泰勒公式的推廣及某些應(yīng)用1

1、泰勒公式的推廣及某些應(yīng)用數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(師范)專業(yè) 2012級屆王杰摘 要: 眾所周知，數(shù)學(xué)分析中有許多微分中值公式不能直接推廣.在數(shù)學(xué)分析中，重要的泰勒公式是作為Lagrange中值公式的一個(gè)推廣而給出的；而在復(fù)變函數(shù)中，它卻是在級數(shù)理論中直接給出的，并且也沒有提及余項(xiàng)的問題.本文最終實(shí)現(xiàn)了實(shí)分析中的泰勒公式推廣到復(fù)分析中的一個(gè)理論結(jié)果，同時(shí)給出了幾個(gè)常見解析函數(shù)的泰勒展式及其簡單應(yīng)用.關(guān)鍵詞: 極限；解析；中值公式；泰勒公式；實(shí)分析；復(fù)分析中圖分類號：O172Some Application of Taylor formula and its extensionAbstrac

2、t: In this paper, first Lagrange mean value theorem is extended in line segment of analytic region. Then based on the extend Lagrange mean value theorem and Mathematical Analysiss Taylors theorem, the differential Taylor theorem of real analysis is extended into the complex analysis in line segment

3、of analytic region and correspondence results are obtained. Finally, a few familiar analytic functions Taylor formulae are given this papre and its applications in brief.Key Words: limit; convex domain; mean value theorem; Taylor theorem; real analysis; complex analysis目錄1引言12 泰勒公式在實(shí)分析中的應(yīng)用22.1泰勒公式在證

4、明不等式中的應(yīng)用22.2 泰勒公式在求函數(shù)極限中的應(yīng)用33 泰勒公式在復(fù)分析中的一個(gè)推廣43.1預(yù)備知識43.2 主要公式及其推論63.3主要公式的證明63.3幾個(gè)常見解析函數(shù)的泰勒展式及簡單應(yīng)用84 泰勒公式在兩函數(shù)的和、差、商的推廣95 結(jié)束語13參考文獻(xiàn)13致謝13泰勒公式的推廣及某些應(yīng)用1引言泰勒公式有那些形式？為了方便我們研究和討論，在這我們先說幾種.定理1.1設(shè)在點(diǎn)具有階導(dǎo)數(shù)，即存在，則存在的某個(gè)領(lǐng)域，對于該領(lǐng)域內(nèi)的任一點(diǎn)，有(1.1)我們稱為皮亞諾型余項(xiàng)，(1.1)式稱為帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式.多項(xiàng)式(1.2)稱作在處的泰勒多項(xiàng)式. 當(dāng)時(shí)，泰勒公式變成拉格朗日中值公式.(1.3

5、) 在泰勒公式(1.2)中，如果取，則在0與之間因此可令，從而泰勒公式變成較簡單的形式，即所謂麥克勞林(Maclauri)公式(1.4)在泰勒公式(1.1)中，如果取，則有帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式（1.5）那么它在這方面有那些應(yīng)用？它又有什么推廣和應(yīng)用？我們通過以下的幾個(gè)方面來深入探討和研究. 2泰勒公式在實(shí)分析中的應(yīng)用泰勒公式是研究復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的極其有效的工具，在證明不等式、求函數(shù)極限、求近似值、判斷函數(shù)極值等方面有著廣泛的應(yīng)用.因此，關(guān)于泰勒公式的應(yīng)用一直是人們研究的課題. 下面我們介紹泰勒公式的幾個(gè)應(yīng)用.2.1泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用用泰勒公式證明不等式就是把所要證的不等式適當(dāng)

6、變形,把其中的函數(shù)用此公式展開,再把展開式右邊進(jìn)行放大或縮小,從而推證要證的不等式. 例2.1 當(dāng)時(shí)，證明不等式成立.證明由于故顯然有即 所以成立.例2.2設(shè)是上的連續(xù)正值函數(shù)，且證：.分析直接寫出的泰勒展開式，然后根據(jù)題意對展式進(jìn)行放縮.證明將在點(diǎn)處展開成帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式得：2.2泰勒公式在求函數(shù)極限中的應(yīng)用當(dāng)極限為分式時(shí)，若分子或分母中只需展開一個(gè)，那么只需把其展到另一個(gè)的同階無窮小的階數(shù)；若分子和分母都需要展開，可分別展到其同階無窮小的階數(shù)，即合并后的首個(gè)非零項(xiàng)的冪次的次數(shù). 當(dāng)極限不是為分式時(shí)，展開的階數(shù)應(yīng)與函數(shù)中最高次冪相同. 例2.3 求解分析因?yàn)榉肿?、分母都需要展開，比

