極限思想畢業(yè)論文

1、目錄摘要IAbstractII第1章極限思想的形成與發(fā)展11.1 極限思想的萌芽11.2 極限思想的發(fā)展11.3極限思想的形成21.4極限思想的完善3第2章極限思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用32.1極限思想在概念里的滲透32.2極限思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用42.3極限思想在積分中的應(yīng)用5第3章證明極限存在以及求極限的方法63.1極限的四則運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單求極限技巧63.2用迫斂性準(zhǔn)則求極限73.3用泰勒公式求極限73.4用等價(jià)無(wú)窮小求極限83.5用洛必達(dá)法則求極限83.6用微分中值定理和積分中值定理求極限9第4章總結(jié)10參考文獻(xiàn)11致謝12第1章 極限思想的形成與發(fā)展極限思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，在整個(gè)數(shù)學(xué)

2、發(fā)展史上占有重要地位，是研究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展必不可少的有力工具.本文通過(guò)論述極限思想的發(fā)展過(guò)程以及它在諸多數(shù)學(xué)分支中的應(yīng)用來(lái)說(shuō)明極限在數(shù)學(xué)中的重要地位.按照極限思想的萌芽、發(fā)展、形成與完善過(guò)程，可將它分為4個(gè)階段.1.1極限思想的萌芽 古希臘時(shí)代歐多克斯提出的“窮竭法”和芝諾的“二分法”可以說(shuō)是極限理論的雛形.在我國(guó)，極限思想的萌芽最早可以追溯到戰(zhàn)國(guó)末期，在哲學(xué)著作莊子.天下篇中就引進(jìn)了惠施的著名命題：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”，它可以寫(xiě)成一個(gè)無(wú)窮等比遞減數(shù)列： 當(dāng)n無(wú)限增大（n=1,2,3，）時(shí)，可取無(wú)限的小數(shù)，它的極限為零，這樣借助實(shí)物，極限的概念便被形象的表達(dá)出來(lái)了.然

3、而在我國(guó)最早創(chuàng)立極限概念，并用它來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的卻是數(shù)學(xué)家劉徽.他指出：“割之彌細(xì)，失之彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣.”并最終利用這極限思想求得了圓周率的近似值，獨(dú)立的創(chuàng)造出了“割圓術(shù)”. 然而當(dāng)時(shí)人們?cè)谥庇^上對(duì)極限概念有了清楚的理解，但由于沒(méi)有無(wú)窮小的概念，因此也就不可能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確的描述出極限概念，并且極限思想也沒(méi)有作為單獨(dú)的研究對(duì)象真正獨(dú)立出來(lái).這在某種程度上是由于當(dāng)時(shí)的經(jīng)濟(jì)狀況和生產(chǎn)力水平對(duì)數(shù)學(xué)的要求只停留在對(duì)度量和計(jì)量有用的范圍內(nèi)決定的.1.2極限思想的發(fā)展17世紀(jì)以天文學(xué)、力學(xué)及航海為中心的一系列問(wèn)題導(dǎo)致了微積分的產(chǎn)生.微積分盡管在實(shí)踐中非常成功，但它的思想

4、基礎(chǔ)無(wú)窮小量在邏輯上卻有很多缺陷，被稱(chēng)為“失去了量的鬼魂”，并由此直接導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī).為了消除危機(jī)，許多數(shù)學(xué)家便主張利用極限的方法為微積分提供論證和說(shuō)明的工具.于是，他們對(duì)極限思想進(jìn)行了深入研究，其階段性的主要成績(jī)?nèi)缦?（1） 達(dá)朗貝爾“理性的”極限概念 達(dá)朗貝爾脫下了“微分學(xué)神秘的外衣”（馬克思語(yǔ)），首次嘗試將微分學(xué)建立在“理性的”極限觀念基礎(chǔ)上.他認(rèn)為“一個(gè)量永遠(yuǎn)不會(huì)重合，但它總是無(wú)限的接近它的極限，并且與極限的差要有多小有多小”，這樣達(dá)朗貝爾給出了極限的描述性定義，但這個(gè)定義比較模糊，缺乏嚴(yán)密性.（2） 羅伊里埃用極限奠定的微積分基礎(chǔ)數(shù)學(xué)家羅伊里埃用極限思想對(duì)古希臘的“窮竭法”做了

