江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)2013屆高三第二學(xué)期開(kāi)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

1、江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)2013屆高三第二學(xué)期開(kāi)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、填空題:(本大題共14小題,每小題5分,計(jì)70分,請(qǐng)將答案填入答題區(qū))1.若集合=_.2.命題“xR,有x2+1x”的否定是_.3.若i是虛數(shù)單位,則=_.4.“<1”是“成立”的_.條件(填充分不必要、必要不充分,既不充分也不必要,充要).5.已知流程圖如圖所示,為使輸出的值為16,則判斷框內(nèi)處應(yīng)填_. 第5題圖6.已知直線與曲線在處的切線互相垂直,則_.7.已知cos=,cos()=,且0<<<,則=_.8.若4張卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張,則取出的2張卡片上的數(shù)字之和

2、為奇數(shù)的概率為_(kāi).9.若A、B與 F1、F2分別為橢圓C:的兩長(zhǎng)軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn),橢圓C上的點(diǎn)P使得F1PF2=,則tanAPB=_.10.已知數(shù)列an(nN*)滿足a1=1且,則其前2013項(xiàng)的和為_(kāi).11.定義在R上的函數(shù)是增函數(shù),且函數(shù)的圖像關(guān)于(2,0)成中心對(duì)稱(chēng),若s,t滿足不等式,若時(shí),則的最大值為_(kāi). 12.已知圓M:,過(guò)軸上的點(diǎn)存在一直線與圓M相交,交點(diǎn)為A、B,且滿足PA=BA,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為_(kāi).13.已知非零向量與滿足,則的最小值為_(kāi).14.已知,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足,則的取值范圍為_(kāi).15.在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列.(1)若

3、·=-,b=,求a+c的值; (2)求2sinA-sinC的取值范圍.16.在三棱柱中,已知底面是邊長(zhǎng)為的正三角形,側(cè)棱,點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn),底面.()求證:線段DE平面;()求證:FO平面.17.某生產(chǎn)旅游紀(jì)念品的工廠,擬在2010年度將進(jìn)行系列促銷(xiāo)活動(dòng).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算,該紀(jì)念品的年銷(xiāo)售量萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用萬(wàn)元之間滿足與成反比例.若不搞促銷(xiāo)活動(dòng),紀(jì)念品的年銷(xiāo)售量只有1萬(wàn)件.已知工廠2010年生產(chǎn)紀(jì)念品的固定投資為3萬(wàn)元,每生產(chǎn)1萬(wàn)件紀(jì)念品另外需要投資32萬(wàn)元.當(dāng)工廠把每件紀(jì)念品的售價(jià)定為:“年平均每件生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件所占促銷(xiāo)費(fèi)一半”之和時(shí),則當(dāng)年的產(chǎn)量和銷(xiāo)量相等.(

4、利潤(rùn)=收入-生產(chǎn)成本-促銷(xiāo)費(fèi)用)(1)求出與所滿足的關(guān)系式;(2)請(qǐng)把該工廠2010年的年利潤(rùn)萬(wàn)元表示成促銷(xiāo)費(fèi)萬(wàn)元的函數(shù);(3)試問(wèn):當(dāng)2010年的促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí),該工廠的年利潤(rùn)最大?18.如圖,橢圓C: 過(guò)點(diǎn),梯形ABCD(ABCD軸,且)內(nèi)接于橢圓,E是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn).()求橢圓C的方程;()設(shè)試求的最大值.19.已知函數(shù),且,.(1)求的值;(2)已知定點(diǎn),設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn),求 的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);(3)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20.設(shè)數(shù)列,對(duì)任意都有,(其中是常數(shù))(1)當(dāng),時(shí),求;(2)當(dāng),時(shí),若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)若數(shù)列中任意(

5、不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱(chēng)該數(shù)列是 “封閉數(shù)列”.當(dāng),時(shí),設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,試問(wèn):是否存在這樣的“封閉數(shù)列” ,使得對(duì)任意,都有,且.若存在,求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值;若不存在,說(shuō)明理由.21. 學(xué)校餐廳每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐,每星期一有AB兩樣菜可供選擇,調(diào)查資料表明,凡是在本周星期一選A菜的,下周星期一會(huì)有20%改選B,而選B菜的,下周星期一則有30%改選A,若用AnBn分別表示在第n個(gè)星期一選AB菜的人數(shù).(1)若,請(qǐng)你寫(xiě)出二階矩陣M;(2)求二階矩陣M的逆矩陣.22.若極坐標(biāo)系的極軸與直角坐標(biāo)系的x軸非負(fù)半軸重合,單位長(zhǎng)度相等,已知曲線C的參數(shù)方程為,曲線D的極坐標(biāo)方程為

