高中數(shù)學(xué) 基本數(shù)學(xué)方法

1、基本數(shù)學(xué)方法導(dǎo)言：眾里尋她千百廢，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處?？疾鞌?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)科考試說明中的一項基本要求，這是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點所決定的。數(shù)學(xué)思想方法與課本中的數(shù)學(xué)知識相比，具有普遍性、概括性和深刻性。一方面，數(shù)學(xué)思想方法不能脫離具體的數(shù)學(xué)對象而獨立的發(fā)揮作用，另一方面，在運用數(shù)學(xué)知識的過程中，又不可避免地涉及到數(shù)學(xué)思想方法。對數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)認(rèn)識，能使我們從總體上深刻理解、全面把握數(shù)學(xué)知識。 數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是不同的兩個范疇“方法”比較接近于操作，與經(jīng)驗的聯(lián)系很密切；而“思想”則具有指導(dǎo)性，并且與一般方法論相銜接數(shù)學(xué)方法在完成數(shù)學(xué)過程中的那些典型形式，包括一般地應(yīng)如何處理數(shù)學(xué)對象、通

2、過什么途徑、如何進(jìn)行變化來達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題的目的 本章的目的顯然是為了系統(tǒng)地理解和掌握數(shù)學(xué)方法，從而使我們能有意識地選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń忸} 高考中考查的數(shù)學(xué)方法主要有定義法、代入法、比較法(指比較大小)、配方法、數(shù)學(xué)歸納法、待定系數(shù)法、換元法、反證法、參數(shù)法等1定義法 所謂定義法，就是直接利用數(shù)學(xué)定義解題的一種方法 從本質(zhì)上說，數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來的因此用定義法解題，是最直接的方法 那么，什么叫定義呢？ 定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，也就是通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來明確概念的邏輯方法 定義，是千百次實踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物

3、的本質(zhì)特點簡單地說，定義是基本概念對數(shù)學(xué)實體的高度抽象 讓我們回到定義中去！ 例1已知f(x)=xncx，f(2)=14, f(4)=252, 求y=的定義域并判定它在，1)上的單調(diào)性解析：要判斷函數(shù)的單調(diào)性，必須首先確定 n與c的值 解： ， f(x)=x4+x, 由f(x)=x4x0，得其解集為(0，1). 任取x1、x2, 1)，并設(shè)x1<x2， f(x1)f(x2)=x14+x1+x24x2=(x2x1)(x2+x1)(x22+x12)1. 而x2x10，又(x2x1) (x22+x12)1 f(x1)f(x2)0, 故f(x)在，1)上單調(diào)遞減，y=在定義域上單調(diào)遞增 解題關(guān)鍵

4、：關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性的判斷，一般都是直接應(yīng)用定義這就要求我們對這些定義必須有深刻的本質(zhì)認(rèn)識，對定義中給出的每一個“詞”要透徹理解 例2若an=lg, bn=a3n, 試寫出bn的前三頂并證明數(shù)列bn是等差數(shù)列。解：b1=a3=lg, b2=a6=lg, b3=a9=lg, an+1an=lglg=lg, 數(shù)列an是首項a1=lg, 公差d=lg的等差數(shù)列，a3n=a1+(3n1)d,a3na3(n1)= a1+(3n1)da1+(3n4)d=3d=3lg (常數(shù)) bn是等差數(shù)列，解題關(guān)鍵：證明一個數(shù)列是等差(或等比)數(shù)列，必須根據(jù)定義：an+1an=d, d為常數(shù) (或=

5、q, q為常數(shù)且q0)，而巧用等差(或等比)數(shù)列的定義，更是簡化計算的有力手段。2代入法 例1若0<b<a，且ab=1，則四個數(shù)字，a，2ab，a2+b2中，最大的是( ). A Ba C2 ab Da2+b2 提示：作為只有一個選擇支正確的選擇題，可用特殊值代人的方法加以判斷取a=，b=易見選(B) 解題關(guān)鍵：代入法的另一類應(yīng)用，是用于排除不合理的推測、選項等 例2已知a、b、cC，abc=0，a2+b2+c2=0求證：|a|=|b|=|c|. 證： a=(bc)，代人另式得(bc)2b2c2=0b2+c2+bc=0，由之，解出b=(±i)c, 取其?？傻脇b|=|c|

