畢業(yè)論文二階常微分方程解存在的問題

1、2012屆畢業(yè)生畢業(yè)論文題目:二階常微分方程解的存在問題分析院系名稱：專業(yè)班級：學(xué)生姓名：學(xué)號：指導(dǎo)教師：教師職稱：2012年5月25日摘 要在科學(xué)研究、工程技術(shù)中，常常需要將某些實際問題轉(zhuǎn)化為二階常微分方程問題。因此，研究不同類型的二階常微分方程的求解方法及探討其解的存在唯一性問題，是十分重要的。本文首先介紹了二階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般解法特征方程法，及二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法，然后又介紹了一些可降階的微分方程類型。接著討論了二階變系數(shù)微分方程的冪級數(shù)解法，并論述了如何利用變量代換法將某些變系數(shù)方程化為常系數(shù)方程。另外，本文還介紹了求解初值問題的另一種方法拉普拉斯變換法

2、。最后，給出了二階微分方程的存在唯一性定理的證明以及它的一些應(yīng)用。關(guān)鍵詞：二階線性微分方程，常系數(shù)，變系數(shù)，通解，特解，存在唯一性Title: Analysis of the solution existence problem for Second order ordinary differential equation AbstractIn science, engineering technology, we often need to conversion some practical problems intosecond-order ordinary differential eq

3、uations. Therefore, to study the methods of different types of second order ordinary differential equation and to investigate the existence and uniqueness of the solution is very important. The paper first introduces the general solution of the second order constant coefficient homogeneous linear di

4、fferential equations - the characteristic equation method, and the method for solving second order constant coefficient non-homogeneous linear differential equation undetermined coefficients, then describes some types of differential equationwhich can be reduced -order . Followed it, this article al

5、so discusses the utilization of power series solution to solve the second-order variable coefficient differential , and discusses how to use variable substitution to conversion certain equations with variable coefficients into constant coefficient. In addition, the article also describes another met

6、hod for solving initial value problems - Laplace transform method.Finally, there gives the proof of the existence and uniqueness theorem of the second-orderdifferential equations as well as some of its applications.Keywords:Secondorder linear differential ,Constant Coefficients ,Variable Coefficient

7、s ,General solution ,Particular solution ,Existence and Uniqueness .目 錄§1 引言5§2 常系數(shù)線性微分方程的解法52.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法特征方程法52.2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法72.2.1類型：72.2.2類型：10§3 二階微分方程的降階和冪級數(shù)解法113.1 可將階的一些方程類型113.2 二階線性微分方程的冪級數(shù)解法143.3 二階變系數(shù)線性微分方程的常系數(shù)化163.3.1 歐拉方程163.3.2 二階線性微分方程的常系數(shù)化17§4 拉普拉斯變換

8、18§5 二階微分方程的存在唯一性205.1 存在唯一性定理205.2 應(yīng)用舉例255.2.1 關(guān)于二階線性齊次方程解的零點255.2.2 二階線性非齊次方程的邊值問題25致 謝28參考文獻29§1 引言二階線性微分方程是常微分方程中一類很重要的方程。這不僅是因為其一般理論已經(jīng)研究地比較清楚，而且還因為它是研究非線性微分方程的基礎(chǔ)，在工程技術(shù)和自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。本文將主要介紹幾種不同類型的二階線性微分方程的解法，及二階微分方程的初值問題的存在唯一性定理。§2 常系數(shù)線性微分方程的解法2.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法特征方程法若是二階常系數(shù)齊次線性微

9、分方程，其中均為常數(shù)（2.1）的兩個線性無關(guān)的解，那么（2.1）的通解就可表示成（為任意常數(shù)）由此可知，只要找到方程（2.1）的兩個線性無關(guān)的解，就能求出（2.1）的通解。我們知道，當(dāng)為常數(shù)時，函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)只相差一個常數(shù)。因此，可以設(shè)想（2.1）有形如的解，將代入方程（2.1）得：又，則必有（2.2）即如果是（2.1）的解，則必滿足方程（2.2）.反之，若滿足方程（2.2），則就是（2.1）的一個特解。我們稱方程（2.2）是方程（2.1）的特征方程，它的根就稱為特征根，且特征根.下面根據(jù)特征根的不同情況分別進行討論。1）有兩個不相等的實根:，易知和是方程（2.1）的兩個線性無關(guān)的特解，則

