高中數(shù)學立體幾何方法題型總結(jié)

1、 立體幾何重要定理：1）直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.2）直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.3）平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.4）兩個平面垂直性質(zhì)判定：如果一個平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面. 兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.5）推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.證明：如圖

2、，找O作OA、OB分別垂直于，因為則.一：夾角問題 異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次. 直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是異面直線所成角：范圍：（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線構(gòu)成三角形；解三角形求出角。(常用到余弦定理)（2）補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系； (3)向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角 (計算結(jié)果可能是其補角)直線與平面所成的角 斜線和平面所成的是一個直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常

3、通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵；向量法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，與所成的角為，與的夾角為，則有的求法二面角的平面角，（1）定義法：在棱l上取一點P，兩個半平面內(nèi)分別作l的垂線（射線）m、n，則射線m和n的夾角為二面角l的平面角。（2）三垂線法：（三垂線定理法：A作或證AB于B，作BO棱于O，連AO，則AO棱l，AOB為所求。）向量法：設(shè)，是二面角的兩個面，的法向量，則向量，的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大小若二面角的平面角為，則二、空間距離問題兩異面直線間的距離方法一：轉(zhuǎn)化為線面距離。如圖，m和n為兩條異面直線，且，則異面直m和n

4、之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線m與平面之間的距離。方法二：高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進行計算,直接計算公垂線段的長度。點到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線再求解；向量法：點到直線距離：在直線上找一點，過定點且垂直于直線的向量為，則定點到直線的距離為點到平面的距離方法一：幾何法。步驟1：過點P作PO于O，線段PO即為所求。步驟2：計算線段PO的長度。(直接解三角形；等體積法和等面積法；換點法)等體積法步驟：在平面內(nèi)選取適當三點，和已知點構(gòu)成三棱錐；求出此三棱錐的體積V和所取三點構(gòu)成三角形的面積S；由V=S·h，求出h即為所求.這種方法的優(yōu)點是不必作出垂線即可

5、求點面距離.方法二：坐標法。線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距三、平行與垂直問題證明直線與平面的平行：（1）轉(zhuǎn)化為線線平行；（2）轉(zhuǎn)化為面面平行.證明平面與平面平行：（1）轉(zhuǎn)化為線面平行；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直.證明線線垂直：（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；方法（2）：用線面垂直實現(xiàn)。 方法（3）：三垂線定理及其逆定理。證明線面垂直：（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；（3）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面；（4）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直.方法（1）：用線線垂直實現(xiàn)。 方法二：用面面垂直實現(xiàn)。 面

6、面垂直： 方法一：用線面垂直實現(xiàn)。方法二：計算所成二面角為直角。高中數(shù)學之立體幾何空間幾何體的三視圖和直觀圖1 三視圖：正視圖：從前往后 側(cè)視圖：從左往右 俯視圖：從上往下2 畫三視圖的原則： 長對正、高平齊、寬相等3直觀圖：斜二測畫法（角度等于45度或者135度）4斜二測畫法的步驟：（1）.平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x軸的線長度不變；（3）.畫法要寫好?？臻g幾何體的表面積與體積（一 ）空間幾何體的表面積：1棱柱、棱錐的表面積： 各個面面積之和2 圓柱的表面積 3 圓錐的表面積：4 圓臺的表面積 5 球的表面積6扇形的面積公式（其中表示弧長，表示半

7、徑）注：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于地面圓的周長（二）空間幾何體的體積1柱體的體積 2錐體的體積 3臺體的體積 4球體的體積 平面的基本性質(zhì)公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).公理2 如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.公理3 經(jīng)過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.空間線面的位置關(guān)系 共面 平行沒有公共點(1)直線與直線 相交有且只有一個公共

8、點異面(既不平行，又不相交) 直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點(2)直線和平面 直線不在平面內(nèi) 平行沒有公共點 (直線在平面外) 相交有且只有一公共點(3)平面與平面 相交有一條公共直線(無數(shù)個公共點)平行沒有公共點異面直線的判定證明兩條直線是異面直線通常采用反證法；有時也可用定理“平面內(nèi)一點與平面外一點的連線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線”.線面平行與垂直的判定 (1)兩直線平行的判定定義：在同一個平面內(nèi)，且沒有公共點的兩條直線平行.如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行，即若a,a，=b,則ab.平行于同一直線的兩直線平行，即若ab,bc,則a

