng)x®x0(或x®¥)時(shí)的極限為零, 那么稱函數(shù)f(x)為當(dāng)x®x0(或x®¥)時(shí)的無窮小. 特別地, 以零為極限的數(shù)列xn稱為n®¥時(shí)的無窮小. 例如, 因?yàn)? 所以函數(shù)為當(dāng)x®¥時(shí)的無窮小

38、. 因?yàn)? 所以函數(shù)為x-1當(dāng)x®1時(shí)的無窮小. 因?yàn)? 所以數(shù)列為當(dāng)n®¥時(shí)的無窮小.討論: 很小很小的數(shù)是否是無窮?。?是否為無窮??？ 提示: 無窮小是這樣的函數(shù), 在x®x0(或x®¥)的過程中, 極限為零. 很小很小的數(shù)只要它不是零, 作為常數(shù)函數(shù)在自變量的任何變化過程中, 其極限就是這個(gè)常數(shù)本身, 不會(huì)為零. 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系: 定理1 在自變量的同一變化過程x®x0(或x®¥)中, 函數(shù)f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x)=A+a, 其中a是無窮小. 證明: 設(shè), "e

39、>0 , $ d >0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d 時(shí), 有|f(x)-A|<e . 令a=f(x)-A, 則a是x®x0時(shí)的無窮小, 且f(x)=A+a . 這就證明了f(x)等于它的極限A與一個(gè)無窮小a之和. 反之, 設(shè)f(x)=A+a , 其中A 是常數(shù), a是x®x0時(shí)的無窮小, 于是|f(x)-A|=|a|. 因a是x®x0時(shí)的無窮小, "e >0 , $ d >0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d , 有|a|<e 或|f(x)-A|<e 這就證明了A 是f(x) 當(dāng) x®

40、x0時(shí)的極限. 簡(jiǎn)要證明: 令a=f(x)-A, 則|f(x)-A|=|a|. 如果"e >0 , $ d >0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d , 有f(x)-A|<e , 就有|a|<e ; 反之如果"e >0 , $ d >0, 使當(dāng)0<|x-x0|<d , 有|a|<e , 就有f(x)-A|<e . 這就證明了如果A 是f(x) 當(dāng) x®x0時(shí)的極限, 則a是x®x0時(shí)的無窮小; 如果a是x®x0時(shí)的無窮小, 則A 是f(x) 當(dāng) x®x0時(shí)的極限. 類似地

41、可證明x®¥時(shí)的情形. 例如, 因?yàn)? 而, 所以.2、無窮大 如果當(dāng)x®x0(或x®¥)時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值|f(x)|無限增大, 就稱函數(shù) f(x)為當(dāng)x®x0(或x®¥)時(shí)的無窮大. 記為 (或). 應(yīng)注意的問題: 當(dāng)x®x0(或x®¥)時(shí)為無窮大的函數(shù)f(x), 按函數(shù)極限定義來說, 極限是不存在的. 但為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài), 我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”, 并記作 (或).討論: 無窮大的精確定義如何敘述？很大很大的數(shù)是否是無窮大? 提示: Û&quo

42、t;M>0, $d >0, 當(dāng)0<|x-|<d 時(shí), 有|f(x)|>M. 正無窮大與負(fù)無窮大:, . 例2 證明. 證 因?yàn)?quot;M>0, $, 當(dāng)0<|x-1|<d 時(shí), 有 , 所以. 提示: 要使, 只要. 鉛直漸近線: 如果, 則稱直線是函數(shù)y=f(x)的圖形的鉛直漸近線. 例如, 直線x=1是函數(shù)的圖形的鉛直漸近線. 3、無窮小與無窮大的關(guān)系定理 (無窮大與無窮小之間的關(guān)系) 在自變量的同一變化過程中, 如果f(x)為無窮大, 則為無窮小; 反之, 如果f(x)為無窮小, 且f(x)¹0, 則為無窮大.證明: 如果,

43、且f(x)¹0, 那么對(duì)于, $d >0, 當(dāng)0<|x-|<d 時(shí), 有, 由于當(dāng)0<|x-|<d 時(shí), f(x)¹0, 從而 ,所以為x®x0時(shí)的無窮大. 如果, 那么對(duì)于, $d >0,當(dāng)0<|x-|<d 時(shí), 有, 即, 所以為x®x時(shí)的無窮小.課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了無窮大與無窮小的概念2、掌握無窮大與無窮小之間的關(guān)系作業(yè)：P45.4,5第七節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)的概念在定義函

44、數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個(gè)概念增量設(shè)變量x從它的一個(gè)初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：x即：x=x2-x1 增量x可正可負(fù).我們?cè)賮砜匆粋€(gè)例子：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+x時(shí)，函數(shù)y相應(yīng)地從f(x0)變到，其對(duì)應(yīng)的增量為：這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖：現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)x趨向于零時(shí)，函數(shù)y對(duì)應(yīng)的增量y也趨向于零，即：，那末就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。函數(shù)連續(xù)性的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)的y=f(x

45、)的連續(xù)點(diǎn).下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于f(b)，即：= f(b)，那末我們就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)b左連續(xù).設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b)內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于f(a)，即：= f(a)，那末我們就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)a右連續(xù).一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間a，b連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。注：一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)