10、方程（2.1）的通解為：；2）有兩個相等的實根:易知是方程（2.1）的一個特解，設(shè)另一特解為，將代入到（2.1）得：（2.3)又，則可得，不妨取，代入（2.3）得：，則方程（2.1）的通解為： ；3） 有一對共軛復(fù)根：，易知與是方程（2.1）的兩個線性無關(guān)的復(fù)值解。而，若取，由解的疊加性知，也是方程（2.1）的兩個特解，又，于是，就是方程（2.1）的兩個線性無關(guān)的實值解。從而方程（2.1）的通解為：。2.2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法現(xiàn)在討論二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（2.4）的求解問題。這里是常數(shù)，是連續(xù)函數(shù)。我們可以由其對應(yīng)的齊次線性微分方程(2.1)的通解出發(fā)，使用常數(shù)變易法求

11、出（2.4）的特解。因而，只要能求出（2.1）的特征根，（2.4）的求解問題就已經(jīng)解決。但是，這樣的方法往往是比較繁瑣的，而且必須經(jīng)過積分運算。事實上，只要求得方程（2.1）的通解，再求出該方程的一個特解，就可得出它的通解表達式。下面，我們討論當(dāng)是某些特殊形式的連續(xù)函數(shù)時，所適用的求解其特解的簡便方法待定系數(shù)法。類型：設(shè)是次多項式，即（）下面來證明：1）當(dāng)不是特征根時，（2.4）有形如的特解，其中是關(guān)于的次待定的多項式，即.2）當(dāng)是重特征根時，（2.4）有形如的特解，其中也是形如上述的次多項式。中的系數(shù)可以由待定系數(shù)法求得。證： 若，此時，下面分兩種情況進行討論。（i）若不是特征根，（2.4）

12、的特征方程為，則.是次多項式，方程（2.4）有如下形式的特解：（2.5）將（2.5）代人（2.4）得：等式兩邊的同次冪系數(shù)相等，得到一個確定待定系數(shù)的方程組：由于，所以上述方程組有唯一解（ii）若是重特征根當(dāng)時，有，則，方程（2.4）變?yōu)椋海?.6）令，則（2.6）式變?yōu)椋海?.7），不是（2.7）的特征根。由（i）知，方程（2.7）有形如：的特解。從而，其中，我們只需求出（2.4）的一個特解，故可取，此時，（2.4）的一個特解為 ：時，有，則，方程（2.4）變?yōu)椋旱仁絻蛇叿e分兩次得：，其中，.取，則所以，是重特征根時，方程（2.4）有形如的特解。 若，作變量變換，代入方程（2.4）可化為：即

13、，（2.8）其中，.由變換知，當(dāng)（2.8）的特征根為時，（2.4）的特征根就為。從而，方程（2.4）的非零特征根就對應(yīng)于方程（2.8）的零特征根，并且重數(shù)也相同。因此，利用的結(jié)果就有如下結(jié)論：當(dāng)不是特征根時，（2.4）有形如的特解；當(dāng)是重特征根時，（2.4）有形如的特解。類型：其中，分別為兩個已知的關(guān)于的次和次多項式，為常數(shù)。由歐拉公式，得.故可以改寫成（2.9）其中，分別是次和次多項式?？梢钥闯?，（2.9）式就相當(dāng)于兩個類型形狀的函數(shù)相加。由非齊次方程的疊加原理，就可求出類型的特解了。疊加原理 設(shè)有二階非齊次方程（2.10）且分別是方程的解，則函數(shù)是方程（2.10）的解。根據(jù)疊加原理及類型討

14、論的結(jié)果，我們有1） 當(dāng)不是特征根時，（2.4）有如下形式的特解即（2.11）2） 當(dāng)是重特征根時，（2.4）有如下形式的特解即（2.12）其中為兩個待定多項式，.注意：當(dāng)中有一個恒為零時，方程（2.4）仍具有形如（2.11）、（2.12）的特解。即不能當(dāng)時，就令，而時，就令.§3 二階微分方程的降階和冪級數(shù)解法3.1 可將階的一些方程類型1.方程不顯含未知函數(shù)和未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，即（3.1）若令,那么，則方程（3.1）即降為關(guān)于的一階微分方程，兩邊積分得：，兩邊再次積分，就能得到方程（3.1）的通解.2. 方程不顯含未知函數(shù),即（3.2）若令，則方程（3.2）就變?yōu)?，這是一個關(guān)于