6、，同理|a|=|b|，因此|a|=|b|=|c|. 解題關(guān)鍵：代人法是經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)方法，從上例可看出，代人能充分應(yīng)用等式的條件，并起消元作用，從而使問題變得更加明確，易于發(fā)現(xiàn)解題途徑。 3比較法 我們平時所說的比較法，只是單純地作差(與0比)或作商(和1比)，而作差更具有普遍性作商時必須注意所比的兩個數(shù)(或式)的符號 事實上，要比較兩個數(shù)的大小，許多時候僅用作差比商的方法是絕對不能解決問題的，在作差或比商的基礎(chǔ)上，還必須應(yīng)用不等式證明時的一切方法我們?yōu)榱税褑栴}闡述得更清楚、透徹，也為了所講的內(nèi)容更具有實用的意義和價值，不妨將“比較法”理解成“比較兩數(shù)(或式)的大小的方法”更科學(xué)和實際那么這樣

7、一來，與“比較法”的真實含義就出入頗大了 例1已知f(x)=ax1(a>1)，試比較3f1(x)與f1(3x)的大小 解：f1(x)=loga(x1) (a1，x>1) 3f1(x)=3foga(x1)=loga(x1)3f1(3x)=loga(3x1)，(x) 要比較 3f1(x)與f1(3x)的大小，由于 a>1，y=logax單調(diào)遞增, 因此只須比較(x1)3與3x1的大小 (x1)3(3x1=x2(x3)0 (x) 3f1(x)f1(3x)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取“=” 解題關(guān)鍵：在x的許可值范圍內(nèi)比較大小，實際上是對欲比的代數(shù)式作了適當(dāng)?shù)南拗婆c約束就本題而言，正確地確定

8、自變量x的取值范圍，是不能缺少的重要步驟當(dāng)然，錯把x的范圍當(dāng)成(1，)，雖然其結(jié)果不變，但推理過程至少是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?比較法是不等式證明的基本步驟和方法之一它遵循“作差(或比商)變形判斷”的解題規(guī)律作差之后的配方或因式分解，有時確實是判斷“差”的符號的關(guān)鍵。例2設(shè)數(shù)列an為等比數(shù)列，公比q0且q1，若A=a1a2an, B=，C=，試比較 2BnC2與 An之大小略解： A=a1a2an=，B=，C=, 2BnC2An qn1與q1同號、故 (1) 當(dāng)a1>0時，2BnC2與>An ； (2) 當(dāng)a1<0時，若n為偶數(shù)，2BnC2>An ，若n為奇數(shù)，2BnC2<An

9、 注：對a1分類討論，還不可能徹底解決問題，當(dāng)a1<0時，n的奇偶性決定了所比的兩個表達(dá)式的大小 4配方法 配方是一種基本而重要的恒等變形的手段許多時候，它是解答全題的關(guān)鍵一步，而正是這一步，才為我們解完全題創(chuàng)造了條件 配方，它被廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個方面、各種場合什么時候需要配方？往往要靠我們?nèi)ァ斑m當(dāng)?shù)仡A(yù)測” 為了“配”，需要“湊”；“湊”是配的前奏，“配”是“湊”的目的 在解題中，需要的時候，能否熟練地應(yīng)用“配方法”，某種程度上體現(xiàn)了一個人的分析和運算的能力 例1一個首項為正數(shù)的等差數(shù)列，若S3=S11，那么這數(shù)列前多少項和為最大？解：設(shè)此等差數(shù)列首項為a1，公差為d，依題意有3a1

