高中數(shù)學(xué)立體幾何中的最值問(wèn)題內(nèi)接外切球面距離

1、立體幾何中的最值問(wèn)題、內(nèi)接外切、球面距離1. 一條長(zhǎng)為2的線段，它的三個(gè)視圖分別是長(zhǎng)為的三條線段，則ab的最大值為ABCD3【答案】C【解析】構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，讓長(zhǎng)為2的線段為體對(duì)角線，由題意知，即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以選C. 2. 四棱錐的三視圖如右圖所示，四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，E、F分別是棱AB、CD的中點(diǎn)，直線EF被球面所截得的線段長(zhǎng)為，則該球表面積為A.B.24C.D. 【答案】A 【解析】將三視圖還原為直觀圖如右圖，可得四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)位于同一個(gè)正方體的頂點(diǎn)處，且與該正方體內(nèi)接于同一個(gè)球且該正方體的棱長(zhǎng)為.設(shè)外接球的球心為O，則O也是正方體的中心，設(shè)E

2、F中點(diǎn)為G，連接OG，OA，AG.根據(jù)題意，直線EF被球面所截得的線段長(zhǎng)為，即正方體面對(duì)角線長(zhǎng)也是,可得,所以正方體棱長(zhǎng),在直角三角形中，,即外接球半徑，得外接球表面積為,選A. 3. 若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，則球的表面積為 （ ）ABCD【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以。所以，即為直角三角形。因?yàn)槿忮F的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，所以斜邊AC的中點(diǎn)是截面小圓的圓心，即小圓的半徑為.,因?yàn)槭前霃?，所以三角形為等腰三角形，過(guò)作,則為中點(diǎn)，所以,所以半徑，所以球的表面積為,選B. 4. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高為，外接球的體積是，則A、B兩點(diǎn)的球面距離為_(kāi).【答案

3、】【解析】因?yàn)檎睦庵饨忧虻捏w積為，所以,即外接球的半徑為，所以正四棱柱的體對(duì)角線為，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則，解得底面邊長(zhǎng)。所以三角形為正三角形，所以，所以A、B兩點(diǎn)的球面距離為.5. 設(shè)A、B、C、D為球O上四點(diǎn)，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且，則A、D兩點(diǎn)間的球面距離 。【答案】 【解析】因?yàn)锳B、AC、AD兩兩互相垂直，所以分別以AB、AC、AD為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，在長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為球的直徑，所以球的直徑，所以球半徑為,在正三角形中，所以A、D兩點(diǎn)間的球面距離為.6. 如圖，某三棱錐的三視圖都是直角邊為2的等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球的體積是 【答案】【解析】由三視圖可知，該幾何

4、體是一個(gè)三棱錐，三棱錐的三個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，,7. 在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為線段，（不包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且線段平行于平面，則四面體的體積的最大值是 A B C D【答案】A【解析】過(guò)做底面于O,連結(jié),則，即為三棱錐的高，設(shè)，則由題意知,所以有，即。三角形，所以四面體的體積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以四面體的體積的最大值為，選A. 8. 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若平面 則線段長(zhǎng)度的取值范圍是A B. C. D. 【答案】B【解析】取的中點(diǎn)M,的中點(diǎn)N,連結(jié)，可以證明平面平面，所以點(diǎn)P 位于線段上，把三角形拿到平面上，則有,所以當(dāng)點(diǎn)P位于時(shí)，最大，當(dāng)P位于中點(diǎn)O時(shí)，最小，此時(shí)，所以，即，所以線段長(zhǎng)度的取值范圍是，選B. 9. 正三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，則當(dāng)該棱柱體積最大時(shí)，高 。【答案】【解析】根據(jù)對(duì)稱性可知，球心位于正三棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)上。設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，則，所以,所以高，由得，即正三棱柱底面邊長(zhǎng)的取值范圍是。三棱柱的體積為,即體積,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)高。10. 已知球與棱長(zhǎng)均為2的三棱錐