曲率及其應(yīng)用

1、模塊基本信息一級模塊名稱微分學(xué)二級模塊名稱應(yīng)用模塊三級模塊名稱曲率及其應(yīng)用模塊編號3-8先行知識1、弧微分模塊編號無2、曲線的凹凸性3-6知識內(nèi)容教學(xué)要求掌握程度1、曲率、曲率半徑、曲率圓的概念1、理解曲率、曲率半徑、曲率圓的概念簡單應(yīng)用2、計(jì)算曲線的曲率、曲率半徑、曲率圓2、會計(jì)算曲線的曲率、曲率半徑、曲率圓3、曲率的一些簡單應(yīng)用3、了解曲率的一些簡單應(yīng)用能力目標(biāo)1、培養(yǎng)學(xué)生遷移的能力2、培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力時(shí)間分配45分鐘編撰秦小娜校對方玲玲審核危子青 一、正文編寫思路及特點(diǎn)： 思路：首先復(fù)習(xí)弧微分的相關(guān)知識，然后導(dǎo)出曲率概念。 特點(diǎn)：通過介紹生活中的實(shí)際現(xiàn)象，引出“彎曲程度”這一概念，使得

2、抽象概念具體化，學(xué)生更容易接受。2、 授課部分（1） 復(fù)習(xí)引入 曲線的弧微分和曲線的凹凸性（彎曲方向）（二）新課講授 1、曲率的概念 曲線的彎曲程度對于工程學(xué)來說有著非常重要的作用，那么曲線的彎曲程度到底跟哪些因素相關(guān)呢？觀察下圖：（1）圖1中，與弧長相等，的切線轉(zhuǎn)角比的切線轉(zhuǎn)角大，比彎曲程度大。（2）圖2中，與的切線轉(zhuǎn)角相等，比弧長短，比彎曲程度大?？偨Y(jié)：曲線的彎曲程度與轉(zhuǎn)角成正比與弧長成反比。據(jù)此，我們給出曲率的定義。當(dāng)C上的動點(diǎn)從M移到M時(shí)，切線轉(zhuǎn)過了角度（稱為轉(zhuǎn)角），而所對應(yīng)的弧增量s=. 定義1：若將單位弧段上切線轉(zhuǎn)角的大小稱為的平均曲率，記為，則=.將上述平均曲率當(dāng)s0（即MM）時(shí)

3、的極限，即k=稱為曲線C在點(diǎn)處的曲率。特別的，對于直線，傾角始終不變，故=0，從而k=0，即“直線不彎曲”。對于圓，設(shè)半徑為R，由圖4知，任意兩點(diǎn)，處圓之切線所夾的角等于中心角，而=，于是=，故 k=. 圖4 即圓上任一點(diǎn)處的曲率都相等且等于其半徑的倒數(shù)。若半徑無限增大，則曲率就無限趨近于零。從這個意義上看，直線是半徑為無窮大的圓。2、 曲率的計(jì)算方法（1）一般曲線方程曲率計(jì)算公式 設(shè)曲線方程為，且具有二階導(dǎo)數(shù).由于，從而，即 =，故d=dx，又ds=dx，于是k=. (選講)（2）參數(shù)方程曲率計(jì)算公式 若曲線方程為則由參數(shù)方程求導(dǎo)法則可得 k=. (三)案例講解例1 試求曲線y=x3在點(diǎn)（0

4、，0），（1，）和（2，）處的曲率.（一級）解 y=x2，y=2x，故k=，于是，在（0，0）處k0=0； 在（1，）處，k1=0.707；在（2，）處，k2=0.057. (選講)例2 計(jì)算擺線在處的曲率.（一級）解 由于故得曲率令得向?qū)W生簡單介紹曲率在工程技術(shù)上的一些應(yīng)用（四）曲率的一些簡單應(yīng)用（1）曲率圓與曲率半徑 設(shè)光滑曲線C上點(diǎn)M處的曲率為k（k0）.在C上點(diǎn)M作法線，并在凹向一側(cè)取點(diǎn)D，使得,以D為圓心，R為半徑作圓，D為曲線C在點(diǎn)M處的曲率圓,圓心D稱為C在點(diǎn)M處的曲率中心,R稱為C在點(diǎn)M處的曲率半徑，如圖5所示.圖5 故曲線y=f(x)在點(diǎn)M的曲率圓有下列性質(zhì):(1)在點(diǎn)M處的

5、曲率與曲線的相同;(2)在點(diǎn)M處與曲線相切,且在切點(diǎn)附近有相同凹凸性.由性質(zhì)(2)還可知道,點(diǎn)M處曲率圓的圓心位于曲線在該點(diǎn)的法線上.小結(jié)：對于曲線在點(diǎn)處，圓心為，半徑為R的曲率圓的計(jì)算公式為（2） 曲率的應(yīng)用實(shí)例(選講)例3 用圓柱形銑刀加工一弧長不大的橢圓形工件，該段弧的中點(diǎn)為橢圓長軸的頂點(diǎn)，該橢圓的方程為（單位為mm）應(yīng)選用多大直徑的銑刀，可得較好的近似效果？（二級）解 頂點(diǎn)坐標(biāo)為，將方程改寫為則 代入曲率半徑公式可得（mm）所以，應(yīng)選用直徑為64mm的銑刀，可得較好的近似效果.例4 某工件內(nèi)表面的型線為y=0.4x2,現(xiàn)要用砂輪磨削內(nèi)表面,問應(yīng)選多大直徑的砂輪?（二級）解 為使磨削時(shí)不會多磨掉不應(yīng)磨去的部分,砂輪半徑應(yīng)不超過拋物線上各點(diǎn)處曲率半徑的最小值，如圖6所示.圖6對于y=0.4x2,有y=0.8x,y=0.8.曲率半徑最小,應(yīng)是曲率最大,而k=.當(dāng)x=0時(shí)，k取最大值0.8,即頂點(diǎn)處曲率最大,因而有R=1.25,故砂輪直徑不得超過2.50單位長.三、能力反饋部分（考查學(xué)生對曲線曲率求法的掌握情況）（1）計(jì)算拋物線y=4x -x2在它頂點(diǎn)處的曲率.（一級）（2）拋物線上哪一點(diǎn)處的曲率最大？（二級）（3）一飛