10、3d=11a155d2a1=13d，則數(shù)列的前n項和Sn=na1na1n(n1)= 49(n7)2. a10， 當(dāng)n=7時，Sn為最大 解題關(guān)鍵：配方是常用的一種變形方式中學(xué)階段的主要要求是掌握如何配平方配方的目的為：(1) 判定一個代數(shù)式的正負(fù)；(2) 運用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)；(3) 有利于二次方程的討論；(4) 使用含有平方式的公式(例如兩點距離公式等)例2設(shè)方程x2+2kx+4=0的兩個實根為x1、x2，若3成立，求實數(shù)k的取值范圍 解：=3， 由韋達(dá)定理知：x1x2=2k，x1x2=4， 于是便有(k22)25，k或k, 又 x1、x2是方程的實根， 0， 4k2160，即k2或k2

11、綜合起來，k的范圍是, +)(, . 解題關(guān)鍵：關(guān)于實系數(shù)一元二次方程的問題，總是先考慮“”，然后恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用韋達(dá)定理對于本題，去掉了對“”的討論，雖然結(jié)果相同，但解答是不完整、不嚴(yán)密的而絕大部分的問題，由“”首先來確定一元二次方程中參數(shù)的取值范圍，它是必不可缺少的決定性的步驟 從不等式3的結(jié)構(gòu)特征必然聯(lián)想到配方這樣就為我們應(yīng)用韋達(dá)定理掃清了障礙 思考一：已知實系數(shù)方程x2x+p=0的兩根、有|=3，則p的值為( ) A2 B2.5 C2或2.5 D以上都不對 解析：選 A還是選 B？ 如果讀者意識到實系數(shù)方程的根可能是實數(shù)也可能是虛數(shù)，那么顯然A、B都不是所求的p值，C與D到底誰正確呢？運算中

12、少不了配方選C 思考二：復(fù)數(shù)z1、z2滿足10z12+5z22=2z1z2，且z1+2z2為純虛數(shù)，求證：3z1z2R. 解析：等式10z12+5z22=2z1z2，使我們聯(lián)想到配方是當(dāng)然的事，而z12z2與3z1z2又提示我們?nèi)デ〉胶锰幍亍芭洹?、“湊”系?shù). 證明：10z12+5z222z1z2=(3z1z2)2(z12z2)2=0， z12z2為純虛數(shù)， (z12z2)20 則 (3z1z2)30，可知3z1z2R. 注：抓住特殊常數(shù)，有目的地“配”與“湊”，必須具備較深刻的觀察能力 例3ABC中，S是它的面積，a、b是它的兩條邊的長，S=(a2+b2), 求這三角形的各內(nèi)角 解：由abs

13、inC=(a2+b2) a2+b22absinC=0, a22absinC+b2sin2C+b2cos2C=0, (absinC)2+b2cos2C=0 , A=B=45°, C=90°. 幾道例題，絕不可能將配方法的應(yīng)用的廣泛性和變換的靈活性表達(dá)得淋漓盡致更深刻的感受，還在以后的應(yīng)用中逐步強(qiáng)化 配方法是恒等變形的一種基本技巧，它在關(guān)鍵的時候把問題的結(jié)構(gòu)特征暴露出來學(xué)會熟練地運用配方法，這是數(shù)學(xué)解題的最基本的要求5待定系數(shù)法 正如配方法一樣，待定系數(shù)法也是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本方法之一 它的理論根據(jù)是多項式恒等實現(xiàn)(即兩個多項式恒等的充要條件)， 由于它的應(yīng)用的廣泛性和它在中學(xué)數(shù)

14、學(xué)中的突出作用，我們已經(jīng)將它理解為一種解題的重要策略把待定系數(shù)法提高到一種思想方法上來認(rèn)識，足見這在中學(xué)數(shù)學(xué)中的突出的地位 例1已知函數(shù)y=的最大值為7，最小值為1，求此函數(shù)的解析式 解析：求函數(shù)解析式，實際上是確定系數(shù)m、n的值 有些問題的本身并未指明要用待定系數(shù)法，甚至問題的解決也并非十分直觀地應(yīng)用了多項式恒等的原理，它只是反映了應(yīng)用這一方法的一些基本思想，我們也將這一類解決問題的方法稱為待定系數(shù)法，它是廣義的 解：將函數(shù)式變形為： (ym)x24x(yn)0 xR, =(4)24(ym)(yn)0，即y2(mn)y(mn12)0, 這時y=m也成立要使函數(shù)有最大值7，最小值1，亦就是1y