6、.(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程;(2)曲線C與曲線D有無(wú)公共點(diǎn)?試說(shuō)明理由.23.如圖,已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,ABAC,MN分別是CC1BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線A1B1上,且滿足.(1)證明:PNAM;(2)若平面PMN與平面ABC所成的角為45°,試確定點(diǎn)P的位置.24.設(shè)數(shù)列滿足,.(1)當(dāng)時(shí),求證:M;(2)當(dāng)時(shí),求證:;(3)當(dāng)時(shí),判斷元素與集合的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.參考答案一填空題:1. 2. xR,使x2+1<x; 3. 1006+1007i 4.必要不充分條件 5.3 6. 7. 8. 9. - 10.16 1

7、1.0 12. 13.1 14.15.解:1)因?yàn)锳,B,C成等差數(shù)列,所以B=.·=-,accos(-B)=-,ac=,即ac=3.b=,b2=a2+c2-2accosB,a2+c2-ac=3,即(a+c)2-3ac=3.(a+c)2=12,所以a+c=2 (2)2sinA-sinC=2sin(-C)-sinC=2(cosC+sinC)-sinC=cosC.0<C<,cosC(-,).2sinA-sinC的取值范圍是(-,) 16.()因?yàn)槠矫鏋槠叫兴倪呅? 所以共線, , 又 ()因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)這的正三角形,所以. 又底面,所以, 又,所以. 又F為的中點(diǎn),所以 又平面,

8、 所以平面 17.解:(1)設(shè)比例系數(shù)為.由題知,有.又時(shí),所以 ,. 所以與的關(guān)系是 (2)依據(jù)題意,可知工廠生產(chǎn)萬(wàn)件紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為萬(wàn)元,促銷(xiāo)費(fèi)用為萬(wàn)元,則每件紀(jì)念品的定價(jià)為:元/件.于是,進(jìn)一步化簡(jiǎn),得.因此,工廠2010年的年利潤(rùn)萬(wàn)元 (3)由(2)知, ,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取等號(hào),所以,當(dāng)2010年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入7萬(wàn)元時(shí),工廠的年利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為42萬(wàn)元 18.()由題意得 3 分 解得 ()根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)E在軸上,則E點(diǎn)的坐標(biāo)為, 設(shè)BD的方程為,由得 設(shè),則, , 從而, 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)取得 19.(1)由,得, 解得: (2)由(1),所以, 令,則 因?yàn)?所以,所以,當(dāng),

9、所以,即的最小值是,此時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)是 (3)問(wèn)題即為對(duì)恒成立,也就是對(duì)恒成立, 要使問(wèn)題有意義,或.法一:在或下,問(wèn)題化為對(duì)恒成立, 即對(duì)恒成立,即對(duì)恒成立,當(dāng)時(shí),或,當(dāng)時(shí),且對(duì)恒成立,對(duì)于對(duì)恒成立,等價(jià)于,令,則,遞增,結(jié)合或,對(duì)于對(duì)恒成立,等價(jià)于令,則,遞減,綜上: 法二: 故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立,令若時(shí),由于,故,在時(shí)單調(diào)遞增,依題意,舍去;若,由于,故,考慮到,再分兩種情形:(),即,的最大值是,依題意,即,;(),即,在時(shí)單調(diào)遞增,故,舍去綜上可得, 20.解:(1)當(dāng),時(shí), 用去代得, -得, 在中令得,則0,數(shù)列是以首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,= (2)當(dāng),時(shí), 用去代得, -得

10、, , 用去代得, -得,即, 數(shù)列是等差數(shù)列,公差, (3)由(2)知數(shù)列是等差數(shù)列,又是“封閉數(shù)列”,得:對(duì)任意,必存在使,得,故是偶數(shù), 又由已知,故一方面,當(dāng)時(shí),對(duì)任意,都有另一方面,當(dāng)時(shí),則,取,則,不合題意 當(dāng)時(shí),則,當(dāng)時(shí),又,或或或 附加題:21. 解:(1); (2)設(shè)矩陣M的逆矩陣為,則由=得:,解之得:, 22. 解:(1)由得 分(2)由得曲線的普通方程為分 得 分 解得,故曲線與曲線無(wú)公共點(diǎn) 分23. 解:(1)證明:如圖,以AB,AC,AA1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.則P(,0,1),N(,0),M(0,1,), 從而=(-,-1),=(0,1,),=(-)×0+×1-1×=0,所以PNAM (2)平面ABC的一個(gè)法向量為n=(0, 0, 1).設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),由(1)得=(,-1,).由 解得 平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°,|cos&