15、的一階微分方程.3. 方程不顯含自變量，即（3.3）若令，那么則方程（3.3）就變?yōu)檫@是一個關(guān)于的一階微分方程.4.恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程型二階微分方程也可以表示成的形式。若方程（3.4）的左端恰為某一函數(shù)對的全導(dǎo)數(shù)，即則稱方程（3.4）為恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程。于是，方程（3.4）可寫成則有，（為任意常數(shù)）這樣就把原方程降為了一階微分方程。5.關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是齊次的方程方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是齊次的是指滿足.作變換（是新未知函數(shù)），則有,代入到（3.4）中，有因為方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是齊次的，約去非零公因子，得到上式經(jīng)整理后可化為的形式，這就是關(guān)于新未知函數(shù)的一階微分方程。注意:若

16、，則可作變換。實際問題中，我們作變換后，還要考慮是不是方程的解。6.二階變系數(shù)齊次線性方程（3.5）若已知方程（3.5）的一個非零特解，我們作變換,方程（3.5）就化為一階變系數(shù)齊次微分方程： 即（3.6）其通解為：（為任意常數(shù)）我們?nèi)?，則方程（3.6）的一個特解為：從而（3.5）的一個特解為：常數(shù)，線性無關(guān)。故方程（3.5）的通解為：（為任意常數(shù)）3.2 二階線性微分方程的冪級數(shù)解法二階線性微分方程(3.7)在近代物理學(xué)以及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，但是，當(dāng)它的系數(shù)不為常數(shù)時，它的解往往不能用“有限形式”表示出來。而冪級數(shù)解法就解決了這個問題，它不但對于求解方程有意義，而且由此引出了很多新的

17、超越函數(shù)，在理論上具有很重要的地位。定理1 如果在某點的鄰域內(nèi)解析，即它們可以展成的冪級數(shù)，且，則（3.7）的解在的鄰域內(nèi)也能展成的冪級數(shù)（3.8）定理2 如果在某點的鄰域內(nèi)解析，而是的重零點，是的不低于重的零點（若），是的不低于重的零點（若），則方程（3.7）至少有一個形如（3.9）的廣義冪級數(shù)解，其中是某一常數(shù)。注意：利用定理1、2求解方程（3.7）的過程如下：首先，判斷在某點的鄰域內(nèi)是否解析，也即是將展成的冪級數(shù)。再根據(jù)或兩種情況，分別在形式上假定（3.7）有形如（3.8）或（3.9）的冪級數(shù)解。將（3.8）或（3.9）微分后代人方程（3.7），并令等式兩端的同次冪系數(shù)相等，從而得到關(guān)于

18、（3.8）或（3.9）的系數(shù)的方程組，解出代人（3.8）或（3.9）中，便可得到（3.7）的形式解。另外，還要求出（3.8）或（3.9）的收斂區(qū)間，由于在收斂區(qū)間上才可以進行逐次微分與積分，這說明在前面將（3.8）或（3.9）代人（3.7）中是合理的。即最后所得的冪級數(shù)（3.8）或（3.9）在收斂區(qū)間上確是我們要求的解。下面舉個例子進行簡單說明。例：求的通解。解：在點解析且，由定理1可設(shè)其有級數(shù)解將代入原方程中，得：比較等式兩端的的同次冪的系數(shù)，有：解之得：更一般地有 ，其中，是任意的。則這個冪級數(shù)的收斂半徑是無窮大，則上式就是原方程的通解。3.3 二階變系數(shù)線性微分方程的常系數(shù)化 歐拉方程形

19、如，（3.10）的方程稱為歐拉方程，其中都是常數(shù)。此方程可以通過變量變換化為常系數(shù)線性方程。下面以二階歐拉方程為例介紹一下此類方程常系數(shù)化的過程。我們在開區(qū)間上考慮二階歐拉方程（3.11）令，即，引進新的變量（如果在上，則令，所得結(jié)果與上述情況一樣）。則有，于是，我們可得到，將其代入方程（3.11）中，得，（3.12）這樣，方程（3.11）就化為了二階常系數(shù)線性方程。根據(jù)二階常系數(shù)線性方程的特征方程解法，我們就可以求得方程（3.12）的通解，再將換成原來的變量（注意：），就可得出方程（3.11）的通解。由上述推導(dǎo)過程，我們知道方程（3.12）有形如的解，從而方程（3.11）就有形如的解。將代入