15、7，顯然(y1)(y7)0，就是 y26y70 比較的系數(shù)得方程組：， 或,故所求函數(shù)的表達(dá)式為：y=, 或y=.例2已知復(fù)數(shù)z=1+i, ，|=2, 且z23是虛部為負(fù)數(shù)的純虛數(shù)，求復(fù)數(shù). 解：設(shè)z23=ai(aR), 則|z23|=a得a16.于是 3=8=8(cos+isin),=2cos+isin (k0，1，2)， 1=1i，2=2，3=1i (設(shè)=2(cos+isin)，再由sin3=0且cos3<0也可得). 解題關(guān)鍵：待定系數(shù)法的理論原屬于多項式的恒等定理，在實際應(yīng)用中已 超出這個原理的范圍只要我們知道一個代數(shù)模型(方程、代數(shù)式、函數(shù)等)所具有的一般形式，便可以由它所需要

16、滿足的具體條件，逐步對一般形式中的某些常量或參數(shù)加以確定，從而得到一個具體形式在這一過程中，常常伴隨著代入法和解方程或方程組 6換元法解數(shù)學(xué)問題時，通過引入一個或幾個新變量代替原來的變量，使得代換后的問題中包含這些新變量的方法稱為換元法(也稱變量代換法)，用這種方法解題的目的是變換研究對象，其實質(zhì)是移問題至新對象的知識背景中去研究，達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的 例1求函數(shù)y=2+4x (x0)的值域 解析：求函數(shù)的值域當(dāng)然是在定義域上進(jìn)行的在多種多樣的方法中，哪一種最好呢？我們先別管方法的優(yōu)劣，把能夠想到的思路全部提出來，集中精力考慮一個問題：解答此題，能得到多少鍛煉！ 思路一：由啟發(fā)我們用三

17、角代換 令x=3tan, (0, )，則y=6sec3tan4， 怎樣來y的值域呢？只須求2sectan的值域就可以了,而這里最自然的想法就是 設(shè) z=2sectan=>0, zcos+sin=2, sin(+)=, 由|1得z23， zmin=，ymin=4+3，y43，) 其實，從z=的結(jié)構(gòu)特征上，還有一個最基本的聯(lián)想是直線的斜率公式定點(0，2)和單位圓x2y2=1(x0且y0)上的點的連線的斜率，只相差一個負(fù)號！ 于是令a=, 0, )，由數(shù)形結(jié)合知z的最小值為. 我們要求讀者要仔仔細(xì)細(xì)地推敲所給條件中的每一個字母、每種表達(dá)式，從而激發(fā)解題的靈感的火花 思路二：令t=y4，則xt

18、=2, (這種換元的真正的目的；為變形或有理式創(chuàng)設(shè)條件) 兩邊平方有 3x22tx36t2=0, 由x0知方程有非負(fù)實數(shù)解，因此 或者f(0)0, 又t>0；故t3，就是y43. (置函數(shù)于方程中，強(qiáng)化方程區(qū)間根的討論，何況t=y4的換元是何等巧妙) 思路三：設(shè)x+t, (0<t<3), 則x=, 而y=2+4x就轉(zhuǎn)化成：y=t+442=4+3，等號當(dāng)且僅當(dāng)t=即x時取得， y43, +) 解題關(guān)鍵：從不同的角度去思考問題，就可以產(chǎn)生出不同的換元的方法用任何一個新變量來代替原來的變量，目的總是使得思路更加通暢，問題更加易于解決我們既要熟練一般最常見的換元法，也要掌握某些獨特的