7、較一下分母為兩個(gè)函數(shù)的乘積，先展分母，再把分子展開到分母的同階無窮小. 所以 故 通過上面的幾個(gè)例子，可以看出利用泰勒公式求解某些函數(shù)的極限具有簡潔、方便的作用，從而準(zhǔn)確、高效的解決一些數(shù)學(xué)問題. 3泰勒公式在復(fù)分析中的一個(gè)推廣泰勒公式在實(shí)變函數(shù)與復(fù)變函數(shù)中占有重要的地位，特別是在函數(shù)逼近論、求解微分方程、級數(shù)理論和估值等方面都有其重要的理論與應(yīng)用價(jià)值.眾所周知，在數(shù)學(xué)分析中，泰勒公式大部分是在Lagrange中值公式的基礎(chǔ)之上推廣而提出的，并結(jié)合數(shù)學(xué)分析中的其它理論得到了帶有各種余項(xiàng)形式的泰勒公式.與此相比較，在復(fù)變函數(shù)中，泰勒公式是在冪級數(shù)理論部分中提出的，并且主要運(yùn)用柯西積分公式來證明的

8、，也并沒有提及泰勒公式余項(xiàng)的問題等.當(dāng)然，實(shí)變函數(shù)中的大部分中值公式是不能直接推到復(fù)變函數(shù)中的1，但在復(fù)分析中有Grace公式及其推廣與文獻(xiàn)中的Lagrange中值公式等類似結(jié)論2.這些理論研究有其不同的研究重點(diǎn)，但是它們也是實(shí)分析中微分中值公式很好的繼承與發(fā)展.基于這些理論和上面的分析比較，給本文公式的提出提供了理論支持和推理模式.本文就是在文獻(xiàn)中的Lagrange中值公式的改進(jìn)基礎(chǔ)之上2，得出了本文中與實(shí)分析中的泰勒公式相類似的結(jié)論：設(shè)于內(nèi)解析，在上連續(xù)，連線含于內(nèi)，則在線段上必有兩點(diǎn)有.在實(shí)分析實(shí)變函數(shù)展開為冪級數(shù)時(shí)，要證明其余項(xiàng)趨于零.而在復(fù)變函數(shù)展開為冪級數(shù)時(shí)，卻不必要，要證明余項(xiàng)趨

9、于零是非常困難與復(fù)雜的.鑒于此，本部分只形式地給出了余項(xiàng).這也是部分結(jié)合實(shí)變函數(shù)的泰勒公式通過推理論證而得到的一個(gè)新結(jié)果.3.1預(yù)備知識定義3.1 具備下列性質(zhì)的非空點(diǎn)集,稱為凸型區(qū)域，簡稱凸域. （1）為開集. （2）中任意兩點(diǎn)的連線全在中.定義3.2 區(qū)域加上它的邊界,稱為閉域，記為.定義3.3 如果復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處可微，則稱于區(qū)域可微.如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微，則稱函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù).區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，也稱為區(qū)域內(nèi)的全純函數(shù)或正則函數(shù).公式3.1（解析函數(shù)的無窮可微性） 設(shè)函數(shù)在平面上的區(qū)域內(nèi)解析，在上連續(xù)，則在區(qū)域內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)，并且它們也在區(qū)域內(nèi)解析.為了后面主要公式的證明，對參考

10、文獻(xiàn)中的Lagrange中值公式進(jìn)行了如下的改進(jìn)2：引理3.1（Lagrange中值公式） 設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,連線包含于內(nèi)，則在線段上必有兩點(diǎn)有 .證 （1）時(shí)，結(jié)論顯然成立. （2）時(shí)，設(shè)線段的方程為：.作輔助函數(shù)，由于內(nèi)解析,所以于上連續(xù),于上可導(dǎo)，從而與滿足實(shí)變函數(shù)的拉格朗日中值公式，也因此，分別，使,其中， ，整理即得結(jié)論. 證畢.推論3.1 設(shè)于凸域內(nèi)解析，則必存在兩點(diǎn)，有.注對于推論1.1，結(jié)合定義1.1中的（2）中任意兩點(diǎn)的連線全在中，知凸域只是引理1.1中區(qū)域的特例，因此推論又可以敘述為：設(shè)于區(qū)域內(nèi)解析，中任意兩點(diǎn)的連線全在中，則，必存在兩點(diǎn)，有.并且，通過推理過程，我們可以進(jìn)一

11、步知到推論中所給出存在的兩點(diǎn)，可在所給出的任意兩點(diǎn)的連線上得到.3.2主要公式及其推論公式3.2（Taylor公式） 設(shè)于內(nèi)解析，在上連續(xù)，連線含于內(nèi)，則在線段上必有兩點(diǎn)有.推論3.2 設(shè)于凸域內(nèi)解析，則必存在兩點(diǎn)，有.3.3主要公式的證明證明（類似引理1.1的證明）（1）時(shí)，結(jié)論顯然成立.（2）時(shí)，設(shè)線段的方程為：.作輔助函數(shù)，則，由于內(nèi)解析，所以于上連續(xù)，于上可導(dǎo)，又由解析函數(shù)的無窮可微性，從而與滿足實(shí)變函數(shù)的泰勒公式，則分別，有，從而，.其中，整理即為所證. 說明對于推論3.2，由凸域的定義3.1中（2）中任意兩點(diǎn)的連線全在中，知本公式的區(qū)域是公式3.1中區(qū)域的特例，從而可以按公式3.1