5、修改，并用極限定義導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而由導(dǎo)數(shù)來(lái)定義微分，排除了無(wú)窮小量和等有神秘色彩的概念和符號(hào).表明極限思想作為微積分基礎(chǔ)的正確思想，然而他的缺點(diǎn)是只有單側(cè)極限的概念. （3）柯西的變量極限概念19世紀(jì)大數(shù)學(xué)家柯西拋棄了物理和幾何直觀，通過(guò)變量首次給出了建立在數(shù)和函數(shù)上的極限定義：“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨向于某一數(shù)值，最終使變量的值與該定值之差要多小有多小，這個(gè)定值就叫做所有 其他值得極限”.柯西的變量極限概念的提出，標(biāo)志著極限概念向“算術(shù)話(huà)”邁出了決定性的一步，是數(shù)學(xué)史上的重大創(chuàng)新之一.此外，柯西還把無(wú)窮小定義為一個(gè)極限為零的變量，從而把極限原理和無(wú)窮小量有機(jī)的聯(lián)系在一起.在此基礎(chǔ)上，柯西又給

6、出了函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)和微分的概念，特別是他首先給出了定積分作為和式極限的定義.然而，雖然柯西把紛亂的極限概念理出了頭緒，為精確極限定義的產(chǎn)生做出了開(kāi)拓性的工作，但他的工作任然不夠嚴(yán)格、精確.例如，他在定義中提到的“無(wú)限趨近”和“要多小有多小”只是一種直觀的定性語(yǔ)言，而不是一種精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.1.3極限思想的形成在柯西關(guān)于變量極限的直觀動(dòng)態(tài)基礎(chǔ)上，德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯從靜態(tài)的觀點(diǎn)出發(fā)，把變量解釋成一個(gè)字母（該字母表示某區(qū)間的數(shù)），給出了嚴(yán)格定義的極限概念，即他本人在1856年首先提出的現(xiàn)今廣泛采用的極限定義： （1）的數(shù)列極限定義：，是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)于，.(2) 的函數(shù)極限定義：設(shè)函數(shù)f

7、在點(diǎn)的某個(gè)空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，A是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給的，總存在某個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)都有，則稱(chēng)函數(shù)f當(dāng)x趨向于時(shí)極限存在，且以A為極限.這樣極限的定義便用靜態(tài)的有限量刻畫(huà)了動(dòng)態(tài)的無(wú)限量，不僅排除了無(wú)窮小這個(gè)有爭(zhēng)議的概念，而且排除了柯西在定義函數(shù)的連續(xù)性中用到的“變?yōu)椴⑶冶３中∮谌我饨o定的量”這種說(shuō)法的含糊性，這標(biāo)志著清晰而明確的極限概念的真正建立.此外，維爾斯特拉斯還用這一方法定義了連續(xù)函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分的概念，使微積分的定義擺脫了幾何直觀所帶來(lái)的含糊觀念最終成了今天的形式.1.4極限思想的完善盡管用-語(yǔ)言定義的極限概念非常嚴(yán)密，并以占領(lǐng)微積分課堂100年之久，但他復(fù)雜的課堂邏輯結(jié)構(gòu)卻成為微