19、換元技巧，它的確能發(fā)展我們的智力品質(zhì) 例2解關(guān)于x的不等式>a2x，a0解：設(shè)t=，得x=a, t0 a<0，由已知不等式化簡得2t2ata20， t,再由>ha，解得x>a解題關(guān)鍵：通過引入一個或若干個新的變量去替代原有的變量、表達(dá)式，其目的為：(1) 變繁為簡：通過符號形式的變化，揭示問題的實質(zhì)，而不至被繁多的數(shù)學(xué)符號所困惑；(2) 變生為熟：通過代換，把較難的、不熟悉的問題化解為若干個為我們所熟知的小問題7反證法 牛頓說：“反證法是數(shù)學(xué)家最精銳的武器之一”這就充分肯定了這一方法的積極作用和不可動搖的重要地位 反證法的核心是從求證結(jié)論的反面出發(fā)，導(dǎo)出矛盾的結(jié)果因此如

20、何導(dǎo)出矛盾，就成了反證法的關(guān)鍵所在 出現(xiàn)矛盾的方式通常有：與公理定義矛盾；與已知條件或臨時假設(shè)矛盾；與顯然的事實矛盾；自相矛盾等 反證法可分為歸謬反證法和窮舉反證法兩種若命題的結(jié)論的反面只有一種情況就能肯定結(jié)論，這種反證法叫歸謬法；若命題的結(jié)論的反面不只一種情況，則需將反面情況一推翻才能肯定結(jié)論，這種反證法叫窮舉法 例1設(shè)復(fù)數(shù)m=1cosisin, (0, 2)，n=a2ai (aR)，若m·n是純虛數(shù)，則mn不可能是實數(shù)證明：假設(shè)mnR, m· n=(1cosisin)(a2ai=a2(1cos)asin+a2sin+a(1cos)i為純虛數(shù) , 由得a0，再由0<

21、<2 得1cos0，sin0 a=, 而mn=(1cos+a2)+(asin)iR,則asin=0a=sin.代入a=有=sin又sin0, 1cos=1，cos=2，這是不可能的 假設(shè)錯誤mn不可能是實數(shù)解題關(guān)鍵：含有否定詞的命題，都用反證法好思考：已知二項式(xx1)m與(xx1)n+1, (mN, nN)，求證：當(dāng)m=n時，這兩個二項式的展開式中不可能同時含有常數(shù)項 證：兩個展開式的通項分別是： Tr+1=, Tk+1=, 假設(shè)它們都含有常數(shù)項，則有m=2r，n=2k+1又m=n, 這是不可能的，矛盾表明假設(shè)是錯誤的，原命題成立 例2如圖，設(shè) SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底

22、面圓心，C是SB上一點求證：AC與平面SOB不垂直 證明：假設(shè) AC平面SOB，那么由SO底面 AOB得平面SOB平面AOB，平面SOB平面AOB于直線OB，作ADOB于D，則 AD平面 SOB，又 AC平面SOB，故AD/AC這與“AD與AC相交于點A”矛盾，所以假設(shè)不成立，則AC與平面SOB不垂直 解題關(guān)鍵：反證法是一種重要的數(shù)學(xué)證題法，它是以排中律為依據(jù)(“A”是“B”與“A”不是“B”兩者必居其一)，不直接證明“A”是“B”，而從反面證明“A”不是“B”不對，從而肯定“A”是“B”是對的反證法在證明否定性命題，存在性和推一性問題時常常被采用，其證題過程大致分為三步：(1) 作出與原結(jié)論

23、相反的假設(shè)；(2) 從假設(shè)出發(fā)，推出結(jié)果矛盾(至于與誰矛盾，事先難以預(yù)料，這是運用反證法解題的一個難點)；(3) 否定假設(shè)，肯定命題正確，三步中關(guān)鍵是第二步 例3設(shè)函數(shù) f(x)、g(x)在0，1上定義，證明：存在x0，y00，1，使得|x0y0f(x0)g(y0)|成立 解析：存在x0，y00，1，使得|x0y0f(x0)g(y0)|成立的反面結(jié)論是什么？ 任意的x，y0，1，均有|xyf(x)g(y)|< 對任意的x、y不等式均成立，那么特殊的應(yīng)該毫無疑問了 證明：設(shè)對于任意的x、y都有|xyf(x)g(y)|<成立，則特殊地，取x=0, y=0；x=1, y=0；x=0, y

