淺談解析幾何中及點差法

1、淺談解析幾何中的“點差法”高二（七班）第一學習小組易正貴整理 2013年5月解析幾何在高考中占有重要地位，一般放在試題倒數(shù)第二題，有時也成為壓軸題。在高考中，絕大多數(shù)學生只能完成第1問，第2問，因計算量大而難無法完成。在平時學習及復習過程中，要讓自己真正理解解析幾何中的最優(yōu)解法與算法，這樣在考試中才能作出正確的、最優(yōu)的解法選擇，這樣才能事半功倍。下面談談 什么是“點差法”？什么情況下用“點差法”？若設直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標為、，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。二次曲線上兩點，

2、設的中點，的斜率為。由（1）（2）得，又這一等式建立了二次曲線弦的斜率與弦的中點坐標之間關系式。即已知弦的中點，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中點坐標。同時也告訴我們當題目問題涉及到弦的斜率與弦的中點在一起時，就要想到“點差法”。一、 以定點為中點的弦所在直線的方程例1、已知拋物線，過點的直線交拋物線于A、B兩點且點平分AB，求直線的方程。分析：此題涉及到弦AB的斜率及弦AB的中點坐標，故采用“點差法”。解：設則從而直線的方程為練習1、過橢圓內一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。2、已知的三個頂點都在拋物線上，其中，且的重心是拋物線的焦點，求直線的方程.二、 過定點的弦和平行

3、弦的中點坐標和中點軌跡例2、已知橢圓C：，直線過點P（1,1）交橢圓C于A、B兩點，求AB中點M的軌跡方程。分析：此題涉及到弦AB的中點坐標，且弦的斜率等于MP的斜率。故采用“點差法”。解：設，則點P在橢圓內部，直線與橢圓恒有兩個交點，點M的軌跡方程為：三、圓錐曲線上兩點關于某直線對稱問題例3、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點關于該直線對稱。解：設，為橢圓上關于直線的對稱兩點，為弦的中點，則，兩式相減得，即，這就是弦中點軌跡方程。它與直線的交點必須在橢圓內聯(lián)立，得則必須滿足，即，解得練習、若拋物線上存在不同的兩點關于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍.四、證明定值問題例4已知是橢圓不垂直于軸的任意一條弦，是的中點，為橢圓的中心.求證：直線和直線的斜率之積是定值.證明設且，則，（1），（2）得：，.又，（定值）.五、求參數(shù)的取值范圍例5、（穩(wěn)派2013年5月高二年級模底考試理科第20題）如圖，在中，橢圓C：，以E、F為焦點且過點D，點O為坐標原點。（）求橢圓C的標準方程；（）若點K滿足，問是否存在不平行于EF的直線與橢圓C交于不同的兩點M、N且，若存在，求出直線的斜率的取值范圍，若不存在，說明理由。xyDEFO解：（）略：，（）分析：，設MN的中點為H，