8、積分入門(mén)難以理解和掌握的難點(diǎn)之一.近年來(lái)眾多的專(zhuān)家學(xué)者在該研究領(lǐng)域取得了突破性的進(jìn)展.特別是廣州大學(xué)張景中院士提出了和-語(yǔ)言同樣嚴(yán)格但易于被初學(xué)者所掌握的D-語(yǔ)言極限.(1) D-數(shù)列極限定義：若存在恒正遞增無(wú)界數(shù)列，使得對(duì)一切數(shù)列n，總有，則.(2) D-函數(shù)極限定義：設(shè)函數(shù)f(x)在的空心領(lǐng)域有定義，是指存在零的某右領(lǐng)域內(nèi)的恒正遞增無(wú)界函數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，總有. 從極限概念的“-語(yǔ)言”到“D-語(yǔ)言”的過(guò)程其實(shí)就是不斷簡(jiǎn)化-語(yǔ)言的邏輯結(jié)構(gòu)，化邏輯為運(yùn)算的過(guò)程，他的基本思想是用簡(jiǎn)單的單調(diào)過(guò)程刻畫(huà)一般的，復(fù)雜的極限過(guò)程，并且在刻畫(huà)極限的過(guò)程中-語(yǔ)言與D-語(yǔ)言還具有實(shí)質(zhì)的等價(jià)性.D-語(yǔ)言的提出，為數(shù)學(xué)

9、分析課程的教學(xué)改革指出了一個(gè)新的方向，也為極限思想的進(jìn)一步完善開(kāi)辟了道路. 第2章 極限思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用2.1極限思想在概念里的滲透極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終，可以說(shuō)數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的概念都離不開(kāi)極限，在幾乎所有的數(shù)學(xué)分析著作中都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、極數(shù)的斂散性，重積分和曲線(xiàn)積分與曲面積分的概念.（1） 如以函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義.記稱(chēng)為自變量（在點(diǎn)）的增量或改變量，設(shè)，相應(yīng)的函數(shù)（在點(diǎn)）的增量記為，可見(jiàn)，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)等價(jià)于，是當(dāng)自變量得增量時(shí)，函數(shù)值得增量趨于零時(shí)的極限.（2）函數(shù)在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若極限存在

10、，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，令，則可寫(xiě)為，所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.（3） 函數(shù)在區(qū)間上的定積分的定義。設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，若對(duì)認(rèn)給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使對(duì)的任何分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要，就有，則稱(chēng)函數(shù)為在上的定積分，記。是當(dāng)分割細(xì)度趨于零時(shí)，積分和式的極限.（4）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性是用部分和數(shù)列，的極限來(lái)定義的等等.2.2極限思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat）為研究極值問(wèn)題而引入的，但與導(dǎo)數(shù)概念直接相聯(lián)系的是以下兩個(gè)問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)規(guī)律求速度和已知曲線(xiàn)求它的切線(xiàn).（1） 瞬時(shí)速度 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，

11、若為某一確定的時(shí)刻，為鄰近于的時(shí)刻，則是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段上的平均速度. 若時(shí)平均速度的極限存在，則稱(chēng)極限為質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻的瞬時(shí)速度.（2）切線(xiàn)的斜率 曲線(xiàn)在其上一點(diǎn)處的切線(xiàn)PT是割線(xiàn)PQ當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q沿此曲線(xiàn)無(wú)限接近于點(diǎn)p時(shí)的極限位置.由于割線(xiàn)PQ斜率為因此當(dāng)時(shí)如果的極限存在，則極限即為切線(xiàn)PT的斜率.給出導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰城內(nèi)有定義，若極限存在，則稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱(chēng)該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作.令,則上式可改寫(xiě)為.2.3極限思想在積分中的應(yīng)用積分是數(shù)學(xué)分析中的重要概念，其中的不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算而定積分則是某種特殊和式的極限，下面給出在定積分中極限思想的重要應(yīng)用.定積分提出的背景：曲邊