9、c.垂直于同一平面的兩直線平行，即若a，b，則ab兩平行平面與同一個平面相交，那么兩條交線平行，即若,=b,則ab如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線與這兩個平面的交線平行，即若=b,a,a，則ab.(2)兩直線垂直的判定1.定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.2.一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若bc,ab,則ac3.一條直線垂直于一個平面，則垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直線.即若a,b，ab.4.如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與這個平面的垂線垂直.即若a,b, 則ab.5.三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若,，,且=a,=b

10、,=c，則ab,bc,ca.(3)直線與平面平行的判定定義：若一條直線和平面沒有公共點，則這直線與這個平面平行.如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行.即若 a,b，ab,則a.兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面，即若,l，則l.如果一個平面和平面外的一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個平面平行.即若 ,l，l，則l.在一個平面同側(cè)的兩個點，如果它們與這個平面的距離相等，那么過這兩個點的直線與這個平面平行，即若A，B，A、B在同側(cè)，且A、B到等距，則AB.兩個平行平面外的一條直線與其中一個平面平行，也與另一個平面平行，即若,a，a，a，則

11、.如果一條直線與一個平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即若 a,b，ba，則b.如果兩條平行直線中的一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面(或在這個平面內(nèi))，即若ab,a,b(或b)(4)直線與平面垂直的判定定義：若一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直.如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.即若m，n，mn=B,lm,ln,則l.如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若la, a,則l.一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面，即若, l，則l.如果兩個平

12、面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面，即若,a=，l，la,則l.如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面，即若,且a=,則a.(5)兩平面平行的判定定義：如果兩個平面沒有公共點，那么這兩個平面平行，即無公共點.如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行，即若a,b，ab=P,a,b,則.垂直于同一直線的兩平面平行.即若a,a,則.平行于同一平面的兩平面平行.即若,則.一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個平面平行，即若a,b,c,d,ab=P,ac,bd,則.(6)兩平面垂直的判定定義：兩

13、個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面互相垂直，即二面角a=90°.如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直，即若l,l，則.一個平面垂直于兩個平行平面中的一個，也垂直于另一個.即若，則.直線在平面內(nèi)的判定(1)利用公理1：一直線上不重合的兩點在平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi).(2)若兩個平面互相垂直，則經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)，即若,A，AB，則AB.(3)過一點和一條已知直線垂直的所有直線，都在過此點而垂直于已知直線的平面內(nèi)，即若Aa,ab，A,b，則a.(4)過平面外一點和該平面平行的直線，都在過此點而與該平面平

14、行的平面內(nèi)，即若P，P，Pa,a，則a.(5)如果一條直線與一個平面平行，那么過這個平面內(nèi)一點與這條直線平行的直線必在這個平面內(nèi)，即若a,A，Ab,ba,則b.一、平面.1. 經(jīng)過不在同一條直線上的三點確定一個面.2. 兩個平面可將平面分成3或4部分.（兩個平面平行，兩個平面相交）3. 過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.（三條直線在一個平面內(nèi)平行，三條直線不在一個平面內(nèi)平行）4. 三個平面最多可把空間分成 8 部分.（X、Y、Z三個方向）二、空間直線.1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線共面有且有一個公共點；平行直線共面沒有公共點；異面直線不同在任一平面內(nèi)2. 異面直

15、線判定定理：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.4. 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如下圖）. 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.5. 兩異面直線的距離：公垂線的長度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.三、 直線與平面平行、直線與平面垂直.1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平

16、行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行，線面平行”）3. 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直. l 若，得（三垂線定理），得不出. 因為，但不垂直O(jiān)A.l 三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直，線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于

17、一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.5. 垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；垂線段比任何一條斜線段短.四、 平面平行與平面垂直.1. 空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.（“線面平行，面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.3. 兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第

18、三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）4. 兩個平面垂直性質(zhì)判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直，面面垂直”）5. 兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面五、 棱錐、棱柱.1. 棱柱.直棱柱側(cè)面積：（為底面周長，是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.斜棱住側(cè)面積：（是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側(cè)棱長）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體.直四棱柱平行六面體=直平行六面體.棱柱具有的性質(zhì)：棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等多邊形.過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為，則.推論二：長方體一條對角