24、=1；x=1, y=1. 就有 |0f(0)g(0)|<, |0f(1)g(0)|<, |0f(0)g(1)|<, |1f(1)g(1)|<. 以上四個式子相加得 +>|0f(0)g(0)|+ |0+f(1)+g(0)|+ |0+f(0)+g(1)|+ |1f(1)g(1)| |0f(0)g(0)+ 0+f(1)+g(0)+ 0+f(1)+g(0)+1f(0)g(0)|=1 這是不可能的，矛盾表明原結(jié)論成立，即存在x0、y00，1，使得|x0y0f(x0)g(y0)|成立.解題關(guān)鍵：本題是一個肯定型的存在性命題，當(dāng)我們?nèi)で髕0、y00，1滿足不等式|x0y0f(

25、x0)g(y0)|有困難時，于是便去構(gòu)造命題的反面情況8數(shù)學(xué)歸納法 對某類事物部分或全體的觀察研究發(fā)現(xiàn)它們具有某種屬性，從而推出這類事物整體都具有這種屬性，這種推理方法，稱為歸納法 歸納法是從特殊到一般的研究方法 在數(shù)學(xué)中證明與自然數(shù)有關(guān)的命題時，常用數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法是一種遞推的方法先驗證n等于第一個值n0時命題成立，再假設(shè)n=k時命題成立然后證明n=k1時也成立這兩步缺一不可第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是能無限遞推下去的理論依據(jù) 由于事物的普遍性附于事物的特殊性之中，因此，在需要研究某一對象時，我們常從研究各個個別對象的特征、屬性開始，進(jìn)而去猜想整個對象集所具有的共性，接著用數(shù)學(xué)歸納法證

26、明猜想的正確性因此，猜想和歸納，總是緊緊相隨的 例1設(shè)拋物線y=與x軸圍成部分的內(nèi)接正三角形A1，A2，An的邊長為an，它在拋物線上的頂點為Pn，(1) 用數(shù)學(xué)歸納法證明：若Ln=, 則Ln=n(n1) (2) 記線段PnPn+1長為rn，求 證明：設(shè)等邊三角形在x軸上的交點為Qk，k=1，2, ，n,(1) OP1所在直線方程為=x，聯(lián)立 y=, Q1=L1=|OP1|=·=, 初始條件成立假設(shè) n=k肘，有 Lkk(k+1)那么n=k+1時, QkPk+1所在直線方程為y=x,聯(lián)立 y=(k+1), Lk+1=k(k+1)+(k+1)·=(k+1)(k+2),對于一切

27、nN，命題成立(2) 在PnQnPn1中，由余弦定理知|PnPN+1|2=|PnQn|2+|QnPn+1|22|PnQN|QnPn+1|cos60° =(n)2+(n+1)22·n·(n+1)·=(n2+n+1),因此有=(12+22+n2)+(1+2+n)+n, =(n2+3n+5). 解題關(guān)鍵：幾何數(shù)列，特別要注意解題的嚴(yán)密性當(dāng)我們?nèi)ヲ炞Cn=k+1也成立時，怎樣合理地應(yīng)用幾何性質(zhì)，往往是成敗的關(guān)鍵 例2已知數(shù)列an的首項為1，以后各項由遞推式an1十 (n2)給出，求證：當(dāng)n為偶數(shù)時，anan+2，n為奇數(shù)時，anan+2. 解析：與自然數(shù)的奇偶性有