12、直接證出.在Grace公式的推廣3(文獻(xiàn)有詳細(xì)的敘述與論證)及其文獻(xiàn)中的Lagrange中值公式等結(jié)論的研究與改進(jìn)的基礎(chǔ)之上2，結(jié)合實(shí)分析中的泰勒公式及其導(dǎo)出模式，形式地得到了解析函數(shù)在線段上的帶有余項(xiàng)的泰勒展式：給出這個(gè)的泰勒展式，在解某些題目時(shí)，便于簡化問題，使解題過程直觀易于理解. 3.3 幾個(gè)常見解析函數(shù)的泰勒展式及簡單應(yīng)用例3.1 求函數(shù)在平面的解析區(qū)域內(nèi)的線段上的泰勒展式().分析我們已經(jīng)熟知在解析區(qū)域中的泰勒展式，又由于泰勒公式的唯一性，因此，可以只考慮展示的尾項(xiàng)，這是這種展開式的關(guān)鍵.解 因?yàn)?所以 .例3.2 求函數(shù)在平面的解析區(qū)域內(nèi)的線段上的泰勒展式().分析我們可以結(jié)合實(shí)

13、分析的泰勒展式及其本文中的公式，從而可以只考慮尾項(xiàng)，得到等的展式.解 考慮尾項(xiàng)得到.例3.3 為解析函數(shù)的至少級零點(diǎn)，又為解析函數(shù)的級零點(diǎn)，則證.分析本題的應(yīng)用關(guān)鍵在于，在所要求的區(qū)域充分小的情況下，我們可以保證鄰域中的任意點(diǎn)與的連線段含于其鄰域內(nèi)，從而在這些線段上有本文的泰勒公式成立，從而可以運(yùn)用這個(gè)公式，相對原來的解法直觀一些.證明因與在的某鄰域內(nèi)解析，為的至少級零點(diǎn)，為的級零點(diǎn)，則在的某鄰域內(nèi)由于時(shí)，鄰域中的任意點(diǎn)與的連線段含于其鄰域內(nèi)，從而在這些線段上有：，所以有4泰勒公式在兩函數(shù)的和、差、商的推廣如果對和在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)分別使用泰勒公式4.則有，將公式移項(xiàng)，得(4.1)(4.2)問題

14、是，能否找到一個(gè)共同的，使得（1）（2）兩式的兩端經(jīng)四則運(yùn)算以后，分別得到如下幾個(gè)等式：(4.3)(4.4)(4.5)(4.6)事實(shí)上，（4.5）式不成立.因?yàn)槿魧ⅲ?.5）式右端取到一階導(dǎo)數(shù)，且令，怎應(yīng)有.現(xiàn)在取，,取，則，而二者不相等，即在內(nèi)找不到，使得（4.5）式成立. 下面證明(4.3)、(4.4)、（4.6）式成. 定理 4.1 設(shè)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)時(shí)，在間至少存在一點(diǎn)，使得（4.3）式成立. 證明設(shè)，顯然滿足泰勒公式的條件，則有即移項(xiàng)并重新排序即得（4.3）式成立，證畢. 類似的，只要設(shè)，即可證明（4.4）式成立. 定理 4.2 設(shè)在的某領(lǐng)域內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，且

15、在以為端點(diǎn)的開區(qū)間內(nèi)的各階導(dǎo)數(shù)處處不為零，則在之間至少存在一使得（4.6）式成立. 證明設(shè)易知在內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù)，且：于是，經(jīng)反復(fù)使用柯西中值定理，有這里在與之間，在與之間，在與之間，因而也在與之間 注意到,故有，于是,將與代入即得（6）使式，證畢. 若取，則定理2可化簡為如下形式：(4.7)例4.1設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，試證明證明令，因?yàn)?.所以，于是根據(jù)（4.7）式，有證畢.結(jié)束語根據(jù)題目特點(diǎn),靈適地運(yùn)用泰勒公式及其推廣,不斷加深對其理解與認(rèn)識,對學(xué)習(xí)微積分學(xué)都十分有益. 希望本文對泰勒公式的部分總結(jié)和提出的泰勒公式與其相應(yīng)推論能有其廣泛的理論價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值.參考文獻(xiàn)1鐘玉泉. 復(fù)變函數(shù)論M.北京:高等教育出版社，2003.