高三數(shù)學(xué)講練直線和圓的方程

1、2010屆高三數(shù)學(xué)精品講練：直線和圓的方程一、典型例題例1、已知定點P（6，4）與定直線l1：y=4x，過P點的直線l與l1交于第一象限Q點，與x軸正半軸交于點M，求使OQM面積最小的直線l方程。分析：直線l是過點P的旋轉(zhuǎn)直線，因此是選其斜率k作為參數(shù)，還是選擇點Q（還是M）作為參數(shù)是本題關(guān)鍵。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，選k作為參數(shù)，運算量稍大，因此選用點參數(shù)。設(shè)Q（x0，4x0），M（m，0） Q，P，M共線 kPQ=kPM 解之得： x0>0，m>0 x0-1>0 令x0-1=t，則t>0 40當(dāng)且僅當(dāng)t=1，x0=11時，等號成立此時Q（11，44），直線l：x+y-10

2、=0評注：本題通過引入?yún)?shù)，建立了關(guān)于目標(biāo)函數(shù)SOQM的函數(shù)關(guān)系式，再由基本不等式再此目標(biāo)函數(shù)的最值。要學(xué)會選擇適當(dāng)參數(shù)，在解析幾何中，斜率k，截距b，角度，點的坐標(biāo)都是常用參數(shù)，特別是點參數(shù)。例2、已知ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求： （1）BC邊上的高所在直線方程；（2）AB邊中垂線方程；（3）A平分線所在直線方程。分析： （1） kBC=5 BC邊上的高AD所在直線斜率k= AD所在直線方程y+1=(x-2) 即x+5y+3=0 （2） AB中點為（3，1），kAB=2 AB中垂線方程為x+2y-5=0 （3）設(shè)A平分線為AE，斜率為k，則直線AC到AE的角等

3、于AE到AB的角。 kAC=-1，kAB=2 k2+6k-1=0 k=-3-（舍），k=-3+ AE所在直線方程為(-3)x-y-2+5=0評注：在求角A平分線時，必須結(jié)合圖形對斜率k進(jìn)行取舍。一般地涉及到角平分線這類問題時，都要對兩解進(jìn)行取舍。也可用軌跡思想求AE所在直線方程，設(shè)P(x，y)為直線AE上任一點，則P到AB、AC距離相等，得，化簡即可。還可注意到，AB與AC關(guān)于AE對稱。例3、（1）求經(jīng)過點A（5，2），B（3，2），圓心在直線2x-y-3=0上圓方程； （2）設(shè)圓上的點A（2，3）關(guān)于直線x+2y=0的對稱點仍在這個圓上，且與直線x-y+1=0相交的弦長為，求圓方程。分析：研

4、究圓的問題，既要理解代數(shù)方法，熟練運用解方程思想，又要重視幾何性質(zhì)及定義的運用，以降低運算量?？傊獢?shù)形結(jié)合，拓寬解題思路。（1） 法一：從數(shù)的角度若選用標(biāo)準(zhǔn)式：設(shè)圓心P（x，y），則由|PA|=|PB|得：(x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2又2x0-y0-3=0兩方程聯(lián)立得：，|PA|= 圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+(y-5)2=10若選用一般式：設(shè)圓方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，則圓心（） 解之得：法二：從形的角度AB為圓的弦，由平幾知識知，圓心P應(yīng)在AB中垂線x=4上，則由得圓心P（4，5） 半徑r=|PA|=顯然，充分利用平幾知識明顯降低了計算量（2）

5、 設(shè)A關(guān)于直線x+2y=0的對稱點為A由已知AA為圓的弦 AA對稱軸x+2y=0過圓心設(shè)圓心P（-2a，a），半徑為R則R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2又弦長， 4(a+1)2+(a-3)2=2+ a=-7或a=-3當(dāng)a=-7時，R=；當(dāng)a=-3時，R= 所求圓方程為(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244例4、已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一個圓，（1）求實數(shù)m取值范圍；（2）求圓半徑r取值范圍；（3）求圓心軌跡方程。分析： （1）m滿足-2(m+3)2+2(1-4m2)2-4(16m4+9)>0，