12、梯形是由非負(fù)連續(xù)曲線(xiàn).直線(xiàn)以及x軸所圍成，求此曲邊梯形的面積？（1） 將曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形（2） 當(dāng)很大，且當(dāng)所有的都很少小時(shí)，每個(gè)小時(shí)曲邊梯形都可看成小矩形第個(gè)小曲邊梯形面積其中，此時(shí).（3）當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，即當(dāng)個(gè)無(wú)限趨近于0時(shí)，就無(wú)限趨近于曲邊梯形的面積，故.定積分在閉區(qū)間內(nèi)有個(gè)點(diǎn)，依次為它們把分成個(gè)小區(qū)間， ，這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對(duì)的一個(gè)分割，記或。小區(qū)間長(zhǎng)度為并記設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，若對(duì)任給正數(shù)，總有在某一正數(shù)，使得對(duì)的分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要就有，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上可積，數(shù)稱(chēng)為上的定積分，記作. 第3章 證明極限存在及求極限的方法求函數(shù)和數(shù)

13、列的極限是數(shù)學(xué)分析的基本運(yùn)算，求極限的主要方法有用定義、四則運(yùn)算、兩邊夾法則、實(shí)數(shù)連續(xù)性定理等，除這些常規(guī)的方法外還有許多技巧，這些技巧隱含在函數(shù)論的相關(guān)理論中，以下主要以例題的形式介紹相關(guān)方法與技巧.3.1用極限的四則運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單技巧求極限利用極限的四則運(yùn)算法求函數(shù)極限時(shí)需對(duì)所給的函數(shù)進(jìn)行逐一驗(yàn)證，若滿(mǎn)足條件才可利用此法則進(jìn)行計(jì)算，并不是不滿(mǎn)足極限四則運(yùn)算法則條件的函數(shù)就沒(méi)有極限，可將函數(shù)進(jìn)行恒等變形使其符合條件后再求，而對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形時(shí)往往運(yùn)用一些簡(jiǎn)單技巧，如拆項(xiàng)、分子分母有理化、變量替換等.例1：求解：此式為型，且分母極限為，因此先分子有理化，所以，原式.3.2用迫斂性準(zhǔn)則求極限所

14、以，根據(jù)迫斂性定理有：原式 .收斂數(shù)列的迫斂性：設(shè)收斂數(shù)列，都以為極限，數(shù)列滿(mǎn)足：存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)有，則數(shù)列收斂，且.函數(shù)極限的迫斂性：設(shè)，且在某內(nèi)有，則.例2：求由3.3用泰勒公式求極限常用的泰勒公式：.例3：求解：由泰勒公式知所以，原式.3.4用等價(jià)無(wú)窮小求極限常用的等價(jià)無(wú)窮?。寒?dāng)時(shí)， ，.例4：解：因?yàn)?，所以，原式.3.5用洛比達(dá)法則求極限洛比達(dá)法則只直接適用于型和型不定式極限，等類(lèi)型，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變換，可化為型或型極限.例5：求解：由是型不定式極限，有恒等變形轉(zhuǎn)化為型不定式極限。所以，應(yīng)用洛必達(dá)法則原式.3.6利用微分中值定理和積分中值定理求極限（1）第一積分中值定理：若在上連續(xù)，則至少有

15、在一點(diǎn) 使得（2）第二積分中值定理：設(shè)函數(shù)在上可積。若在上減(增)且，則存在 使或.例6：求解：有微分中值定理 (介于與之間)原式.例7：求解：令,在上可積，故不變號(hào)連續(xù)，由積分第一中值定理，由為有界量，為無(wú)窮小量故.四、總結(jié)極限理論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析主要研究微分和積分，而極限又是微積分學(xué)大廈的基石，可以說(shuō)沒(méi)有充分的極限理論就不可能有今天數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展的局面，所以，我們應(yīng)學(xué)好極限理論及極限思想. 參考文獻(xiàn)1明清河：數(shù)學(xué)分析的思想與方法 M.山東大學(xué)出版社.2004.2李克典,馬云苓：數(shù)學(xué)分析選講M.廈門(mén)大學(xué)出版社.2005.3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系：數(shù)學(xué)分析M.高等教育出版社.1999.9. 4 M.克萊因：古今數(shù)學(xué)思想（第四冊(cè)）M.上?？萍汲霭嫔?1983.10.致 謝“飲其流時(shí)思其源，成吾學(xué)時(shí)念吾師?！敝链苏?/p>