高一數(shù)學不等式部分經(jīng)典習題及答案

1、3.不 等 式一不等式的性質(zhì)：1同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；3左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若，則或；4若，則；若，則。如（1）對于實數(shù)中，給出下列命題： ； ； ； ； ； ； ； ，則。其中正確的命題是_（答：）；（2）已知，則的取值范圍是_（答：）；（3）已知，且則的取值范圍是_（答：）二不等式大小比較的常用方法：1作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)

2、式）；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函數(shù)的單調(diào)性；7尋找中間量或放縮法 ；8圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）設(shè)，比較的大?。ù穑寒敃r，（時取等號）；當時，（時取等號）；（2）設(shè)，試比較的大?。ù穑海?；（3）比較1+與的大?。ù穑寒敾驎r，1+；當時，1+；當時，1+）三利用重要不等式求函數(shù)最值時，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針。（1）下列命題中正確的是 A、的最小值是2 B、的最小值是2 C、的最大值是 D、的最小值是（答：C）；（2）若，則的最小值是_（答：）；（3）正數(shù)滿足，則的最小值為_（答：）；4.常用不等

3、式有：（1）(根據(jù)目標不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用) ；（2）a、b、cR，（當且僅當時，取等號）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。如果正數(shù)、滿足，則的取值范圍是_（答：）五證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。).常用的放縮技巧有：（1）已知，求證： ；(2) 已知，求證：；（3）已知，且，求證：；(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：；（5）已知，求證：；(6)若，求證：；(7)已知，求證：；（8）求證：。六一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟化為的形式

4、，若,則；若,則；若,則當時，；當時，。如已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_（答：）七一元二次不等式的解集（聯(lián)系圖象）。尤其當和時的解集你會正確表示嗎？設(shè),是方程的兩實根，且，則其解集如下表：或或RRR如解關(guān)于的不等式：。（答：當時，；當時，或；當時，；當時，；當時，）八簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。（1）解不等式。（答：或）；（2）不等式的解集是_

5、（答：或）；（3）設(shè)函數(shù)、的定義域都是R，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為_（答：）；（4）要使?jié)M足關(guān)于的不等式（解集非空）的每一個的值至少滿足不等式中的一個，則實數(shù)的取值范圍是_.（答：）九不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。（1）解不等式 （答：）（2）關(guān)于的不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集。（答：）.十絕對值不等式的解法：1分段討論法（最后結(jié)果應取各段的并集）：如解不等式（答：）；（2）利用絕對值的定義；（3）數(shù)形結(jié)合；解不等式（答：）（4）兩邊平方：若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_。（答：）十一含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類

6、討論是關(guān)鍵”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應求并集. 如（1）若，則的取值范圍是_（答：或）；（2）解不等式（答：時，；時，或；時，或）提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關(guān)于的不等式 的解集為，則不等式的解集為_（答：（1,2）十二不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）（

7、1).恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上如（1）設(shè)實數(shù)滿足，當時，的取值范圍是_（答：）；（2）不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍_（答：）；（3）若不等式對滿足的所有都成立，則的取值范圍_（答：（,）；（4）若不等式對于任意正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_（答：）；（5）若不等式對的所有實數(shù)都成立，求的取值范圍.（答：）（2). 能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的.如已知不等式在實數(shù)集上的解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍_（答：）（3). 恰成立問題若不等

8、式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為；若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為.十三對于方程有實數(shù)解的問題。首先要討論最高次項系數(shù)是否為0，其次若，則一定有。對于多項式方程、不等式、函數(shù)的最高次項中含有參數(shù)時，你是否注意到同樣的情形？（1）對一切恒成立，則的取值范圍是_（答：）；（2）關(guān)于的方程有解的條件是什么？(答：，其中為的值域)，特別地，若在內(nèi)有兩個不等的實根滿足等式，則實數(shù)的范圍是_.（答：）十四一元二次方程根的分布理論。方程在上有兩根、在上有兩根、在和上各有一根的充要條件分別是什么？ （、）。根的分布理論成立的前提是開區(qū)間，若在閉區(qū)間討論方程有實數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間上實根分布的情況，得出結(jié)果，再令和檢查端點的情況如實系數(shù)方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，則的取值范圍是_（答：（，1）十五二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的