6、即7m2-6m-1<0 （3） 半徑r= 時， 0<r （3）設(shè)圓心P（x，y），則消去m得：y=4(x-3)2-1又 所求軌跡方程為(x-3)2=(y+1)（）例5、如圖，過圓O：x2+y2=4與y軸正半軸交點A作此圓的切線l，M為l上任一點，過M作圓O的另一條切線，切點為Q，求MAQ垂心P的軌跡方程。分析：從尋找點P滿足的幾何條件著手，著眼于平幾知識的運用。連OQ，則由OQMQ，APMQ得OQAP同理，OAPQ又OA=OQ OAPQ為菱形 |PA|=|OA|=2設(shè)P(x，y)，Q(x0，y0)，則又x02+y02=4 x2+(y-2)2=4（x0）評注：一般說來，當(dāng)涉及到圓的切

7、線時，總考慮過焦點的弦與切線的垂直關(guān)系；涉及到圓的弦時，常取弦的中點，考慮圓心、弦的中點、弦的端點組成的直角三角形。同步練習(xí)（一） 選擇題1、 若直線(m2-1)x-y+1-2m=0不過第一象限，則實數(shù)m取值范圍是A、-1<m B、m1 C、<m<1 D、m12、 已知直線2x+y-2=0和mx-y+1=0的夾角為，則m值為A、 或-3 B、-3或 C、-3或3 D、或33、 點P在直線x+y-4=0上，O為原點，則|OP|的最小值是A、 2 B、 C、 D、4、 過點A（1，4），且橫縱截距的絕對值相等的直線共有A、 1條 B、2條 C、3條 D、4條5、 圓x2+y2-4

8、x+2y+C=0與y軸交于A、B兩點，圓心為P，若APB=900，則C的值是A、 -3 B、3 C、 D、8 6、若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有兩個點到直線4x-3y-2=0距離等于1，則半徑r取值范圍是A、 （4，6） B、4，6） C、（4，6 D、4，6 7、將直線x+y-1=0繞點（1，0）順時針旋轉(zhuǎn)后，再向上平移一個單位，此時恰與圓x2+(y-1)2=R2相切，則正數(shù)R等于A、 B、 C、1 D、8、 方程x2+y2+2ax-2ay=0所表示的圓A、關(guān)于x軸對稱 B、關(guān)于y軸對稱C、關(guān)于直線x-y=0對稱 D、關(guān)于直線x+y=0對稱（二） 填空題 9、直線ax+by+

9、c=0與直線dx+ey+c=0的交點為（3，-2），則過點（a，b），（d，e）的直線方程是_。10、 已知(x，y)|(m+3)x+y=3m-4(x，y)|7x+(5-m)y-8=0=，則直線(m+3)x+y=3m+4與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是_。11、 已知x，y滿足，則x-y的最大值為_，最小值為_。12、 過點A（2，1），且在坐標(biāo)軸截距相等的直線方程是_。13、 已知圓：(x-1)2+y2=1，作弦OA，則OA中點的軌跡方程是_。（三） 解答題14、 已知y=2x是ABC中C平分線所在直線方程，A（-4，2），B（3，1），求點C坐標(biāo)，并判斷ABC形狀。15、 已知n條直線：x-y+

10、ci=0（i=1，2，n），其中C1=，C1<C2<C3<<Cn，且每相鄰兩條之間的距離順次為2，3，4，n，（1）求Cn；（2）求x-y+Cn=0與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積：（3）求x-y+Cn-1=0與x-y+Cn=0與x軸、y軸圍成的圖形面積。16、 已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x、y軸于A、B兩點，O為原點，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，（1）求證：(a-2)(b-2)=2；（2）求線段AB中點的軌跡方程；（3）求AOB面積的最小值。17、 已知兩圓x2+y2=4和x2+(y-8)2=4，（1）若兩圓分別在直線y=x+b兩側(cè)，求b取值范圍；（2）求過點A（0，5）且和兩圓都沒有公共點的直線的斜率k的范圍。18、當(dāng)0<a<2時，直線l1：ax-2y-2a+4=0與l2：2x+a2y-2a2-4=0和坐標(biāo)軸成一個四邊形，要使圍成的四邊形面積最小，a應(yīng)取何值？參考答案 （一）1、D 2、C 3、C 4、C 5、A 6、A 7、B 8、D