高中數(shù)學(xué)推理與證明歸納推理學(xué)案含解析

1、1.1.1歸納推理1.了解歸納推理的含義，能利用歸納推理進行簡單的推理.(重點)2.了解歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用.(難點)基礎(chǔ)初探教材整理歸納推理閱讀教材P3P5，完成下列問題.1.歸納推理的定義根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個事物都有這種屬性，這種推理方式稱為歸納推理.2.歸納推理的特征歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理.利用歸納推理得出的結(jié)論不一定是正確的.判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)統(tǒng)計學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，這種估計屬于歸納推理.()(2)由個別到一般的推理稱為歸納推理.()(3)由歸納推理所得到的結(jié)論一定是正確的.()

2、【答案】(1)(2)(3)質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型數(shù)式中的歸納推理(1)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10() A.28B.76C.123D.199(2)已知f(x)，設(shè)f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN)，則f3(x)的表達式為_，猜想fn(x)(nN)的表達式為_.【精彩點撥】(1)記anbnf(n)，觀察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之間的關(guān)系，再歸納得出結(jié)論.(2)寫出前n項發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納猜想結(jié)果

3、.【自主解答】(1)記anbnf(n)，則f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(nN，n3)，則f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.(2)f1(x)f(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表達式，歸納fn(x).【答案】(1)C(2)f3(x)fn(x)已知等式或不等式進行歸納推理的方法：(

4、1)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中項數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；(2)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征；(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點；(4)運用歸納推理得出一般結(jié)論.再練一題1.經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)下列不等式：2，2，2，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫出一個對正實數(shù)a，b都成立的條件不等式：_.【答案】當(dāng)ab20時，有2，a，bR數(shù)列中的歸納推理(1)在數(shù)列an中，a11，an1，則a2 017等于()A.2B.C.2D.1(2)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，如圖111：圖111由于圖中1，3，6，10這些數(shù)能夠表示成三角形，故被稱為三角形數(shù)，試結(jié)合組成三角

5、形數(shù)的特點，歸納第n個三角形數(shù)的石子個數(shù).【精彩點撥】(1)寫出數(shù)列的前n項，再利用數(shù)列的周期性解答.(2)可根據(jù)圖中點的分布規(guī)律歸納出三角形數(shù)的形成規(guī)律，如11，312，6123；也可以直接分析三角形數(shù)與n的對應(yīng)關(guān)系，進而歸納出第n個三角形數(shù).【自主解答】(1)a11，a2，a32，a41，數(shù)列an是周期為3的數(shù)列，2 01767231，a2 017a11.【答案】D(2)法一：由11，312，6123，101234，可歸納出第n個三角形數(shù)為123n.法二觀察項數(shù)與對應(yīng)項的關(guān)系特點如下：項數(shù)1234對應(yīng)項分析：各項的分母均為2，分子分別為相應(yīng)項數(shù)與相應(yīng)項數(shù)加1的積.歸納：第n個三角形數(shù)的石子

6、數(shù)應(yīng)為.數(shù)列中的歸納推理在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測數(shù)列的通項公式或前n項和.(1)通過已知條件求出數(shù)列的前幾項或前n項和；(2)根據(jù)數(shù)列中的前幾項或前n項和與對應(yīng)序號之間的關(guān)系求解；(3)運用歸納推理寫出數(shù)列的通項公式或前n項和公式.再練一題2.已知數(shù)列an滿足a11，an12an1(n1，2，3，)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項公式an. 【解】(1)當(dāng)n1時，知a11，由an12an1，得a23，a37，a415，a531.(2)由a11211，a23221，a37231，a415241，a531251，可歸納猜想出an2n1(nN).探究共研型幾何圖形中的歸納

7、推理探究1在法國巴黎舉行的第52屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個球；第2，3，4，堆最底層(第一層)分別按圖112所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，試求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值.圖112【提示】觀察圖形可知，f(1)1，f(2)4，f(3)10，f(4)20.探究2上述問題中，試用n表示出f(n)的表達式.【提示】由題意可得：下一堆的個數(shù)是上一堆個數(shù)加下一堆第一層的個數(shù)，即f(2)f(1)3；f(3)f(2)6；f(4)

8、f(3)10；f(n)f(n1).將以上(n1)個式子相加可得f(n)f(1)3610(1222n2)(123n).有兩種花色的正六邊形地面磚，按如圖113的規(guī)律拼成若干個圖案，則第6個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是()圖113A.26 B.31C.32D.36【精彩點撥】解答本題可先通過觀察、分析找到規(guī)律，再利用歸納得到結(jié)論.【自主解答】法一：有菱形紋的正六邊形個數(shù)如下表：圖案123個數(shù)61116由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數(shù)依次組成一個以6為首項，以5為公差的等差數(shù)列，所以第6個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是65(61)31.法二：由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無紋正六邊形需6個

9、有紋正六邊形圍繞(圖案1)外，每增加一塊無紋正六邊形，只需增加5塊菱形紋正六邊形(每兩塊相鄰的無紋正六邊形之間有一塊“公共”的菱形紋正六邊形)，故第6個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)為：65(61)31.【答案】B歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略通過一組平面或空間圖形的變化規(guī)律，研究其一般性結(jié)論，通常需形狀問題數(shù)字化，展現(xiàn)數(shù)學(xué)之間的規(guī)律、特征，然后進行歸納推理.解答該類問題的一般策略是： 再練一題3.根據(jù)圖114中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個圖形中線段的條數(shù)為_.圖114【解析】分別求出前4個圖形中線段的數(shù)目，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出猜想，圖形到中線段的條數(shù)分別為1，5，13，29，因為1223，5233，1

10、3243，29253，因此可猜想第8個圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為2813509.【答案】509構(gòu)建體系1.(2016廈門高二檢測)用火柴棒擺“金魚”，如圖115所示：圖115按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()A.6n2B.8n2C.6n2D.8n2【解析】a18，a214，a320，猜想an6n2.【答案】C2.(2015廣東高考)若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【解析】n2時，可以；n3時，為正三角形，可以；n4時，為正四面體，可以；n5時，為四棱錐，側(cè)面為正三角形，底面為菱形且對角線長與邊長相等，不可能.

11、【答案】B3.(2016福建安溪模擬)已知12123，1222235，122232347，12223442459，則1222n2_.(其中nN*).【解析】根據(jù)題意歸納出1222n2n(n1)(2n1)，下面給出證明：(k1)3k33k23k1，則2313312311，3323322321，(n1)3n33n23n1，累加得(n1)3133(1222n2)3(12n)n，整理得1222n2n(n1)(2n1)，故填n(n1)(2n1).【答案】n(n1)(2n1)4.觀察下列等式：11234934567254567891049照此規(guī)律，第五個等式應(yīng)為_. 【解析】由于112，234932，345672552，456789104972，所以第五個等式為56789101112139281.【答案】5678910111213815.有以下三個不等式：(1242)(9252)(1945)2，(6282)(22122)(62812)2，(202102)(102272)(20102107)2.請你觀