暑期班第5講平面向量與解三角形理科學(xué)生版

1、第五講平面向量與解三角形高考要求平面向量與解三角形要求層次重難點平面向量的相關(guān)概念B平面向量平面向量的實際背景及基本概念了解向量的實際背景理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義理解向量的幾何表示向量的線性運算掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義平面向量的基本定理及坐標表示了解平面向量的基本定理及其意義掌握平面向量的正交分解及其坐標表示會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算理解用坐標表示的平面向量共線的條件平面向量的數(shù)量積理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系掌

2、握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系向量的應(yīng)用會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題解三角形正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題應(yīng)用能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題向量加法與減法C向量的數(shù)乘C兩個向量共線B平面向量的基本定理A平面向量的正交分解及其坐標表示B用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算C用坐標表示的平面向量共線的條件C數(shù)量積C數(shù)量積的坐標表示C用數(shù)量積表示兩個向量的夾角B用數(shù)

3、量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系C用向量方法解決簡單的問題B正弦定理、余弦定理B解三角形B知識精講板塊一：平面向量（一） 知識內(nèi)容一、平面向量1向量的概念向量既有大小又有方向的量用或來表示，向量的長度記作或零向量長度為的向量，記為，它的方向不確定，通常規(guī)定與任意向量平行單位向量：長度為的向量平行向量（共線向量）方向相同或相反的向量向量平行于，記作相等向量：長度相等且方向相同的向量，記為2向量的運算向量加法運用“三角形法則”與“平行四邊形法則”（以及多邊形法則）；向量的加法滿足交換律與結(jié)合律；向量的減法：向量加上的相反向量叫做與的差，可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）數(shù)乘向量：實數(shù)

4、與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：；當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，方向是任意的數(shù)乘向量滿足：，3向量共線的條件：平行向量基本定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得4平面向量的基本定理如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底5平面向量的直角坐標坐標：在直角坐標系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量作為基底，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，把叫做向量的坐標，記作平面向量的坐標運算：若，；二、平面向量的數(shù)量積兩個非零向量的夾角已知非零向量與，作，則（）叫

5、與的夾角，記作當時，與垂直，記數(shù)量積的概念已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）向量的數(shù)量積滿足交換律、對數(shù)乘的結(jié)合律以及與對加減法的分配律向量的投影：稱為向量在向量方向上的投影，其中數(shù)量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積向量數(shù)量積的坐標運算：；（二）典例分析： 【例1】 給出下列命題：若，則；若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；若，則；的充要條件是且；若，則；其中正確的序號是【例2】 （2008湖南理）設(shè)、分別是的三邊、上的點，且，則與（ ）A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直【例3】 （2008江西理）直角坐標平面上三點、，若為線段的三等

6、分點，則【例4】 （2007浙江文9）若非零向量，滿足，則（ ）AB C D【例5】 （2008江蘇啟東期中）設(shè)向量、滿足，若，則的值是_【例6】 點、分別是的邊、上的點，若、分別是、的中點，線段與的交點為，求；若是的角平分線，求若，線段與交于點，求【例7】 （2006湖南理）如圖所示，點在由射線、線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運動，且，則的取值范圍是；當時，的取值范圍是【例8】 已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角（2007山東11）在直角中，是斜邊上的高，則下列等式不成立的是（ ）A BC D【例9】 （2007陜西理15文16）如圖，平面內(nèi)有三個向量，其中與的夾角為，與

7、的夾角為，且，若，則的值為【例10】 （2005北京），且，則向量與的夾角為（ ）ABCD【例11】 （2009西城一模）設(shè)為坐標原點，向量將繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量，則的坐標為正方形對角線交點為，坐標原點不在正方形內(nèi)部，且，則（ ）A B C D【例12】 （2007四川）設(shè)，為坐標平面上三點，為坐標原點，若與在方向上的投影相同，則與滿足的關(guān)系式為（ ）A B C D板塊二：解三角形（一） 知識內(nèi)容在中，、為其內(nèi)角，、分別表示、的對邊解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內(nèi)角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形

8、的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等解斜三角形的主要依據(jù)是：角與角關(guān)系：；邊與邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；邊與角關(guān)系：正弦定理（為外接圓半徑）；余弦定理，；面積公式：（二）典例分析： 【例13】 在中，則角等于（ ）A或 B C D以上答案都不對在中，若，則的形狀是_【例14】 在中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個解的是（ ）A BC D【例15】 （2006安徽）如果的三個內(nèi)角的余弦值分別等于的三個內(nèi)角的正弦值，則（ ）A和都是銳角三角形B和都是鈍角三角形C是鈍角三角形，是銳角三角形D是銳角三角形，是鈍角三角形【例16】 （2008浙江理）在中，角

9、，所對的邊分別為，若，則_【例17】 （2008遼寧）在中，內(nèi)角對邊的邊長分別是，已知，若的面積等于，求；若，求的面積【例18】 （2008山東理15）已知為的三個內(nèi)角的對邊，向量，若，且，則角【例19】 （2008上海）如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為的扇形，小區(qū)的兩個出入口設(shè)置在點及點處，且小區(qū)里有一條平行于的小路，已知某人從沿走到用了分鐘，從沿走到用了分鐘，若此人步行的速度為每分鐘米，求該扇形的半徑的長（精確到米）【例20】 在中，已知角為銳角，向量，向量時，求；求的最大值若，求的三個內(nèi)角和邊的長【例21】 （2009西城一模）如圖，在平面直角坐標系中，點在軸正半軸上，直線的傾斜角為，設(shè)，用表示點的坐標及；若，求的值家庭作業(yè)習(xí)題 1. （2008新課標海南寧夏）平面向量，共線的充要條件是（ ）A，方向相同 B，兩向量中至少有一個為零向量C， D存在不全為零的實數(shù)，習(xí)題 2. 中，若，則點在（ ）A平分線所在直線上 B線段中垂線上C邊所在直線上 D邊的中線上習(xí)題 3. 已知點和，試推斷能否在軸上找到一點，使？若能，求點的坐標；若不能，說明理由習(xí)題 4. 在中，若，則的值是_習(xí)題 5. 在銳角中，角所對的邊分別為，已知，求的值；若，求的值月