28、關(guān)的命題，往往須分奇、偶來討論 略證：由an1十1= (nN，n2) 易知，a2a4，假設(shè)a2na2n+2, 那么a2n+2a2n+4=， (*)只須證 an>0，則(*)由歸納假設(shè)知a2n+2a2n+40，這就是說，n為偶數(shù)時有anan+2 同理可知，n為奇數(shù)時，anan+2. 證明an0，同樣用歸納法，請讀者自行完成 解題關(guān)鍵：將遞推式變形成an=, 完全從問題的結(jié)論中激發(fā)靈感，不是要分奇偶討論嗎？因此建立間隔項之間的遞推關(guān)系也就順理成章 例3設(shè)f(x)=x3十x，用歸納法證明，對一切xZf(x)Z。 解析：一些函數(shù)與數(shù)列的基本性質(zhì)都可以被巧妙地應(yīng)用到歸納法的證明中來拆項與添項，又是

29、歸納法證明中經(jīng)常應(yīng)用的恒等變形的手段 證：x=0，f(0)=0Z. x=1時，f(1)=+=1Z命題成立假設(shè)n=k時, 命題成立 (kN), 那么x=k+1時，f(k+1)=(k+1)3+(k+1)=k3+k+k2+k+1. 由kN, 知 f(k+1)N. 當(dāng)xN時，命題成立 而f(x)為奇函數(shù)，因此當(dāng)x<0，xZ時，f(x)=f(x)Z這就是說，對于xZ，f(x)Z成立 解題關(guān)鍵：應(yīng)用函數(shù)的奇偶性，十分巧妙地實現(xiàn)了我們希望達(dá)到的目的 思考：用數(shù)學(xué)歸納法證明：annabn1(n1)bn能被(a一b)n整除(n2，nN)請讀者自己熟悉拆項、添項等恒等變形的技巧9參數(shù)法 隨著近代數(shù)學(xué)觀念的更

30、新，這種變化的思想已成為數(shù)學(xué)的基本思想之一參數(shù)的觀點已滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)各個分支，用參數(shù)方法解題也相當(dāng)普遍 什么是參數(shù)方法呢？ 參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目中研究的數(shù)學(xué)對象發(fā)生聯(lián)系的新變量參數(shù)，以此作為“媒介”，再進(jìn)行分析和綜合，從而使問題得到解決的方法 直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證 參數(shù)具有奇異活力，它能協(xié)調(diào)、制約主元變量的變化，揭示被研究數(shù)學(xué)對象瞬間的變化狀態(tài)，溝通條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，達(dá)到化繁為簡的目的例1設(shè)函數(shù)f(x)對任意的x、yR都有f(x)f(y)且當(dāng)x0時，f(x)0，試判斷f(x)的單調(diào)性。 解析：判斷f(x)的單調(diào)性，當(dāng)然必須根據(jù)單調(diào)性的定義

31、常規(guī)思路：任取x1、x2R，令x1x2，則x2x10，故f(x2x1)0 f(x2)=f(x2x1)x1=f(x2x1)十f(x1), f(x1)>f(x2), f(x)在R上單調(diào)遞減還有沒有別的思路呢？ 由x2x1, 設(shè)x2=x1+t (t>0), f(x2)=f(x1t)=f(x1)十f(t)f(x1)故f(x2)(x1) f(x)在R上單調(diào)遞減 引進(jìn)參數(shù)t，這是一種新的思維 在有關(guān)不等式的命題中，這種思想方法是經(jīng)常被應(yīng)用的 思考：實數(shù)a、b、c滿足abc=1，求a2b2c2的最小值 分析：由abc1，引進(jìn)參數(shù)t1、t2、t3使得a=+t1，b=+t2，c=+t3.t1+t2+t3=0,因此a2b2c2=(+t1)2(+t2)2(+t3)2 =+(t1+t2+t3)+t12+t22+t32所求的最小值為 我們絕不是去一味地欣賞這種引進(jìn)參數(shù)的技巧和解題過程的標(biāo)新立異，而只是希望讀者能對參數(shù)法解題有一個比較深刻的具體的認(rèn)識，在充分領(lǐng)略了它的特殊魅力之后，去自