20、（3.11）并約去因子，就得到確定的代數(shù)方程（3.13）我們稱（3.13）為二階歐拉方程的特征方程，它的根就稱為特征根。類似于二階常系數(shù)線性微分方程的特征方程法中特征根與通解之間的對應(yīng)關(guān)系，我們可以得到：1）當(dāng)（3.13）有兩個不同的實根時，方程（3.11）的通解為；2）當(dāng)（3.13）有兩個相同的實根時，方程（3.11）的通解為；3） 當(dāng)（3.13）有一對共軛復(fù)根，時，方程（3.11）的通解為。 二階線性微分方程的常系數(shù)化對二階變系數(shù)齊次線性微分方程（3.14）（其中均為連續(xù)函數(shù)）作變換，則有，代入到（3.14）中，得（3.15）不妨令的系數(shù)等于零，即從而則代入到方程中，整理得（）當(dāng)取某些特殊

21、的函數(shù)時。我們有：1）（為常數(shù)），方程（3.15）可化為歐拉方程。2）（為常數(shù)），方程（3.15）可化為常系數(shù)線性方程。§4 拉普拉斯變換我們已經(jīng)知道二階常系數(shù)線性方程（4.1）的通解結(jié)構(gòu)和求解方法，但是，在實際問題中往往還要求（4.1）的滿足初始條件的解。我們當(dāng)然可以先求出（4.1）的通解，然后由初始條件確定其中的任意常數(shù)。此外，還有另外一種方法可以求解初值問題，即拉普拉斯（Laplace）變換法.因為它無需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解來，從而在運算上得到很大簡化。拉普拉斯變換的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果含參量的無窮積分對的某一取值范圍是收斂的，則稱（4.2）為函數(shù)

22、的拉普拉斯變換，稱為原函數(shù)，稱為象函數(shù)，并且記為一些特殊函數(shù)的拉普拉斯變換1）2）3）4）5）6）7）拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1）線性性質(zhì)：設(shè)函數(shù)，滿足定理3的條件，則在它們的象函數(shù)共同的定義域上，有其中為任意常數(shù)。2）原函數(shù)的微分性質(zhì)：如果均滿足定理3的條件，則8） 象函數(shù)的微分性質(zhì)：如果，則4）如果，則拉普拉斯變換的應(yīng)用舉例下面運用拉普拉斯變換法來求解二階常系數(shù)線性方程的初值問題：設(shè)方程兩端同取拉普拉斯變換，得到：由拉普拉斯變換的性質(zhì)，整理得：也即解之得：上式使用拉普拉斯逆變換即可求出初值問題的解。 注：由象函數(shù)求原函數(shù)的運算稱為拉普拉斯逆變換，記為§5 二階微分方程的存在唯一性5

23、.1 存在唯一性定理如果在二階微分方程 （5.1）中，令，則，它就可化為方程組（5.2）我們稱（5.2）為一階微分方程組。從而，要討論二階微分方程的初值問題的存在唯一性，就只需討論一階微分方程組的初值問題的存在唯一性。令，并定義：，則（5.2）可記成向量形式（5.3）初始條件可記為，其中則二階微分方程（5.4） 的初值問題就可記為（5.5）此外，我們把二維向量的范數(shù)定義為. 下面，我們給出初值問題（5.5）的解的存在與唯一性定理。定理3 如果函數(shù)在三維空間的區(qū)域上滿足：1）連續(xù)；2）關(guān)于滿足李普希茲條件，即存在，使對于上任意兩點，有，則初值問題（5.5）的解在區(qū)間上存在唯一，其中.類似于一階微

24、分方程的初值問題的存在唯一性定理的證明，下面來簡單證明一下定理4.引理：如果函數(shù)在三維空間的區(qū)域上連續(xù)，則初值問題（5.5）的解,與積分方程（5.6）在區(qū)間上的連續(xù)解等價，其中，.由引理我們知道，要證明定理4，只要證明積分方程（5.6）的連續(xù)解在區(qū)間上存在唯一就行了。 存在性的證明下面用畢卡逐次逼近法來證明積分方程(6)的連續(xù)解的存在性，可分三個步驟進行。（1） 構(gòu)造區(qū)間上的逐次近似的連續(xù)向量函數(shù)列.令，構(gòu)造畢卡逐次逼近向量函數(shù)序列如下：向量函數(shù) 稱為 （5.5）的第次近似解。 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明： 即曲線未越出區(qū)域，保證了逐次逼近可以一直進行下去。（2） 證明函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂?？紤]

