極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識點(diǎn)總結(jié)大全學(xué)生版

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識點(diǎn)總結(jié)大全一、平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換： 的作用下,點(diǎn)對應(yīng)到點(diǎn) ,稱為平面直角坐標(biāo)系中的 ,簡稱 .二、極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系的建立如圖所示,在平面內(nèi)取一個定點(diǎn),叫做 ,自 引一條射線,叫做 ;再選定一個 單位,一個 單位(通常取弧度)及其正方向(通常取 時針方向),這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.注:極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)的關(guān)系,而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)設(shè)是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)與點(diǎn)的

2、距離叫做點(diǎn)的 ,記為;以 為始邊, 為終邊的角叫做點(diǎn)的 ,記為.有序數(shù)對叫做點(diǎn)的 ,記作.一般地,不作特殊說明時,我們認(rèn)為可取任意實(shí)數(shù).特別地,當(dāng)點(diǎn)在 時,它的極坐標(biāo)為.和直角坐標(biāo)不同,平面內(nèi)一個點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.如果規(guī)定 ,那么除 外,平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示;同時,極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的.3.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景:把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,如圖所示:(2)互化公式:設(shè)是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是,極坐標(biāo)是(),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表:點(diǎn)直角坐標(biāo)極坐標(biāo)互化公式在一般情況下,由確定角時

3、,可根據(jù)點(diǎn)所在的象限最小正角.4.常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn),半徑為的圓 圓心為,半徑為的圓 圓心為,半徑為的圓 過極點(diǎn),傾斜角為的直線(1) (2) 過點(diǎn),與極軸垂直的直線 過點(diǎn),與極軸平行的直線 注:由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一,即都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo),這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式,只要求至少有一個能滿足極坐標(biāo)方程即可.例如對于極坐標(biāo)方程點(diǎn)可以表示為等多種形式,其中,只有的極坐標(biāo)滿足方程.三、參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念 一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個變數(shù)的函數(shù),并且對于的每一個允許值,由

4、方程組 所確定的點(diǎn)都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做 ,簡稱 ,相對于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做 .2.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)中的一個與參數(shù)的關(guān)系,例如,把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系,那么就是曲線的參數(shù)方程,在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的

5、形式也不同。3圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓的半徑為，點(diǎn)從初始位置出發(fā)，按逆時針方向在圓上作勻速圓周運(yùn)動，設(shè)，則 .這就是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是 轉(zhuǎn)過的角度.圓心為，半徑為的圓的普通方程是，它的參數(shù)方程為： 4橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為其參數(shù)方程為 ，其中參數(shù)稱為 ；焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是其參數(shù)方程為 ，其中參數(shù)仍為 ，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為 注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的 ，要把它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開來，除了在四個頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在到的范圍內(nèi)），在其他任何一點(diǎn)，兩個角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)時，相應(yīng)地也有，在其他象限內(nèi)類似。5雙曲線的參數(shù)方程 以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為其參數(shù)方程為 ，其中焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是其參數(shù)方程為 注：以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點(diǎn)的 6拋物線的參數(shù)方程 以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線的參數(shù)方程為 注：參數(shù)的幾何意義是拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的 7直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線的普通方程是 ，而過，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為 .注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為 ，其中表示直線上以定點(diǎn)為起點(diǎn)，任一點(diǎn)為終點(diǎn)的有向線段