25、向量函數(shù)項級數(shù)（5.7）它的部分和是所以，要說明函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂，只需證明級數(shù)（5.7）在區(qū)間上一致收斂。，由數(shù)學(xué)歸納法，我們可以得到：而,易于看出級數(shù)（5.7）每一項的絕對值都不會超過正項級數(shù)的對應(yīng)項。上面的級數(shù)顯然是收斂的。從而，級數(shù)（5.7）在區(qū)間上一致收斂。設(shè)其和函數(shù)為，從而函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂于。由于在區(qū)間上是連續(xù)的，因而也是連續(xù)的。（3） 證明是積分方程（5.6）的解。對兩邊取極限，得要證是積分方程（5.6）的解，只需證在區(qū)間上一致收斂，使時，有.則是積分方程（5.6）的解。 唯一性的證明證：設(shè)也是積分方程（6）的解，且滿足則有于是由Bellman不等式得：得出矛盾。因

26、此，(5.6)在的解唯一。綜上，（5.5）的存在唯一性定理得證。5.2 應(yīng)用舉例 關(guān)于二階線性齊次方程解的零點例：已知方程，在上連續(xù)，如果是非零解的一個零點，則存在的一個鄰域，使得在該鄰域內(nèi)只有一個零點。證：（反證法）假設(shè)在內(nèi)存在無限個點，使，且當(dāng)時，.又連續(xù)，則是方程的解，存在，且即滿足，根據(jù)定理4，知，與是非零解矛盾，假設(shè)錯誤，從而命題得證。 二階線性非齊次方程的邊值問題例：設(shè)在上連續(xù)，是證明：方程（5.8）滿足條件的解唯一的充要條件是：方程（5.9）只有零解滿足條件.證：設(shè)是方程（5.9）的兩個線性無關(guān)的解，是（5.8）的一個特解，則(5.9)的通解為：（5.10）（5.8）的通解為：（

27、5.11）將初值條件代入到（5.11）中，得：（5.12）則（5.8）滿足初值條件的解唯一等價于（5.12）有唯一解，也等價于設(shè)是（5.9）的滿足初值條件的解。將初值條件代入到（5.10）中，得：（5.13）當(dāng)且僅當(dāng)時，（5.13）只有零解，即，則，顯然命題得證。結(jié)論關(guān)于二階線性微分方程的研究已經(jīng)取得了不少成就，尤其在二階常系數(shù)線性微分方程的求解問題和解的存在唯一性定理等方面卓有成效。二階微分方程的解的存在唯一性定理不僅可判斷解的存在唯一性，而且還有著廣泛的應(yīng)用。而冪級數(shù)解法作為求解二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一種方法，其過程還是比較繁瑣的，計算量偏大，且需要考慮函數(shù)是否解析，冪級數(shù)在某個區(qū)間

28、是否收斂等。另外，對于二階變系數(shù)非齊次微分方程，目前還尚有通用的求解方法，只有一些特殊類型是可以求解的，還有待于進一步的發(fā)展和研究。致 謝首先，我要感謝我的指導(dǎo)老師侯長順老師。侯老師平時還要給學(xué)生上課,工作很忙，但還是幫我們查找與論文相關(guān)的資料，來供我們參考；在做論文的過程中，幫助我解決各個問題和困難，并在論文修改時提出很多的意見和建議，論文能如期完成，是與侯老師的指導(dǎo)分不開的。然后還要感謝大學(xué)四年來所有的老師,為我們打下數(shù)學(xué)專業(yè)知識的基礎(chǔ)；同時還要感謝我身邊的同學(xué),謝謝你們的支持和鼓勵，才使這次畢業(yè)論文順利完成。最后，在畢業(yè)來臨之際，祝河南工業(yè)大學(xué)更加輝煌。參考文獻1朱思銘，王壽松，王高雄等. 常微分方程M.北京：高等教育出版社, 2006 .2丁同仁常微分方程